Autor Tema: Divisibilidad en números enteros

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

06 Julio, 2022, 02:56 am
Leído 242 veces

Rania

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 80
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Hola a todos, quería saber si me podían ayudar a empezar a resolver este ejercicio porque estoy algo perdida:

Sean \(  a, b \in{\mathbb{Z}}  \), probar que: \(  a - b| a^n - b^n  \) para todo \(  n \in{\mathbb{N}}  \) y \(  a\neq b \in{\mathbb{Z}}  \).

¿Cuáles serían los pasos iniciales para empezar a resolver esto? alguna pista? perdón pero no se bien como plantearlo

06 Julio, 2022, 03:26 am
Respuesta #1

manooooh

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,884
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Sean \(  a, b \in{\mathbb{Z}}  \), probar que: \(  a - b| a^n - b^n  \) para todo \(  n \in{\mathbb{N}}  \) y \(  a\neq b \in{\mathbb{Z}}  \).

¿Cuáles serían los pasos iniciales para empezar a resolver esto? alguna pista? perdón pero no sé bien cómo plantearlo.

Al menos tienes 2 alternativas:

1) Basarte en resultados previos ya demostrados.

2) Recurrir a inducción.

Para 1) te puede servir este resultado que ya demostraste:

Sea \(  a,b \in{\mathbb{R}} \), probar que \( \forall{n\in{\mathbb{N}}}  \), \(  a^n - b^n = (a-b) \displaystyle\sum_{i=1}^n{a^{i-1}b^{n-i}} \).

Luego equivale demostrar:

\[  a - b\mid (a-b) \displaystyle\sum_{i=1}^n{a^{i-1}b^{n-i}}  \]

pero es inmediato por una conocida propiedad: \( a\mid ak \).

Si no te permiten usar resultados previos, usemos PIC y esta equivalencia: \( a-b\mid a^n-b^n\iff a^n-b^n=(a-b)k,\;k\in\Bbb{Z} \) (he usado la definición de divisibilidad).

Paso base: \( n=1 \) queda \( a^1-b^1=(a-b)\cdot1 \) cumple.

Paso inductivo:

HI) \( a^n-b^n=(a-b)k,\;k\in\Bbb{Z} \)

TI) \( a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)k',\;k'\in\Bbb{Z} \)

Dem)

\begin{align*}
a^{n+1}-b^{n+1}&=a^na-b^nb\\
&=a^na-ab^n+ab^n-b^nb\\
&=a(a^n-b^n)+b^n(a-b)\\
&=a(a-b)k+b^n(a-b)\\
&=(a-b)(ak+b^n)\\
&=(a-b)k',\;k'=ak+b^n\in\Bbb{Z}.
\end{align*}

Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos

07 Julio, 2022, 07:16 pm
Respuesta #2

Rania

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 80
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Gracias manooooh por tu respuesta. Quería preguntarte
Si no te permiten usar resultados previos, usemos PIC y esta equivalencia: \( a-b\mid a^n-b^n\iff a^n-b^n=(a-b)k,\;k\in\Bbb{Z} \) (he usado la definición de divisibilidad).
Paso base: \( n=1 \) queda \( a^1-b^1=(a-b)\cdot1 \) cumple.

¿Por qué k en el paso base n= 1 , toma valor 1? ¿De donde saldría que k vale 1? Quizás es medio tonta la pregunta, pero ahora no lo estoy viendo con claridad.

En el caso que para probarlo me base en el resultado demostrado antes, comprendí el razonamiento, pero al momento de resolverlo ¿cómo sería el esquema de resolución?  Es decir, la idea sería:
primero,  mostrar la demostración del resultado previo; y  luego utilizar las propiedades de divisibilidad para llegar a lo que queríamos llegar. Este último paso, ¿cómo debería escribirlo matemáticamente para terminar la demostración?

07 Julio, 2022, 07:50 pm
Respuesta #3

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 10,480
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias manooooh por tu respuesta. Quería preguntarte
Si no te permiten usar resultados previos, usemos PIC y esta equivalencia: \( a-b\mid a^n-b^n\iff a^n-b^n=(a-b)k,\;k\in\Bbb{Z} \) (he usado la definición de divisibilidad).
Paso base: \( n=1 \) queda \( a^1-b^1=(a-b)\cdot1 \) cumple.

¿Por qué k en el paso base n= 1 , toma valor 1? ¿De donde saldría que k vale 1? Quizás es medio tonta la pregunta, pero ahora no lo estoy viendo con claridad.

En el caso que para probarlo me base en el resultado demostrado antes, comprendí el razonamiento, pero al momento de resolverlo ¿cómo sería el esquema de resolución?  Es decir, la idea sería:
primero,  mostrar la demostración del resultado previo; y  luego utilizar las propiedades de divisibilidad para llegar a lo que queríamos llegar. Este último paso, ¿cómo debería escribirlo matemáticamente para terminar la demostración?

Para n=1 es trivial: \( \dfrac{a^{1}-b^{1}}{a-b}=1
  \), luego como 1 es entero, el denominador divide al numerador; se cumple.

Ya se cumple para al menos un n.

O sea, hasta aquí se cumple para al menos un “n”, que es n=1.

Si seguidamente suponemos que se cumple para cualquier “n”, entonces se debe cumplir para su siguiente, para “n+1”.

Supón que no se cumpliera para n=2, pues como ya tenemos que para n=1 se cumple, al hacer la cuenta, deduciríamos que no se cumple para n=1+1=2.

Supón que sí se cumple para n=2 y no se cumpliera para n=3; entonces la cuenta n=1+1 nos diría que es cierto para n=2, y la cuenta n=2+1 nos revelaría que no se cumple para n=3, y así con cualquier caso.

Es decir, basta con las cuentas de manooooh, con eso ya se sabe si funciona para cualquier “n”.

Saludos,

(*Saludos magentas, manooooh).

Aclaro más

Si tú haces las cuentas con la calculadora, puedes ir comprobando que se cumple para 1,2,3... hasta que te canses. Pero esto no te dice si se cumplirá siempre. ¿Cuál es la forma de pensar para demostrarlo? Pues decir, “voy a suponer que falla por primera vez en algún número mientras se cumple para todos los de detrás”. Míralo así, como si estuvieras buscando el “primer fallo”. Buscas si existe eso, porque con un caso que no sea verdad ya no es general, ya no es verdad.


*Así, estás suponiendo que para n es el último que cumple la condición y que para n+1 es el primero que falla; entonces, ahí ves que manoooh demuestra eso, que no existe el hipotético fallo, porque, si existiera, no funcionaría para n+1, la cuenta diría que es mentira o no aseguraría que es verdad; como lo asegura

.

Mira este ejemplo del spoiler también:

Spoiler

Un ejemplo de algo que nadie ha podido demostrar todavía por inducción (ni de niguna otra manera).

La hipótesis dice que todos los números pares mayores que 2 se pueden escribir como suma de dos primos: 4=2+2; 6=3+3=6; 8=3+5... Esto se ha comprobado para muchísimos pares consecutivos hasta un cierto \( 2n \) que no sé cuál es porque cada día se encuentran varios más (es la conjetura de Goldbach).

Así que, si conjeturamos que deja de cumplirse, habrá con seguridad dos pares consecutivos tales que \( 2n \) la cumplirá y \( 2(n+1) \) no la cumplirá (porque si existe el segundo fallo antes tiene que existir el primero).

Pero aunque no se hubiera comprobado para tantos pares, basta con saber que se cumple 2+2=4 para que la suposición sea válida: si no se cumpliera, con toda seguridad, habría un último par \( 2n \) en cumplirla (que se podría escribir como dos primos) y un par siguiente, \( 2(n+1) \), que no se podría escribir como suma de dos primos.

Ahora bien, si no se cumpliera para 4 ni para 6 ni 8... pues ya fallaría directamente. Tiene que haber un caso a partir del cual todos los siguientes la cumplan, tenemos que observar que existe. Normalmente va a ser el caso donde n=1, (pero no siempre, la inducción completa no se da siempre).

En tu caso se observa que se cumple para n=1; si no se cumpliera para n=1 y sí para n=2, se podría seguir el mismo razonamiento exactamente; pero desde ese caso base, para n=2.

[cerrar]

Añado más, ahora que veo la contestación de manooooh, que a lo mejor no entendía del todo qué era lo que te daba problemas (me apoyo en lo que he explicado arriba):

\( {\color{magenta}a^{n+1}-b^{n+1}} =a^{n}a-b^{n}b
=a^{n}a-ab^{n}+ab^{n}-b^{n}b
=a({\color{blue}a^{n}-b^{n}})+b^{n}(a-b)
=a{\color{blue}(a-b)k}+b^{n}(a-b)
=(a-b)(ak+b^{n})
  \)

En magenta: el primero que deja de cumplir la condición (en hipótesis)

En azul: el último que la cumple; con lo cual \( (a^{n}-b^{n})
  \) es múltiplo de \( (a-b)
  \) con toda SEGURIDAD y EXISTE, no es una suposición (de lo contrario no se demostraría nada) lo que es una suposición es que sea el último. Por tanto, como tal múltiplo se puede escribir:

\( (a^{n}-b^{n})=k(a-b)
  \) para algún k entero.

07 Julio, 2022, 07:51 pm
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,715
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
\( \displaystyle a^n - b^n = (a-b) \cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^{k} \cdot b^{n-1-k}  \)
Para \( n=1 \)
\( \displaystyle a^1 - b^1 = (a-b) \cdot \sum_{k=0}^{0} a^{k} \cdot b^{n-1-k} = (a-b) \cdot  a^0 \cdot b^0 = (a-b) \cdot  1 \) cuando \( a \cdot b \neq 0 \)

07 Julio, 2022, 10:17 pm
Respuesta #5

manooooh

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,884
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

En el caso que para probarlo me base en el resultado demostrado antes, comprendí el razonamiento, pero al momento de resolverlo ¿cómo sería el esquema de resolución?  Es decir, la idea sería:
primero,  mostrar la demostración del resultado previo; y  luego utilizar las propiedades de divisibilidad para llegar a lo que queríamos llegar. Este último paso, ¿cómo debería escribirlo matemáticamente para terminar la demostración?

Pues es inmediato porque tiene la "forma" que necesitamos: \( a\mid ak \).

Puedes decir: "Y por una conocida propiedad, \( a\mid ak \), luego \( a - b\mid (a-b) \displaystyle\sum_{i=1}^n{a^{i-1}b^{n-i}} \)".

La otra es volver a recurrir a la definición de divisibilidad, entonces lo que hay que probar es que existe un entero \( k \) tal que \( (a-b) \displaystyle\sum_{i=1}^n{a^{i-1}b^{n-i}}=(a-b)k \), pero es prácticamente inmediato.

Spoiler
Toma \( k=\displaystyle\sum_{i=1}^n{a^{i-1}b^{n-i}} \). Al ser entero por ser suma y producto de enteros, se cumple la igualdad.
[cerrar]

Saludos