Autor Tema: Fórmula para la n-ésima derivada de la exponencial compuesta con una función

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Septiembre, 2022, 09:49 pm
Leído 109 veces

hikmath

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 5
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
Muy buenas. ¿Hay alguna manera de obtener una fórmula para la \( n \)-ésima derivada de la función \( e^{f(x)} \) (suponiendo \( f(x) \) infinitamente diferenciable)?

Según Wolfram, la fórmula es la que aparece en la imagen. ¿Cómo se podría demostrar tal fórmula? ¿inducción? ¿hay algún método que no sea de "fuerza bruta" para obtener alguna fórmula similar?

Gracias



Actualización. Al menos para las primeras cuatro derivadas, se tiene un patrón escondido pero que no logro poder generalizar.

\( f=f(x) \)

\( (e^{f})'=f'e^{f} \)

\( (e^{f})''=(f''+(f')^2)e^{f} \)

\( (e^f)'''=(f'''+3f'f''+(f')^3)e^f \)

\( (e^f)''''=(f''''+4f'''f'+3(f'')^2+6(f')^2f''+(f')^4)e^{f} \)

Como se puede apreciar, hay un patrón que siempre se repite sobre la cantidad de "primas". Ejemplo: \( f'''f' \) si sumamos 3+1=4 nos da la 4-ésima derivada. Similarmente, en \( (f')^4,\, 1\cdot 4=4 \) y así con todos.

¿Es posible obtener una fórmula dado este patrón? (las constantes para mi no son relevantes ya que en la fórmula las pondría simplemente como constantes que dependen del término que acompañan)

Por fórmula me refiero a algo como \( (e^f)^{(n)}=e^f \left(\sum (f^{(1)})^{a_1} (f^{(2)})^{a_2}\cdots (f^{(n)})^{a_n}  \right) \) donde los números \( (1), (2),\ldots \), y los exponentes \( a_1,\, a_2 \), etc. satisfagan el patrón.  (no sé como debería ir variando la suma)

10 Septiembre, 2022, 11:17 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,712
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino