Si, de hecho me queda claro que los espacios aumentan conforme aumenta \( p \). El hecho de que la dimensión en un momento se estanca , ¿La razón es que el espacio es de dimensión finita o cuál es la razón?
Sí. Ten en cuenta que si el espacio es de dimensión finita \( n \), entonces necesariamente \( \dim( (T-\lambda Id)^p)\leq n \) para todo \( p \), lo que junto con el hecho de que esta dimensión nunca decrece al aumentar \( p \) implica que en algún momento se tiene que estancar (de hecho, por la discusión del ejercicio siempre se va a estancar para algún \( p\leq n \)).
En dimensión infinita la cosa cambia y ya no tiene por qué estancarse. Puede ser instructivo verlo en un ejemplo concreto. Considera el espacio vectorial de los polinomios \( \Bbb R[X] \), que es de dimensión infinita. Considera el endomorfismo \( T:\Bbb R[X] \to \Bbb R[X] \) que asocia a cada polinomio su derivada (puedes comprobar fácilmente que es una aplicación lineal). Entonces tienes que \( T^n \) es el operador que a cada polinomio le asocia su derivada \( n \)-ésima. Fíjate que (tomando \( \lambda = 0 \)) \( Ker(T^p) \) es el subespacio de los polinomios de grado menor que \( p \).
Por lo tanto tenemos \( Ker(T) \subsetneq Ker(T^2) \subsetneq Ker(T^3)\subsetneq \dots \subsetneq Ker(T^p)\subsetneq \dots \) y la cadena nunca estabiliza.
