Autor Tema: Hallar la distribución asintótica del EMV

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02 Julio, 2022, 10:19 pm
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Gota

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Hola estoy estudiando estadística alguien me podría ayudar a resolver el siguiente ejercicio porfavor.

Hallar la distribución asintótica del EMV del siguiente ejercicio:

\( (X,Y) \) un vector aleatorio con función de probabilidad:

\( p_\theta(x,y)=\dfrac{e^{\theta xy}}{3+e^\theta}\cdot \Bbb 1_{\{(x,y):x,y\in \{0,1\}\}}, \qquad \theta>0 \)

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Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.



12 Septiembre, 2022, 02:40 am
Respuesta #1

mg

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola,

Para resolver ejercicio sea $$(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),...,(X_n,Y_n)$$ una m.a de $$(X,Y)$$ entonces el EMV viene dado por el $$\theta$$ que maximiza la siguiente función

$$L(\theta,x,y)=\prod P((X_i,Y_i)=(x_i,y_i))=\prod \dfrac{e^{\theta x_iy_i}}{3+e^\theta}\cdot \Bbb 1_{\{(x,y):x,y\in \{0,1\}\}}=\dfrac{e^{\theta \sum x_iy_i}}{(3+e^\theta)^n}\cdot \Bbb 1_{\{(x_i,y_i):x_i,y_i\in \{0,1\}\}}=\dfrac{e^{\theta n \overline{xy}}}{(3+e^\theta)^n}\cdot \Bbb 1_{\{(x_i,y_i):x_i,y_i\in \{0,1\}\}}$$

Maximizar tal expresión es equivalente a maximizar su logaritmo:

$$log L(\theta,x,y)=\theta n \overline{xy} -n log(3+e^\theta)$$

Para ello estudiamos los puntos de derivada nula:

$$ n \overline{xy} -n \displaystyle\frac{e^\theta}{3+e^\theta}=0\Longleftrightarrow{} \overline{xy}= \displaystyle\frac{e^\theta}{3+e^\theta}\Longleftrightarrow{}\displaystyle\frac{3\overline{xy}}{1-\overline{xy}}=e^\theta\Longleftrightarrow{}\theta=log\displaystyle\frac{3\overline{xy}}{1-\overline{xy}}$$

Entonces \( \widehat{\theta}=log\displaystyle\frac{3\overline{xy}}{1-\overline{xy}} \)

Por tanto tendrás que hallar la distribución de \( \overline{xy} \). Creo que tendrás que usar el teorema del cambio de variable. A lo mejor un compañero del foro puede ayudar más.


Hola estoy estudiando estadística alguien me podría ayudar a resolver el siguiente ejercicio porfavor.

Hallar la distribución asintótica del EMV del siguiente ejercicio:

\( (X,Y) \) un vector aleatorio con función de probabilidad:

\( p_\theta(x,y)=\dfrac{e^{\theta xy}}{3+e^\theta}\cdot \Bbb 1_{\{(x,y):x,y\in \{0,1\}\}}, \qquad \theta>0 \)