Hola.
Entiendo que la dimensión de \[ V \] es finita. Sea \[ dim W=n \] y \[ dim V=m+n \].
Echando mano de la teoría correspondiente, como \[ T_{|W} \] es diagonalizable existe \[ \{u_1,\ldots, u_n\} \in{W} \], una base de \[ W \] formada por autovectores de \[ T_{|W} \] y \[ \lambda_1,\ldots \lambda_n\in{\mathbb{F}} \] autovalores respectivos asociados, no necesariamente distintos, tales que para todo \[ i \] es \[ T(u_i) =T_{|W} (u_i) =\lambda_iu_i \].
Por otro lado, como \[ \overline{T} \] es diagonalizable existe \[ \{v_1+W,...,v_m+W\} \in{V/W} \] una base de \[ V/W \] formada por autovectores de \[ \overline{T} \] y \[ \mu_1,...,\mu_m\in{\mathbb{F}} \] autovalores respectivos asociados, no necesariamente distintos entre ellos.
Tenemos que todo \[ v_i \] está fuera de \[ W \] ya que, en otro caso, \[ v_i+W=W \] sería el elemento neutro de \[ V/W \] y no podría formar parte de una base. También que los \[ v_1,...,v_m\in{V} \] son linealmente independientes, de otro modo no lo serían los \[ \{v_1+W,...,v_m+W\} \in{V/W} \] y no serían base. Con esto \[ B=\{u_1,...u_n,v_1,...,v_m\} \] es una base de \[ V \].
Seguimos. El hecho de que \[ \overline{T}(v_i+W) =\mu_i(v_i+W) =\mu_iv_i+W \] implica que en particular \[ T(v_i) - \mu_iv_i\in{W} \] por lo que existen \[ a_{1,i},...,a_{n,i} \] tales que \[ T(v_i) =\mu_iv_i+a_{1, i} u_i+... +a_{n, i} u_n \].
Con todo lo dicho hasta ahora, la matriz asociada a \[ T \] en la base \[ B \] es, por bloques:
\[ M=\begin{pmatrix}{D_{\lambda} }&{A}\\{0}&{D_{\mu}}\end{pmatrix} \]
Donde \[ D_{\lambda} \] es una matriz diagonal con las lambdas, \[ D_{\mu} \] es otra matriz diagonal con las mus y \[ A=\{a_{i, j} \} \]
Como \[ M \] es triangular, los autovalores \[ k_1,...,k_{m+n} \] de \[ T \] son las lambdas y las mus. Ahora ya sólo se trata de ver que para todo \[ k_i \] es \[ rang(M-k_i I) =m+n-\alpha(k _i) \] donde \[ \alpha(k_i) \] es la multiplicidad algebraica de \[ k_i \].
¿Rematas tú?
Un saludo.
