[jose.antonio]

El enunciado del problema es el siguiente:

Por los puntos A(a,0) y B(b,0) se trazan las tangentes a circunferencias de centro el origen de coordenadas y radio variable. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de dichas tangentes.

Creo que la solución es una rama de una hipérbola, pero no doy en cómo demostrarlo.

[Abdulai]

...
Creo que la solución es una rama de una hipérbola, pero no doy en cómo demostrarlo.

Yo mas bien veo una circunferencia, pero tampoco veo como demostrarlo

[Luis Fuentes]

Hola

El enunciado del problema es el siguiente:

Por los puntos A(a,0) y B(b,0) se trazan las tangentes a circunferencias de centro el origen de coordenadas y radio variable. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de dichas tangentes.

Creo que la solución es una rama de una hipérbola, pero no doy en cómo demostrarlo.

A mi me sale una curva más complicadilla. Con el enunciado cambiado: \( B=(0,b) \).

La idea es: si \( (p,q) \) es un punto del lugar geométrico considera las rectas que lo unen con \( A \) y \( B \) e impón que su distancia al origen sea la misma.

Las rectas son:

\( \dfrac{x-a}{p-a}=\dfrac{y}{q}\quad \Leftrightarrow{}\quad qx-(p-a)y-aq=0 \)

\( \dfrac{x}{p}=\dfrac{y-b}{q-b}\quad \Leftrightarrow{}\quad (q-b)x-py+bp=0 \)

E igualando las distancias al origen al cuadrado:

\( \dfrac{a^2q^2}{q^2+(p-a)^2}=\dfrac{b^2p^2}{(q-b)^2+p^2} \)

Cambiando \( (p,q) \) por \( (x,y) \) la ecuación implícita del lugar geométrico sería:

\( \dfrac{a^2y^2}{y^2+(x-a)^2}=\dfrac{b^2x^2}{(y-b)^2+x^2} \)

Falta simplificarlo un poco. En la gráfica parece que se puede factorizar a través de la recta que une \( A \) y \( B \).


Saludos.

CORREGIDO (He cambiado el enunciado)

[martiniano]

Hola.

Luis, es que el punto \[ A \] también está sobre el eje de abcisas.

Yo he estado jugando con Geogebra y me sale una circumferencia, como a Abdulai. Concretamente la que pasa por el origen, tiene centro en el eje de abcisas, y radio igual a \[ \displaystyle\frac{ab}{a+b} \]. Pero tampoco consigo demostrarlo.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ups. Gracias martiniano. Con la misma idea:

La idea es: si \( (p,q) \) es un punto del lugar geométrico considera las rectas que lo unen con \( A \) y \( B \) e impón que su distancia al origen sea la misma.

Las rectas son:

\( \dfrac{x-a}{p-a}=\dfrac{y}{q}\quad \Leftrightarrow{}\quad qx-(p-a)y-aq=0 \)

\( \dfrac{x-b}{p-b}=\dfrac{y}{q}\quad \Leftrightarrow{}\quad qx-(p-b)y+bq=0 \)

E igualando las distancias al origen al cuadrado:

\( \dfrac{a^2q^2}{q^2+(p-a)^2}=\dfrac{b^2q^2}{q^2+(p-b)^2} \)

Cambiando \( (p,q) \) por \( (x,y) \) y simplificando lo obvio la ecuación implícita del lugar geométrico sería:

\( \dfrac{a^2}{y^2+(x-a)^2}=\dfrac{b^2}{y^2+(x-b)^2} \)

Simplificando queda:

\( (a+b)x^2+(a+b)y^2=2abx \)

\( x^2+y^2-\dfrac{2ab}{a+b}x=0 \)

\( \left(x-\dfrac{ab}{a+b}\right)^2+y^2=\left(\dfrac{ab}{a+b}\right)^2 \)

AÑADIDO gráfico:


Saludos.

[jose.antonio]

Hola Luis,

Gracias por tu solución. Es simple y elegante a la vez . Entiendo que únicamente habría que tener en cuenta que cuando \[ a+b=0 \] entonces el lugar geométrico sería \[ x=0 \]. Por otro lado, si r es el radio variable de las circunferencias centradas en el origen de coordenadas, se tiene que cumplir que \[ r \leq \min \{ \lvert a \rvert, \lvert b \rvert \} \]. Esta última condición la introduzco porque si A y/o B son puntos interiores a la circunferencia, por definición, no se podría trazar la tangente a la circunferencia:

"Una línea recta tangente a una circunferencia es aquella que toca la circunferencia exactamente en un punto, sin entrar nunca en su interior."

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias por tu solución. Es simple y elegante a la vez . Entiendo que únicamente habría que tener en cuenta que cuando \[ a+b=0 \] entonces el lugar geométrico sería \[ x=0 \]. Por otro lado, si r es el radio variable de las circunferencias centradas en el origen de coordenadas, se tiene que cumplir que \[ r \leq \min \{ \lvert a \rvert, \lvert b \rvert \} \]. Esta última condición la introduzco porque si A y/o B son puntos interiores a la circunferencia, por definición, no se podría trazar la tangente a la circunferencia:

Si, correcto.

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Otra opción.

Llamemos \[ C \] y \[ D \] a los puntos de tangencia de las tangentes en \[ A \] y \[ B \] respectivamente. Llamemos también \[ E \] a la intersección de dichas tangentes, \[ O \] al centro de la circunferencia (origen) y \[ H \] a la intersección de la vertical por \[ E \] con la recta \[ OA \]. Observar que los ángulos \[ \widehat{DOC} \] y \[ \widehat{AEB} \] tienen lados perpendiculares, luego sus bisectrices también serán perpendiculares. Sea \[ EF \], con \[ F \] sobre \[ AB \], la bisectriz de \[ \widehat{AEB} \]:


Si llamamos \[ h \] a la ordenanda de \[ E \] y \( r=OE \) tenemos:

Por el teorema de la bisectriz en el triángulo \[ AEB \]:

\[ \displaystyle\frac{AF}{FB}=\displaystyle\frac{AE}{BE} \]

Por semejanza de \[ BEH \] con \[ BOD \] es:

\[ \displaystyle\frac{BE}{h}=\displaystyle\frac{OB}{r} \]

De forma parecida, por semejanza entre \[ AEH \] y \[ AOC \]:

\[ \displaystyle\frac{AE}{h}=\displaystyle\frac{OA}{r} \]

Combinando las tres igualdades se llega a:

\[ \displaystyle\frac{AF}{FB}=\displaystyle\frac{OA}{OB} \]

De donde el punto \[ F \] permanece fijo y el lugar de \[ E \] es el de la intersección de las perpendiculares que pasan por los puntos fijos \[ O \] y \[ F \], es decir, la circunferencia con diámetro \[ OF \].

Un saludo.