Autor Tema: Lugar geométrico

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18 Abril, 2022, 06:59 pm
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jose.antonio

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El enunciado del problema es el siguiente:

Por los puntos A(a,0) y B(b,0) se trazan las tangentes a circunferencias de centro el origen de coordenadas y radio variable. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de dichas tangentes.

Creo que la solución es una rama de una hipérbola, pero no doy en cómo demostrarlo.

18 Abril, 2022, 10:20 pm
Respuesta #1

Abdulai

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...
Creo que la solución es una rama de una hipérbola, pero no doy en cómo demostrarlo.
Yo mas bien veo una circunferencia, pero tampoco veo como demostrarlo :(

18 Abril, 2022, 10:50 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

El enunciado del problema es el siguiente:

Por los puntos A(a,0) y B(b,0) se trazan las tangentes a circunferencias de centro el origen de coordenadas y radio variable. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de dichas tangentes.

Creo que la solución es una rama de una hipérbola, pero no doy en cómo demostrarlo.

A mi me sale una curva más complicadilla. Con el enunciado cambiado: \( B=(0,b) \).

La idea es: si \( (p,q) \) es un punto del lugar geométrico considera las rectas que lo unen con \( A \) y \( B \) e impón que su distancia al origen sea la misma.

Las rectas son:

\( \dfrac{x-a}{p-a}=\dfrac{y}{q}\quad \Leftrightarrow{}\quad qx-(p-a)y-aq=0 \)

\( \dfrac{x}{p}=\dfrac{y-b}{q-b}\quad \Leftrightarrow{}\quad (q-b)x-py+bp=0 \)

E igualando las distancias al origen al cuadrado:

\( \dfrac{a^2q^2}{q^2+(p-a)^2}=\dfrac{b^2p^2}{(q-b)^2+p^2} \)

Cambiando \( (p,q) \) por \( (x,y) \) la ecuación implícita del lugar geométrico sería:

\( \dfrac{a^2y^2}{y^2+(x-a)^2}=\dfrac{b^2x^2}{(y-b)^2+x^2} \)

Falta simplificarlo un poco. En la gráfica parece que se puede factorizar a través de la recta que une \( A \) y \( B \).


Saludos.

CORREGIDO (He cambiado el enunciado)

18 Abril, 2022, 10:57 pm
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Luis, es que el punto \[ A \] también está sobre el eje de abcisas.

Yo he estado jugando con Geogebra y me sale una circumferencia, como a Abdulai. Concretamente la que pasa por el origen, tiene centro en el eje de abcisas, y radio igual a \[ \displaystyle\frac{ab}{a+b} \]. Pero tampoco consigo demostrarlo.

Un saludo.

18 Abril, 2022, 11:08 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 Ups. Gracias martiniano. Con la misma idea:

La idea es: si \( (p,q) \) es un punto del lugar geométrico considera las rectas que lo unen con \( A \) y \( B \) e impón que su distancia al origen sea la misma.

Las rectas son:

\( \dfrac{x-a}{p-a}=\dfrac{y}{q}\quad \Leftrightarrow{}\quad qx-(p-a)y-aq=0 \)

\( \dfrac{x-b}{p-b}=\dfrac{y}{q}\quad \Leftrightarrow{}\quad qx-(p-b)y+bq=0 \)

E igualando las distancias al origen al cuadrado:

\( \dfrac{a^2q^2}{q^2+(p-a)^2}=\dfrac{b^2q^2}{q^2+(p-b)^2} \)

Cambiando \( (p,q) \) por \( (x,y) \) y simplificando lo obvio la ecuación implícita del lugar geométrico sería:

\( \dfrac{a^2}{y^2+(x-a)^2}=\dfrac{b^2}{y^2+(x-b)^2} \)

Simplificando queda:

\( (a+b)x^2+(a+b)y^2=2abx \)

\( x^2+y^2-\dfrac{2ab}{a+b}x=0 \)

\( \left(x-\dfrac{ab}{a+b}\right)^2+y^2=\left(\dfrac{ab}{a+b}\right)^2 \)

AÑADIDO gráfico:


Saludos.

19 Abril, 2022, 07:50 pm
Respuesta #5

jose.antonio

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Hola Luis,

Gracias por tu solución. Es simple y elegante a la vez :aplauso:. Entiendo que únicamente habría que tener en cuenta que cuando \[ a+b=0 \] entonces el lugar geométrico sería \[ x=0 \]. Por otro lado, si r es el radio variable de las circunferencias centradas en el origen de coordenadas, se tiene que cumplir que \[ r \leq \min \{ \lvert a \rvert, \lvert b \rvert \} \]. Esta última condición la introduzco porque si A y/o B son puntos interiores a la circunferencia, por definición, no se podría trazar la tangente a la circunferencia:

"Una línea recta tangente a una circunferencia es aquella que toca la circunferencia exactamente en un punto, sin entrar nunca en su interior."

20 Abril, 2022, 09:16 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Gracias por tu solución. Es simple y elegante a la vez :aplauso:. Entiendo que únicamente habría que tener en cuenta que cuando \[ a+b=0 \] entonces el lugar geométrico sería \[ x=0 \]. Por otro lado, si r es el radio variable de las circunferencias centradas en el origen de coordenadas, se tiene que cumplir que \[ r \leq \min \{ \lvert a \rvert, \lvert b \rvert \} \]. Esta última condición la introduzco porque si A y/o B son puntos interiores a la circunferencia, por definición, no se podría trazar la tangente a la circunferencia:

Si, correcto.

Saludos.

20 Abril, 2022, 09:53 am
Respuesta #7

martiniano

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Hola.

Otra opción.

Llamemos \[ C \] y \[ D \] a los puntos de tangencia de las tangentes en \[ A \] y \[ B \] respectivamente. Llamemos también \[ E \] a la intersección de dichas tangentes, \[ O \] al centro de la circunferencia (origen) y \[ H \] a la intersección de la vertical por \[ E \] con la recta \[ OA \]. Observar que los ángulos \[ \widehat{DOC} \] y \[ \widehat{AEB} \] tienen lados perpendiculares, luego sus bisectrices también serán perpendiculares. Sea \[ EF \], con \[ F \] sobre \[ AB \], la bisectriz de \[ \widehat{AEB} \]:


Si llamamos \[ h \] a la ordenanda de \[ E \] y \( r=OE \) tenemos:

Por el teorema de la bisectriz en el triángulo \[ AEB \]:

\[ \displaystyle\frac{AF}{FB}=\displaystyle\frac{AE}{BE} \]

Por semejanza de \[ BEH \] con \[ BOD \] es:

\[ \displaystyle\frac{BE}{h}=\displaystyle\frac{OB}{r} \]

De forma parecida, por semejanza entre \[ AEH \] y \[ AOC \]:

\[ \displaystyle\frac{AE}{h}=\displaystyle\frac{OA}{r} \]

Combinando las tres igualdades se llega a:

\[ \displaystyle\frac{AF}{FB}=\displaystyle\frac{OA}{OB} \]

De donde el punto \[ F \] permanece fijo y el lugar de \[ E \] es el de la intersección de las perpendiculares que pasan por los puntos fijos \[ O \] y \[ F \], es decir, la circunferencia con diámetro \[ OF \].

Un saludo.