Autor Tema: Continuidad de función definida por partes

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

29 Junio, 2022, 09:26 am
Leído 75 veces

JesusSaez

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 142
  • País: mx
  • Karma: +0/-0


Sea \( f:\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\geq 0\}\rightarrow\mathbb{R}^2  \) definida por
\(
f(x,y)=\begin{cases}{(x,y-x^2)}&\text{si }x^2\leq y\\(x,x^2-y)& \text{si } 0\leq y<x^2\end{cases}
 \)
Definamos a \( F:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 \) por
\(
F(x,y)=\begin{cases}{f(x,y)}&\text{si }y\geq 0\\f(-x,-y)& \text{si }y<0\end{cases}
 \)
a)¿Es \( F \) continua en \( (0,0) \)?
b)¿Es \( F \) diferenciable en \( (0,0) \)?
Justificar la respuesta usando la definición \( \epsilon-\delta \). (Preferentemente)

29 Junio, 2022, 04:13 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 51,512
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola



Sea \( f:\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\geq 0\}\rightarrow\mathbb{R}^2  \) definida por
\(
f(x,y)=\begin{cases}{(x,y-x^2)}&\text{si }x^2\leq y\\(x,x^2-y)& \text{si } 0\leq y<x^2\end{cases}
 \)
Definamos a \( F:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 \) por
\(
F(x,y)=\begin{cases}{f(x,y)}&\text{si }y\geq 0\\f(-x,-y)& \text{si }y<0\end{cases}
 \)
a)¿Es \( F \) continua en \( (0,0) \)?

Ten en cuenta que \( F(0,0)=(0,0) \). Además los posibles valores de \( F(x,y) \) dependiendo del punto \( (x,y) \) son:

\( (x,y-x^2),(-x,-y-x^2),(x,x^2-y),(-x,x^2+y) \)

Eso reduce a \( \|F(x,y)-F(0,0)\|^2 \) a dos posibilidades:

\( \|F(x,y)-F(0,0)\|^2=x^2+(y-x^2)^2 \) ó \( \|F(x,y)-F(0,0)\|=x^2+(y+x^2)^2 \)

y ambas pueden acotarse como:

\( \|F(x,y)-F(0,0)\|\leq x^2+2y^2+4x^4\leq 3(x^2+y^2)+4(x^2+y^2)^2=\|(x,y)\|^2(3+4\|(x,y)\|^2) \)

de ahí puedes deducir fácilmente la continuidad por la definición epsilon-delta.

Citar
b)¿Es \( F \) diferenciable en \( (0,0) \)?
Justificar la respuesta usando la definición \( \epsilon-\delta \). (Preferentemente)

Si consideras la restricción a la recta \( x=0 \), la función queda:

\( F(x,y)=\begin{cases}{f(x,y)=(0,y)}&\text{si }y\geq 0\\f(-x,-y)=(0,-y)& \text{si }y<0\end{cases} \)

Por tanto la segunda componente es la función \( |y| \), que no es derivable en el origen. O en otras palabras no existe la derivada parcial con respecto a \( y \) en el origen; por tanto no es diferenciable.

Saludos.

30 Junio, 2022, 10:27 pm
Respuesta #2

JesusSaez

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 142
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
Muchas gracias, lo que me causaba duda es que salían varias posibilidades y la cota para \( ||F(x,y)-F(0,0)|| \) debe ser uniforme para cualquier punto del dominio. Pero viendo las posibilidades siempre es posible obtenerla por los valores absolutos.

01 Julio, 2022, 07:47 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 51,512
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Muchas gracias, lo que me causaba duda es que salían varias posibilidades y la cota para \( ||F(x,y)-F(0,0)|| \) debe ser uniforme para cualquier punto del dominio. Pero viendo las posibilidades siempre es posible obtenerla por los valores absolutos.

Fíjate que en cualquier caso si salieran varias cotas diferentes (pero un número finito de ellas) podrías tomar la mayor de ellas como cota global.

De hecho puede formularse un teorema de continuidad sobre funciones definidas a trozos, para aquellas que están definidas por funciones continuas en cada trozo y su frontera y cuyos valores en los puntos frontera de coinciden.

Saludos.