[LeandroR]

Buen día, llevo 2 días cabezeandome con este ejercicio.

Me podrían ayudar porfavor ?

Determine \( X\in M_3(\mathbb{R}) \)  tal que:

\[ \left(AX^T B\right)^{-1}=B \]

Sabiendo que:

\[ A=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{-1}\\{0}&{0}&{2}\end{bmatrix}\qquad B=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}\\{0}&{1}&{1}\end{bmatrix} \]

[ingmarov]

Hola Leandro, bienvenido

Por esta vez he corregido tu mensaje para el problema se pueda leer directamente en el mensaje. Procura leer las reglas del foro y el tutorial de LaTeX.

En cuanto al problema, veamos

\[ \left(AX^T B\right)^{-1}=B \]


\[ \Rightarrow{\color{blue}\left(AX^T B\right)}\left(AX^T B\right)^{-1}={\color{blue}\left(AX^T B\right)}B \]

\[ =I={\color{black}\left(AX^T B\right)}B \]


\[ \Rightarrow I{\color{blue}}B^{-1}=\left(AX^T B\right)B{\color{blue}}B^{-1} \]

\[ ={\color{black}}B^{-1}=\left(AX^T B\right)I \]

\[ ={\color{black}}B^{-1}=AX^T B \]


\[ \Rightarrow B^{-1}{\color{blue}B^{-1}}=AX^T B{\color{blue} B^{-1}} \]

\[ = (B^{-1})^2=AX^T \]



\[ \Rightarrow {\color{blue} A^{-1}}(B^{-1})^2={\color{blue} A^{-1}}AX^T \]

\[ = {\color{blue} A^{-1}}(B^{-1})^2=X^T \]


\[ \therefore\qquad X=\left(A^{-1}(B^{-1})^2\right)^T \]


Solo falta que hagas esas operaciones, las de la última linea.


Saludos

[LeandroR]

Hola Leandro, bienvenido

Por esta vez he corregido tu mensaje para el problema se pueda leer directamente en el mensaje. Procura leer las reglas del foro y el tutorial de LaTeX.

En cuanto al problema, veamos

\[ \left(AX^T B\right)^{-1}=B \]


\[ \Rightarrow{\color{blue}\left(AX^T B\right)}\left(AX^T B\right)^{-1}={\color{blue}\left(AX^T B\right)}B \]

\[ =I={\color{black}\left(AX^T B\right)}B \]


\[ \Rightarrow I{\color{blue}}B^{-1}=\left(AX^T B\right)B{\color{blue}}B^{-1} \]

\[ ={\color{black}}B^{-1}=\left(AX^T B\right)I \]

\[ ={\color{black}}B^{-1}=AX^T B \]


\[ \Rightarrow B^{-1}{\color{blue}B^{-1}}=AX^T B{\color{blue} B^{-1}} \]

\[ = (B^{-1})^2=AX^T \]



\[ \Rightarrow {\color{blue} A^{-1}}(B^{-1})^2={\color{blue} A^{-1}}AX^T \]

\[ = {\color{blue} A^{-1}}(B^{-1})^2=X^T \]


\[ \therefore\qquad X=\left(A^{-1}(B^{-1})^2\right)^T \]


Solo falta que hagas esas operaciones, las de la última linea.


Saludos

Muy agradecido compañero, perdón por la mala redacción del post.