Autor Tema: Calcular la suma conociendo una

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20 Junio, 2022, 01:12 am
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AveFenix

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Hola, estoy desde hace rato y no salgo de esto, debe ser sencillo quizás pero bue..no logro y apreciaría que alguien me dijese como era  :banghead:

Sabiendo que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{1/n^2}=    \pi^2/6 \)

Calcule:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{1/(2n)^2} \)    esta ya la realice es sencilla, y  da    \( \pi^2/24  \) (No pongo los pasos pues es muy rápida)


\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{1/(2n+1)^2} \)   aquí estoy hace rato y no me estoy dando cuenta

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{((-1)^{n+1})/(n^2)} \)



Muchas gracias saludos como siempre.
Estudiar Matemáticas se volvió una pasión, que me duele la cabeza ^^.
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20 Junio, 2022, 02:06 am
Respuesta #1

Abdulai

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\( S=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{n^2}} =  \dfrac{\pi^2}{6} \)



\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{(2n)^2}} = \dfrac{1}{4}S \)


\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{(2n+1)^2}} \)   esta me parece que debió ser \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{1}{(2n+1)^2}} \)

De no ser así, el procedimiento es el mismo nada mas que tenés que tener en cuenta el primer término.
Nota que   \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{1}{(2n+1)^2}} + \underbrace{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{(2n)^2}}}_{=S/4} = S  \) 


Y en la última  \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}} = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{1}{(2n+1)^2}} -  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{(2n)^2}} \)

20 Junio, 2022, 03:42 pm
Respuesta #2

AveFenix

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Me fije en la hoja y todas tienen desde n=1, pero quizás esta con un error ahí, y debe ser desde n=0 igual me gustaría que explicaras un poco como te diste cuenta de que se cumplen esas igualdades, pues no logro darme cuenta así sin mas. Gracias! Saludos


PD: pusiste  π/6   y es π^2/6   un detallito
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20 Junio, 2022, 05:49 pm
Respuesta #3

Abdulai

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Fijate que las sumatorias que te piden son las correpondientes a los términos pares, los impares y la última impares menos pares.

...
PD: pusiste  π/6   y es π^2/6   un detallito
Gracias, ya lo corrijo.