Autor Tema: Análisis de convergencia puntual y uniforme

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30 Junio, 2022, 11:10 pm
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JesusSaez

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Para cada \( n\in\mathbb{N} \), sea
\(
g_n(x)=
\begin{cases}
 nx, &\text{si }& 0\leq x\leq\frac{1}{n}\\
\frac{1}{nx}, & \text{si }& \frac{1}{n}< x
\end{cases}
 \)
a)Demostrar que \( g_n \) converge puntualmente a \( 0 \) en \( [0,\infty) \).
b)Demostrar que \( g_n \) converge uniformemente en \( [c,\infty) \) para cada \( c>0 \) pero no lo hace en \( [0,\infty) \).

Tengo la parte a) y la primera parte de b) así:

a) Si \( x=0 \), entonces \( g_n(x)=0 \) para cada \( n\in \mathbb{N} \) y consecuentemente \( g_n(x)\rightarrow 0 \).
Sea \( x>0 \) y \( \epsilon>0 \). Por la Propiedad arquimediana, existe un \( N_1\in \mathbb{N}  \) tal que \( \frac{1}{N}<x \). Además, sabemos que \( \frac{1}{n}\rightarrow 0 \), así que existe \( N_2\in \mathbb{N}  \)  tal que si  \( n\geq N_2  \), entonces \( \frac{1}{n}<x\epsilon \). Si tomamos \( N=max\{N_1,N_2\} \) y \( n\geq N \), tenemos que \( \frac{1}{n}<x \) y consecuentemente:
\(
|g_n(x)-0|=|\frac{1}{nx}|=\frac{1}{nx}<\frac{1}{x}x\epsilon=\epsilon
 \)
Así, hemos mostrado que para cada \( x\geq 0 \), \( g_n(x)\rightarrow 0 \) y así se muestra la convergencia puntual.

b)Sea \( c>0 \) y \( \epsilon>0 \). Luego, existe \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \frac{1}{n_0}<c \). Tambien, como \( \frac{1}{n}\rightarrow 0 \), existe \( n_1\in\mathbb{N} \) tal que si \( n>n_1 \) entonces \( \frac{1}{n}<c\epsilon \). Entonces, tomando \( N=max\{n_0,n_1\} \), tenemos que para cada \( n>N \) y cada \( x\geq c \):
\(
|g_n(x)-0|=|\frac{1}{nx}|=\frac{1}{nx}\leq \frac{1}{nc}<\epsilon
 \)
Así, se tiene que \( g_n \) converge uniformemente en \( [c,\infty) \) para cada \( c>0 \).

Quisiera saber si lo hecho anteriormente es correcto y también como pruebo que \( g_n \) NO converge uniformemente en \( [0,\infty) \).

01 Julio, 2022, 08:09 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola



Para cada \( n\in\mathbb{N} \), sea
\(
g_n(x)=
\begin{cases}
 nx, &\text{si }& 0\leq x\leq\frac{1}{n}\\
\frac{1}{nx}, & \text{si }& \frac{1}{n}< x
\end{cases}
 \)
a)Demostrar que \( g_n \) converge puntualmente a \( 0 \) en \( [0,\infty) \).
b)Demostrar que \( g_n \) converge uniformemente en \( [c,\infty) \) para cada \( c>0 \) pero no lo hace en \( [0,\infty) \).

Tengo la parte a) y la primera parte de b) así:

a) Si \( x=0 \), entonces \( g_n(x)=0 \) para cada \( n\in \mathbb{N} \) y consecuentemente \( g_n(x)\rightarrow 0 \).
Sea \( x>0 \) y \( \epsilon>0 \). Por la Propiedad arquimediana, existe un \( N_1\in \mathbb{N}  \) tal que \( \frac{1}{N}<x \). Además, sabemos que \( \frac{1}{n}\rightarrow 0 \), así que existe \( N_2\in \mathbb{N}  \)  tal que si  \( n\geq N_2  \), entonces \( \frac{1}{n}<x\epsilon \). Si tomamos \( N=max\{N_1,N_2\} \) y \( n\geq N \), tenemos que \( \frac{1}{n}<x \) y consecuentemente:
\(
|g_n(x)-0|=|\frac{1}{nx}|=\frac{1}{nx}<\frac{1}{x}x\epsilon=\epsilon
 \)
Así, hemos mostrado que para cada \( x\geq 0 \), \( g_n(x)\rightarrow 0 \) y así se muestra la convergencia puntual.

b)Sea \( c>0 \) y \( \epsilon>0 \). Luego, existe \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \frac{1}{n_0}<c \). Tambien, como \( \frac{1}{n}\rightarrow 0 \), existe \( n_1\in\mathbb{N} \) tal que si \( n>n_1 \) entonces \( \frac{1}{n}<c\epsilon \). Entonces, tomando \( N=max\{n_0,n_1\} \), tenemos que para cada \( n>N \) y cada \( x\geq c \):
\(
|g_n(x)-0|=|\frac{1}{nx}|=\frac{1}{nx}\leq \frac{1}{nc}<\epsilon
 \)
Así, se tiene que \( g_n \) converge uniformemente en \( [c,\infty) \) para cada \( c>0 \).

Quisiera saber si lo hecho anteriormente es correcto y también como pruebo que \( g_n \) NO converge uniformemente en \( [0,\infty) \).

Está bien lo que has hecho.

En general \( g_n(x) \) no converge uniformemente a \( g(x) \) en un conjunto \( A \), si eres capaz de encontrar un \( \epsilon>0 \) y una sucesión de puntos \( x_n\in A \) tal que \( |g_n(x_n)-g(x_n)|>\epsilon \). ¿Entiendes por qué? ¿has visto ese resultado o sabes demostrarlo? Es el método más usual para probar la NO convergencia uniforme.

Entonces en tu caso toma \( x_n=\dfrac{1}{2n} \) y nota que \( g_n(x_n)=\dfrac{1}{2} \).

Saludos.