[mafr]

Hola buenas, tengo la siguiente pregunta:

Sea la matriz \( A=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix} (a,b,c,d \in{\mathbb{R}}) \), que condiciones debe cumplir \( A \) para que tenga dos autovalores reales diferentes.

Gracias.

[franma]

Buenas mafr,

El polinomio característico de A es \( P(\lambda)=\begin{vmatrix}{a-\lambda}&{b}\\{c}&{d-\lambda}\end{vmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=ad-\lambda a -\lambda d +\lambda^2-bc=\lambda^2+\lambda(- a-d)+(ad-bc) \)

Sus raíces son: \( x_1=\dfrac{(a+d)+ \sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2} \) y \( x_2=\dfrac{(a+d)- \sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2} \)

La matriz tendrá 2 valores propios diferentes si el polinomio característico tiene 2 raíces diferentes.
¿Puedes concluir?

Saludos,
Franco.

[mafr]

Buenas mafr,

El polinomio característico de A es \( P(\lambda)=\begin{vmatrix}{a-\lambda}&{b}\\{c}&{d-\lambda}\end{vmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=ad-\lambda a -\lambda d +\lambda^2-bc=\lambda^2+\lambda(- a-d)+(ad-bc) \)

Sus raíces son: \( x_1=\dfrac{(a+d)+ \sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2} \) y \( x_2=\dfrac{(a+d)- \sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2} \)

La matriz tendrá 2 valores propios diferentes si el polinomio característico tiene 2 raíces diferentes.
¿Puedes concluir?

Saludos,
Franco.

Puede ser que ?...

\( x_1\neq x_2 \)

Para ello...

\( (a+d)^2-4(ad-bc)>0 \)
\( a^2+2ad+d^2-4ad+4bc>0 \)
\( a^2-2ad+d^2+4bc>0 \)
\( (a-d)^2-4bc>0 \)

Eso debe cumplirce para que el polinomio tenga dos racies distintas, por ende dos autovalores distintos.

Es correcto?, Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Es correcto?, Saludos.

Si.

Saludos.