Hola
El enunciado del problema es el siguiente:
Por los puntos A(a,0) y B(b,0) se trazan las tangentes a circunferencias de centro el origen de coordenadas y radio variable. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de dichas tangentes.
Creo que la solución es una rama de una hipérbola, pero no doy en cómo demostrarlo.
A mi me sale una curva más complicadilla.
Con el enunciado cambiado: \( B=(0,b) \).La idea es: si \( (p,q) \) es un punto del lugar geométrico considera las rectas que lo unen con \( A \) y \( B \) e impón que su distancia al origen sea la misma.
Las rectas son:
\( \dfrac{x-a}{p-a}=\dfrac{y}{q}\quad \Leftrightarrow{}\quad qx-(p-a)y-aq=0 \)
\( \dfrac{x}{p}=\dfrac{y-b}{q-b}\quad \Leftrightarrow{}\quad (q-b)x-py+bp=0 \)
E igualando las distancias al origen al cuadrado:
\( \dfrac{a^2q^2}{q^2+(p-a)^2}=\dfrac{b^2p^2}{(q-b)^2+p^2} \)
Cambiando \( (p,q) \) por \( (x,y) \) la ecuación implícita del lugar geométrico sería:
\( \dfrac{a^2y^2}{y^2+(x-a)^2}=\dfrac{b^2x^2}{(y-b)^2+x^2} \)
Falta simplificarlo un poco. En la gráfica parece que se puede factorizar a través de la recta que une \( A \) y \( B \).
Saludos.
CORREGIDO (He cambiado el enunciado)