Autor Tema: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)

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29 Junio, 2022, 12:27 pm
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Marcos Castillo

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Hola, estimado Rincón

Vuelvo una y otra vez sobre el mismo cuerpo de texto que ya he planteado con anterioridad, y dado erróneamente por resuelto. Haré una cita ingente  :-[ y en parte redundante (perdón), y seguido preguntas; mis intentos por resolverlas no los reflejo, porque no me parece que aportaría nada. Ahí va:

Citar

Notación \( O \)

DEFINICIÓN 9

Se escribe \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si

\( |f(x)|\leq{k|u(x)|} \)


se cumple para alguna constante \( k \) en algún intervalo abierto que contiene a \( x=a \).

De forma similar \( f(x)=g(x)+O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si \( f(x)-g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), es decir, si

\( |f(x)-g(x)|\leq{k|u(x)|} \) cerca de \( a \)

Por ejemplo, \( \sin{\;x}=O(x) \) cuando \( x\rightarrow{0} \) porque \( |\sin{\;x}|\leq{|x|} \) cerca de 0.

A partir de la definición se pueden deducir las siguientes propiedades de la notación \( O \):

(i) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( Cf(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( C \).

(ii) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) y \( g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)\pm{g(x)}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \).

(iii) Si \( f(x)=O(x-a)^{k}u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)/(x-a)^{k}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( k \).

El Teorema de Taylor dice que si \( f^{(n+1)}(t) \) existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n} \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), entonces, cuando \( x\rightarrow{a} \),

\( f(x)=P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)

Esto es una afirmación sobre la rapidez con que la gráfica del polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) se acerca a la de \( f(x) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). La distancia vertical entre las gráficas disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \). El siguiente teorema demuestra que el polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) es el único polinomio de grado máximo \( n \) cuya gráfica se aproxima a la gráfica de \( f(x) \) con esa rapidez.

TEOREMA 11

Si \( f(x)=Q_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), siendo \( Q_{n} \) un polinomio de grado máximo \( n \), entonces \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \), es decir, \( Q_{n} \) es el polinomio de Taylor para \( f(x) \) en \( x=a \).

DEMOSTRACIÓN Sea \( P_{n} \) el polinomio de Taylor. Entonces las propiedades (i) y (ii) de la notación \( O \) implican que \( R_{n}(x)=Q_{n}(x)-P_{n}(x)=O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero de forma que \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \). Sustituyendo \( x \) por \( a+(x-a) \) y desarrollando las potencias, podemos escribir \( R_{n}(x) \) en la forma

\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)

Si \( R_{n}(x) \) no es idénticamente nulo, entonces existe un mínimo coeficiente \( c_k(k\leq{n}) \) tal que \( c_k\neq{0} \), pero \( c_j=0 \) para \( 0\leq{j}\leq{k-1} \). Por tanto,

\( R_{n}(x)=\color{Red}(x-a)^k(c_k+c_{k+1}(x-a)+\ldots{+c_n(x-a)^{n-k}}) \)

Por lo tanto \( \lim_{x\rightarrow\color{Red}{a}}\color{Black}R_{n}(x)/(x-a)^k\color{Red}=c_k\color{Black}\neq{0} \). Sin embargo, por la propiedad (iii) anterior tenemos que \( R_{n}(x)/(x-a)^k=O((x-a)^{n+1-k}) \). Como \( n+1-k>0 \), esto indica que \( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Esta contradicción demuestra que \( R_{n}(x) \) debe ser idénticamente nulo. Por lo tanto \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \).


Preguntas:

- La distancia vertical entre las gráficas de \( f(x) \) y las aproximaciones sucesivas del polinomio de Taylor disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \): ¿por qué?; lo que he leído de la notación Gran O es que se trata de un reflejo del error en la estimación.

- Cómo llega en el Teorema 11 a escribir

Citar

Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero.


Cómo, o dónde, sustituyendo \( x \) por \( a+(x-a) \) y desarrollando potencias, (puede) escribir \( R_{n}(x) \) en esta forma:

\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)

¡Un saludo!

Editado el 02/07/2022, a las 15:45, a las 15:55, y a las 16:00

No man is an island (John Donne)

29 Junio, 2022, 04:33 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

- La distancia vertical entre las gráficas de \( f(x) \) y las aproximaciones sucesivas del polinomio de Taylor disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \): ¿por qué?; lo que he leído de la notación Gran O es que se trata de un reflejo del error en la estimación.

 Pues tienes por una parte que:

\(  f(x)-p_n(x)=O(|x-a|^{n+1}) \) (*)

 Por otra parte tienes la definición de la notación O grande:

Citar
Se escribe \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si

\( |f(x)|\leq{k|u(x)|} \)


se cumple para alguna constante \( k \) en algún intervalo abierto que contiene a \( x=a \).

 Según la cuál (*) significa que existe una constante \( k \) tal que:

\(  |f(x)-p_n(x)|\leq k|x-a|^{n+1} \)

 es decir la distancia entre la función y el polinomio de Taylor está acotada por un múltiplo de la función \( |x-a|^{n+1} \). Ese es el significado preciso de la cita sobre la cuál preguntabas:

Citar
- Cómo llega en el Teorema 11 a escribir

Citar
Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero.

No se si entiendo la pregunta. Si el teorema quiere demostrar que los polinomios \( Q_n(x) \) y \( P_n(x) \) coinciden pues obviamente eso equivale a demostrar que la diferencia entre ambos \( R_n(x)=Q_n(x)-P_n(x) \) es nula.

Citar
Cómo, o dónde, sustituyendo \( x \) por \( a+(x-a) \) y desarrollando potencias, (puede) escribir \( R_{n}(x) \) en esta forma:

\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)

Pues por ejemplo si tienes el polinomio \( R_n(x)=1-2x+x^2 \) poniendo \( x=a+(x-a) \) te queda:

\( R_n(x)=1-2(a+(x-a))+(a+(x-a))^2=1-2a-2(x-a)+a^2+2a(x-a)+(x-a)^2=1-2a+a^2+(2a-2)(x-a)+(x-a)^2 \)

y ya lo tienes escrito en potencias de \( (x-a) \).

Saludos.

01 Julio, 2022, 02:37 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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¡Por fin, por fin lo entiendo! Gracias, en serio.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)