Hola
Como era de esperar debido al (por ahora) deficiente funcionamiento de las IA comerciales respecto a los problemas de matemáticas, lo siguiente está mal:
En nuestro caso, queremos elegir 2 cartas de un conjunto de 8 cartas (reyes o ases). Aplicando la fórmula de combinaciones, obtenemos:
\( C(8, 2) = \dfrac{8!}{2!(8-2)!} = \dfrac{8!}{2!6!} = \dfrac{(8 \times 7)}{(2 \times 1)} = 28 \)
Esto sólo es el número de formas de elegir dos "palos" distintos. Nada que ver con los duples.
Entonces, si es eso, por una parte, con las 40 cartas puedes formar estas combinaciones de parejas distintas:
\( \dfrac{40!}{2!(40-2)!}=780 \).
A la vez, con estas parejas puedes formar parejas de parejas (dobles parejas) en esta cantidad:
\( \dfrac{780!}{2!(780-2)!}=303810 \).
Esto tampoco tiene mucho sentido. El primer número es el número de pares de cartas (pero posiblemente de distinto palo, ¿qué tiene que ver eso con los duples?). Ya nada tiene sentido después de esto, pero aun así luego cuentas parejas de parejas sin tener en cuenta que si seleccionas una primera pareja de las \( 780 \) ya no quedan \( 779 \) posibles, sino que habría que eliminar todas las parejas que usan las dos primeras cartas ya utilizadas.
El conteo correcto de duples iría así:
- Duples con dos palos distintos que no sean ni pitos ni cerdos (reyes):
\( \displaystyle\binom{6}{2} \) para elegir los dos palos.
\( \displaystyle\binom{4}{2}^2 \) para elegir las dos cartas de cada palo.
En total \( \displaystyle\binom{6}{2}\cdot \displaystyle\binom{4}{2}^2 \).
- Duples con un palo pito o cerdo y el otro ni pito ni cerdo:
\( 2\cdot 6 \) opciones pare elegir pito o cerdo y el otro palo.
\( \displaystyle\binom{8}{2} \) para elegir las cartas de pitos o cerdos.
\( \displaystyle\binom{4}{2} \) para elegir las dos cartas del otro palo.
En total \( 2\cdot 6\cdot\displaystyle\binom{8}{2}\cdot \displaystyle\binom{4}{2} \).
- Duples de pitos y cerdos (los "gallegos"):
\( \displaystyle\binom{8}{2}^2 \) para elegir las cartas de pitos o cerdos.
- Duples con las cuatro cartas del mismo palo:
\( 6 \) si son palos normales y \( \binom{8}{4} \) si son pitos o cerdos.
En total:
\( 6+2\cdot \displaystyle\binom{8}{4} \)
En definitiva:
\( \boxed{\displaystyle\binom{6}{2}\cdot \displaystyle\binom{4}{2}^2+2\cdot 6\cdot\displaystyle\binom{8}{2}\cdot \displaystyle\binom{4}{2}+\displaystyle\binom{8}{2}^2+6+2\cdot \displaystyle\binom{8}{4}=3486} \)
Saludos.
