Hola.
(a)¿Porque planteo esos sistemas de equaciones al inicio?
Pues porque es precisamente una forma de probar que no existen extremos absolutos para la mayoría de los valores de \[ \alpha \].
(b)¿Por qué considero \( \alpha\neq 1 \)?
Porque si \[ \alpha=1 \] la ecuación que se obtiene es de segundo grado y no tiene por qué tener solución real. En cambio si \[ \alpha\neq 1 \] la ecuación es de tercer grado y siempre tendrá, al menos, una solución real.
y ¿por qué si encuentro una raíz de real del sistema para \( \alpha\neq 1 \) esto dice que la función no tienen ni máximo ni mínimo?
Lo que prueba que no existen extremos absolutos es que para todo \[ k\in{\mathbb{R}} \] el sistema tiene solución.
Fíjate en que si hubiera mínimo absoluto entonces la función debería estar, necesariamente, acotada inferormente. Por lo que el sistema no tendría solución para valores de \[ k \] inferiores a la cota.
Logro entender que si encuentra puntos de tangencia entre las recta y la curva se encuentra un máximo y un mínimo local, pero no entiendo porque ese observación geometrica me da esa información.
Pues disculpa, pero es que no me queda claro lo que entiendes y lo que no.
Fíjate en que en los puntos de tangencia la curva mantiene la curvatura. Entonces todos los puntos de la curva contenidos en un cierto entorno del punto de tangencia quedan al mismo lado de la recta. Y en que la recta separa el plano en dos regiones según si sus puntos tienen imagen menor o mayor que \[ f \]. De ahí que los puntos de tangencia representen extremos relativos.
Pero esto es sólo una idea. Falta completar muchos detalles.
Por último, si tengo lo siguiente \( f(x)= x_{1}+\alpha x_{2} \), restricta a \( D=\{x\in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=3 x_{1}x_{2}\} \), tienen un mínino global y para cuales mínimo local? Esta pregunta tiene solución. (La verdad es que erre en la publicacíon y el sistema original era este. Pido disculpas apenas me percaté hoy que regrese al foro). Pero aun así el ejercicio me puede ayudar a entender algunos procedimientos dentro de esta area.
Bueno no te preocupes. Apenas cambia lo dicho, salvo que aquí para \[ \alpha=0 \] la restricción no se convierte en lineal y por tanto seguirá habiendo extremos relativos
(en realidad mínimos relativos no los habrá. Lo digo más abajo)Un saludo.