[petras]

Calcular el valor mínimo de:\( W=tg\alpha+tg\theta \)
\( a)\sqrt{0,1}\\
b) \sqrt{0,2}\\ c)\sqrt{0,2}\\d)\sqrt{0,4}\\e)\sqrt{0,5}
  \)

[Ignacio Larrosa]

Calcular el valor mínimo de:\( W=tg\alpha+tg\theta \)
\( a)\sqrt{0,1}\\
b) \sqrt{0,2}\\ c)\sqrt{0,2}\\d)\sqrt{0,4}\\e)\sqrt{0,5}
  \)

Si se puede demostrar fácilmente que el mínimo de \( W=\tg\alpha+\tg\theta \) coimcide con el mínimo de \( \alpha+\theta \), lo que debe ser cierto, la cosa es bastante sencilla. Se trataría entonces de maximizar el ángulo \( \gamma \) comprendido entre los otros dos. Para ello el punto B debe estar en la circunferencia de menor radio que pasa por C y D, que no es otra que la tangente en B que pasa por C y D. Su centro H debe estar en la mediatriz de C y D y en la elipse de focos O y D que pasa por el punto medio I de A y D (o en la de focos C y O, que pasa por el punto medio J de A y C). El punto B estyá alineado con O y H, por lo que no hay ya dificultad en determinarlo. Y conocido B, se pueden calcular ambas tangentescomo la tangente de una diferencia. La respuesta es \( W=\sqrt{\dfrac{2}{5}} \). Por cierto que para el mínimo se tiene que \( \alpha=\theta \).


Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Si se puede demostrar fácilmente que el mínimo de \( W=\tg\alpha+\tg\theta \) coimcide con el mínimo de \( \alpha+\theta \), lo que debe ser cierto, la cosa es bastante sencilla.

Si en una función derivable:

\( u(x)=f(x)+g(x) \)

un punto crítico \( x_0 \), es decir, cuando \( u'(x_0)=0 \) verifica que \( f(x_0)=g(x_0) \), entonces también es punto crítico de la función:

\( w(x)=h(f(x))+h(g(x)) \)

Porque:

\( w'(x)=h'(f(x_0))f'(x_0)+h'(g(x_0))g'(x_0))=h'(f(x_0))u'(x_0)=0 \)

Esto (más o menos) explica porqué el argumento funciona... aunque no acaba de dejarme satisfecho.

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Por complementar un poco lo que se ha dicho propongo lo siguiente:

Considerar el siguiente dibujo.


En él están los elementos del enunciado (con otra nomenclatura). Considerar las circunferencias circunscritas q los triángulos \[ ABF \] y \[ DEF \] y las respectivas intersecciones con las verticales por \[ A \] y por \[ E \]. Llamémoslas \[ I \] y \[ J \].

Se tiene que \[ \widehat{JAF}=\widehat{BEF} \] por lados perpendiculares, y que \[ \widehat{AJF}=\widehat{EBF} \] por admitir \[ ABFJ \] circunferencia circunscrita. Por ello los triángulos \[ AFJ \] y \[ EFB \] son semejantes. Lo mismo con los triángulos \[ EFI \] y \[ AFD \]. Es por ello por lo que:

\[ \displaystyle\frac{AJ}{AF}\cdot{}\displaystyle\frac{EI}{EF}=\displaystyle\frac{BE}{EF}\cdot{\displaystyle\frac{AD}{AF}} \]

De aquí que:

\[ AJ\cdot{EI=BE\cdot{AD}} \]

Y que:

\[ \tan\alpha+\tan\theta=\tan(\alpha+\theta) \cdot{(1-\tan\alpha\tan\theta)} =\tan(\alpha+\theta) \cdot{(1-\displaystyle\frac{AB\cdot{DE}}{AJ\cdot{EI}})}    =\tan(\alpha+\theta) \cdot{(1-\displaystyle\frac{AB\cdot{DE}}{BE\cdot{AD} })} \], etc.

Un saludo.