Autor Tema: Para que valores el problema tiene solución

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04 Junio, 2022, 07:31 pm
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S.S

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Hola a todos.

Tengo lo siguiente y la verdad no sé por donde iniciar. Espero puedan darme un asugerencia. De antemano gracias.

¿Para que valores del parámetro \( \alpha\in \mathbb{R} \) la función \( f(x)= x_{1}+\alpha x_{2} \),  restricta a \( D=\{x\in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\alpha x_{1}x_{2}\} \),  tienen un mínino global y para cuales mínimo local?

05 Junio, 2022, 08:29 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Observa el siguiente sistema de ecuaciones en \[ x_1,x_2 \]:

\[ x_1+\alpha x_2=k \]
\[ x_1^3+x_2^3=\alpha x_1x_2 \]

Despejando una de las incógnitas en la primera ecuación y substituyendo en la segunda se llega a que:

\[ k^3-3\alpha k^2 x_2 +3\alpha^2k x_2^2-\alpha^3x_2^3+x_2^3=\alpha(k-\alpha x_2)x_2 \]

Fíjate en que si \[ \alpha\neq 1 \] se tiene una ecuación que, al ser de tercer grado, siempre tendrá al menos una solución real.

Entonces, si \[ \alpha \neq 1 \] se tiene que para todo \[ k\in{\mathbb{R}} \] existe \[ (x_1,x_2)\in{\mathbb{R}}^2 \] tal que:

\[ x_1+\alpha x_2=k \]
\[ x_1^3+x_2^3=\alpha x_1x_2 \]

Por lo que la función no tiene máximo ni mínimo.

Por otro lado, si \[ \alpha=1 \] diría que el problema se puede resolver por multiplicadores de Lagrange. ¿Conoces el método?

Un saludo.

Pd. Huy. Se ve que no había leído bien el enunciado. Pensaba que ponía estudiar cuándo tiene mínimo y cuándo tiene máximo global. Lo que he hecho prueba que si \[ \alpha \neq 1 \] no hay mínimo global, pero sí los habrá locales, al no ser que \[ \alpha=0 \]. Para \[ \alpha=1 \] habrá máximo absoluto pero no mínimos locales ni absolutos.

Luego intento detallar más todo esto.

Un saludo.

05 Junio, 2022, 07:38 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hola.


En este geogebra represento la restricción según \[ \alpha \] y la recta \( x+\alpha y =f \) según los parámetros \[ \alpha \] y \[ f \].

Pueden verse varias cosas:

1) Que la restricción tiene una asíntota oblicua paralela a \[ x_1+x_2=0 \]. Esto habría que demostrarlo pero no doy con los pasos.

2) Que para \( \alpha =0 \) la restricción es una recta y que no habrá máximos ni mínimos locales. Esto es sencillo de probar, ya que, la restricción quedaría:

\[ x_1^3+x_2^3=0\;\Leftrightarrow{\;}(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=0\;\Leftrightarrow{\;}x_1+x_2=0 \]

Y la función a minimizar (o maximizar) \[ f(x_1,x_2)=x_1 \]. Es trivial que no hay máximos ni mínimos locales ni absolutos.

3) Si \[ \alpha\neq 1 \] y \[ \alpha\neq 0 \] no hay máximos ni mínimos mínimos locales globales. Esto ya lo he probado en mi mensaje anterior. Sin embargo, puede verse que hay dos valores de \[ f \] para los que la recta \( x+\alpha y =f \) es tangente a la restricción. Los dos puntos  de tangencia corresponden a un máximo y un mínimo local. No he podido darle muchas vueltas pero no he encontrado una manera de probar formalmente su existencia.

4) Si \[ \alpha =1 \] la recta siempre es paralela a la asíntota, por lo que no hay mínimo local. Sí que habría un máximo local que se podría hallar fácilmente por el método de los multiplicadores de Lagrange y que además está en \[ x_1=x_2 \].

Esto es lo que hay de momento.

Un saludo.

06 Junio, 2022, 08:19 pm
Respuesta #3

S.S

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Hola Martiniano, Gracias por la ayuda, La verdad es que estoy haciendo la disciplina de optimización, pero no conozco los métodos, ingrese porque el programa no ofrecia otras posibilidades. me gustaria preguntarle algunas  cosas referente a la respuesta, de antemano le agradezco.

(1)

Observa el siguiente sistema de ecuaciones en \[ x_1,x_2 \]:

\[ x_1+\alpha x_2=k \]
\[ x_1^3+x_2^3=\alpha x_1x_2 \]

Despejando una de las incógnitas en la primera ecuación y substituyendo en la segunda se llega a que:

\[ k^3-3\alpha k^2 x_2 +3\alpha^2k x_2^2-\alpha^3x_2^3+x_2^3=\alpha(k-\alpha x_2)x_2 \]

Fíjate en que si \[ \alpha\neq 1 \] se tiene una ecuación que, al ser de tercer grado, siempre tendrá al menos una solución real.

Entonces, si \[ \alpha \neq 1 \] se tiene que para todo \[ k\in{\mathbb{R}} \] existe \[ (x_1,x_2)\in{\mathbb{R}}^2 \] tal que:

\[ x_1+\alpha x_2=k \]
\[ x_1^3+x_2^3=\alpha x_1x_2 \]

Por lo que la función no tiene máximo ni mínimo.
(a)¿Porque planteo esos sistemas de equaciones al inicio? (b)¿Por qué considero \( \alpha\neq 1 \)? y  ¿por qué si encuentro una raíz de real del sistema para \( \alpha\neq 1 \) esto dice que la función no tienen ni máximo ni mínimo?

(2)
Hola.


En este geogebra represento la restricción según \[ \alpha \] y la recta \( x+\alpha y =f \) según los parámetros \[ \alpha \] y \[ f \].

Pueden verse varias cosas:

3) Si \[ \alpha\neq 1 \] y \[ \alpha\neq 0 \] no hay máximos ni mínimos locales. Esto ya lo he probado en mi mensaje anterior. Sin embargo, puede verse que hay dos valores de \[ f \] para los que la recta \( x+\alpha y =f \) es tangente a la restricción. Los dos puntos  de tangencia corresponden a un máximo y un mínimo local. No he podido darle muchas vueltas pero no he encontrado una manera de probar formalmente su existencia.
Logro entender que si encuentra puntos de tangencia entre las recta y la curva se encuentra un máximo y un mínimo local, pero no entiendo porque ese observación geometrica me da esa información.

Por último, si tengo lo siguiente  \( f(x)= x_{1}+\alpha x_{2} \),  restricta a \( D=\{x\in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=3 x_{1}x_{2}\} \),  tienen un mínino global y para cuales mínimo local? Esta pregunta  tiene solución. (La verdad es que erre en la publicacíon y el sistema original era este. Pido disculpas apenas me percaté hoy que regrese al foro). Pero aun así el ejercicio me puede ayudar a entender algunos procedimientos dentro de esta area.

De nuevo muchas Gracias.

07 Junio, 2022, 10:35 pm
Respuesta #4

martiniano

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Hola.

(a)¿Porque planteo esos sistemas de equaciones al inicio?

Pues porque es precisamente una forma de probar que no existen extremos absolutos para la mayoría de los valores de \[ \alpha \].

(b)¿Por qué considero \( \alpha\neq 1 \)?

Porque si \[ \alpha=1 \] la ecuación que se obtiene es de segundo grado y no tiene por qué tener solución real. En cambio si \[ \alpha\neq 1 \] la ecuación es de tercer grado y siempre tendrá, al menos, una solución real.

y  ¿por qué si encuentro una raíz de real del sistema para \( \alpha\neq 1 \) esto dice que la función no tienen ni máximo ni mínimo?

Lo que prueba que no existen extremos absolutos es que para todo \[ k\in{\mathbb{R}} \] el sistema tiene solución.

Fíjate en que si hubiera mínimo absoluto entonces la función debería estar, necesariamente, acotada inferormente. Por lo que el sistema no tendría solución para valores de \[ k \] inferiores a la cota.

Logro entender que si encuentra puntos de tangencia entre las recta y la curva se encuentra un máximo y un mínimo local, pero no entiendo porque ese observación geometrica me da esa información.

Pues disculpa, pero es que no me queda claro lo que entiendes y lo que no.

Fíjate en que en los puntos de tangencia la curva mantiene la curvatura. Entonces todos los puntos de la curva contenidos en un cierto entorno del punto de tangencia quedan al mismo lado de la recta. Y en que la recta separa el plano en dos regiones según si sus puntos tienen imagen menor o mayor que \[ f \]. De ahí que los puntos de tangencia representen extremos relativos.

Pero esto es sólo una idea. Falta completar muchos detalles.

Por último, si tengo lo siguiente  \( f(x)= x_{1}+\alpha x_{2} \),  restricta a \( D=\{x\in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=3 x_{1}x_{2}\} \),  tienen un mínino global y para cuales mínimo local? Esta pregunta  tiene solución. (La verdad es que erre en la publicacíon y el sistema original era este. Pido disculpas apenas me percaté hoy que regrese al foro). Pero aun así el ejercicio me puede ayudar a entender algunos procedimientos dentro de esta area.

Bueno no te preocupes. Apenas cambia lo dicho, salvo que aquí para \[ \alpha=0 \] la restricción no se convierte en lineal y por tanto seguirá habiendo extremos relativos (en realidad mínimos relativos no los habrá. Lo digo más abajo)

Un saludo.

08 Junio, 2022, 04:13 am
Respuesta #5

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Hola Martiniano. Gracias por la respuesta. La verdad le agradezco por tomarse el tiempo para hacer las gráficas e demas (Muy didáctico).

Voy a intentar decirlo en la forma que lo entiendo a ver si es cierto

Cuando se plantea el sistema

\[ x_1+\alpha x_2=k \]
\[ x_1^3+x_2^3=3 x_1x_2 \]

y este tiene solución para cada valor \( k \in \mathbb{R} \), lo que se entiende es que la función toma valores tan grandes como se quiera.  En este caso para \( \alpha\neq 1 \) se tiene que el sistema tiene solución, esto quiere decir que del valor  que tengo que preocuparme  es \( \alpha=1 \) que se debe aplicar multiplicadores de Lagrange.  No entendí para que verificar el caso \( \alpha=0 \) y por que en el caso \( \alpha\neq1 \) aparecen mínimos locales.

Si tuviera que dar un argumento netamente geométrico dibujando los planos que resultan en algunos casos  para \( \alpha\neq1 \), como podría diseñar la imagen del conjunto \( D \) no tiene mínimo globlal, pero tiene mínimos locales y para \( \alpha=1 \) si tiene mínimo global. Na sé si esto sea posible.

Gracias de nuevo.



08 Junio, 2022, 11:22 pm
Respuesta #6

martiniano

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Hola.

Cuando se plantea el sistema

\[ x_1+\alpha x_2=k \]
\[ x_1^3+x_2^3=3 x_1x_2 \]

y este tiene solución para cada valor \( k \in \mathbb{R} \), lo que se entiende es que la función toma valores tan grandes como se quiera.

Sí. Y también tan pequeños como se quiera.

En este caso para \( \alpha\neq 1 \) se tiene que el sistema tiene solución, esto quiere decir que del valor  que tengo que preocuparme  es \( \alpha=1 \) que se debe aplicar multiplicadores de Lagrange.

Para \[ \alpha\neq 1 \] no hay mínimos ni máximos globales. Para \[ \alpha=1 \] hay un máximo global pero no mínimos locales ni globales. Esto lo he visto con la gráfica. Y lo que me parece es que hallar ese máximo local y probar que no hay mínimos locales podría hacerse mediante el método de los multiplicadores.

No entendí para que verificar el caso \( \alpha=0 \) y por que en el caso \( \alpha\neq1 \) aparecen mínimos locales.

El caso \[ \alpha=0 \] es distinto en el primer problema que planteaste que en el segundo. Eso lo tienes claro, ¿no?

En el problema original la restricción se convierte en una recta y la función será lineal, por lo que no habrá extremos locales.

En el segundo problema dije que habría mínimos locales para \[ \alpha=0 \], pero se me pasó algo por alto. Aquí la familia de rectas \[ f(x_1,x_2)=f \] es de rectas verticales. Y la restricción tiene un punto doble en el punto de tangencia con una recta vertical, de manera que no hay ningún entorno del punto de tangencia en el que todos los puntos de la restricción queden a la derecha de la recta tangente. Por lo que tampoco habrá mínimo local.

Si tuviera que dar un argumento netamente geométrico dibujando los planos que resultan en algunos casos  para \( \alpha\neq1 \), como podría diseñar la imagen del conjunto \( D \) no tiene mínimo globlal, pero tiene mínimos locales y para \( \alpha=1 \) si tiene mínimo global. Na sé si esto sea posible.

Me pierdo. No entiendo a qué te refieres.

Tenía una errata en mi segundo mensaje. No sé si eso te habrá confundido (creo que no).

Un saludo.

13 Junio, 2022, 01:33 pm
Respuesta #7

S.S

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Hola. Gracias Martiniano por las respuestas. Me han servido bastante y me ha ayudado a tener una idea geométrica del problema.  :laugh: