[ferguskielpatrick]

Estoy acometiendo el estudio de topología general, utilizando la obra de Munkres. De allí me surge una duda sobre el ejemplo 12, que no termino de entender. Va así:

Si se considera un conjunto [0,1) de números reales y el conjunto \( Z_{+} \) de los enteros positivos, ambos con sus ordenes usuales; damos a \( Z_{+}* [0,1) \) el orden del diccionario. Este conjunto tiene el mismo tipo de orden que el conjunto de los reales no negativos. La funcion f (n x t) = n + t - 1 es la correspondencia biyectiva que preserva el orden que se necesita.
Pero el conjunto \( [0,1) * Z_{+} \) con el orden del diccionario tiene un tipo de orden distinto, por ej., todo elemento de este conjunto ordenado tiene un inmediato sucesor.

Basicamente, no comprendo el motivo por el que en el segundo ejemplo, todos los elementos del conjunto tienen un inmediato sucesor, mientras que en el primero no.

[geómetracat]

En el caso de \[ [0,1) \times \Bbb Z_+ \], el sucesor de un elemento \[ (x,n) \] es \[ (x,n+1) \]. En efecto, en el orden del diccionario no hay ningún elemento entre estos dos, pues si lo hubiera debería ser un par \[ (x,m) \] con \[ n<m<n+1 \], usando la definición de orden del diccionario, cosa que es imposible porque no hay ningún entero entre \[ n \] y \[ n+1 \].

En cambio, en el caso de \[ \Bbb Z_+ \times [0,1) \] ningún elemento tiene siguiente, porque acabas de ver que es isomorfo como orden al conjunto de los reales no negativos, que cumple que ningún elemento tiene siguente.
Pero puede ser instructivo verlo también directamente. Si tienes dos elementos \[ (n,x) < (m,y)  \], o bien \[ n<m \], en cuyo caso puedes tomar \[ (n,z) \] con \[ x<z<1 \] y cumplirá que \[ (n,x) < (n,z) < (m,y) \], o bien \[ n=m \] y \[ x<y \], en cuyo caso puedes tomar\[ (n,z) \] con \[ x<z<y \] (aquí se usa que \[ [0,1) \] es un orden denso, es decir, que entre dos elementos siempre hay otro) y de nuevo tienes \[ (n,x) < (n,z) < (m,y) \]. En cualquier caso, dados dos elementos siempre hay uno en medio, por lo que este orden es denso, a diferencia del primero.

[manooooh]

Hola

En cambio, en el caso de \[ \Bbb Z_+ \times [0,1) \] ningún elemento tiene siguiente, porque acabas de ver que es isomorfo como orden al conjunto de los reales no negativos, que cumple que ningún elemento tiene siguente.

¿Qué significa que un conjunto sea "isomorfo como orden" a otro? Seguro que no es sobre conjuntos, pues uno es un producto cartesiano y el otro no.

¿Podrías poner un ejemplo más sencillo con una relación de orden más habitual?

Gracias y saludos

[geómetracat]

¿Qué significa que un conjunto sea "isomorfo como orden" a otro?

Dos conjuntos ordenados \[ (P, \leq_P) \] y \[ (Q,\leq_Q) \] son isomorfos como órdenes si existe una aplicación \[ f:P \to Q \] que es biyectiva y además preserva el orden, es decir, cumple que \[ x \leq_P y \Rightarrow f(x) \leq_Q f(y) \].

Si dos órdenes son isomorfos, cumplen las mismas propiedades con respecto al orden. Por ejemplo, uno tiene mínimo si y solo si el otro tiene mínimo, uno es denso si y solo si el otro es denso, etc.

Seguro que no es sobre conjuntos, pues uno es un producto cartesiano y el otro no.

Esto no lo entiendo.

¿Podrías poner un ejemplo más sencillo con una relación de orden más habitual?

Sí, claro. Por ejemplo, considera \[ \Bbb Z_{\geq 0} = \{0,1,2,3,\dots\} \] con su orden habitual, y considera \[ \Bbb Z_{\geq 1} = \{1,2,3,\dots\} \], también con su orden habitual. Estos dos órdenes son distintos como conjuntos (de hecho el segundo es un subconjunto propio del primero), pero sin embargo son isomorfos como órdenes, porque la aplicación \[ f:\Bbb Z_{\geq 0} \to \Bbb Z_{\geq 1} \] dada por \[ f(n)=n+1 \] es un isomorfismo.

También puede ser muy ilustrativo el siguiente ejemplo de dos órdenes que son biyectivos como conjuntos pero no isomorfos como órdenes. Considera \[ P = \Bbb Z_{\geq 0} \cup \{\infty\} = \{0,1,2,3,\dots, \infty \} \], con el orden habitual restringido a los naturales y donde \[ \infty \] es un elemento que cumple \[ n < \infty \] para todo \[ n\in \Bbb Z_{\geq 0} \].
Entonces, los conjuntos \[ \Bbb Z_{\geq 0} \] y \[ P \] son biyectivos, pero no son isomorfos como órdenes. En efecto, la aplicación \[ f:P \to \Bbb Z_{\geq 0} \] dada por \[ f(\infty)=0 \] y \[ f(n)=n+1 \] para \[ n \neq \infty \] es una biyección (pero no un isomorfismo de orden porque \[ 0 <\infty \] pero \[ f(0)=1\not\leq 0 = f(\infty) \]). De hecho, no puede existir ningún isomorfismo de orden porque \[ \Bbb Z_{\geq 0} \] no tiene máximo mientars que \[ P \] sí lo tiene.

[ferguskielpatrick]

En el caso de \[ [0,1) \times \Bbb Z_+ \], el sucesor de un elemento \[ (x,n) \] es \[ (x,n+1) \]. En efecto, en el orden del diccionario no hay ningún elemento entre estos dos, pues si lo hubiera debería ser un par \[ (x,m) \] con \[ n<m<n+1 \], usando la definición de orden del diccionario, cosa que es imposible porque no hay ningún entero entre \[ n \] y \[ n+1 \].

En cambio, en el caso de \[ \Bbb Z_+ \times [0,1) \] ningún elemento tiene siguiente, porque acabas de ver que es isomorfo como orden al conjunto de los reales no negativos, que cumple que ningún elemento tiene siguente.

Déjame ver si entendí: En el caso \[ [0,1) \times \Bbb Z_+ \] si el primer elemento del producto (par ordenado) corresponde al intervalo abierto -\[ (x,n) \]; en este caso x- significa que el segundo elemento será un entero positivo -n-. Entonces, por inducción matemática, podrá encontrarse su sucesor con tal inducción \[ (n+1) \].
Pero si el primer par es un entero positivo, significa que el segundo par es un elemento del intervalo abierto, con lo que esa operación de inducción no será posible, pues al ser un intervalo abierto, es un orden denso, donde no existen sucesores.

En conclusión, la sucesión no existe en órdenes densos como los intervalos abiertos.

Muchas gracias!

[geómetracat]

Básicamente sí, aunque yo no diría que el sucesor de un natural se encuentre "por inducción matemática". Más bien forma parte de la definición de número natural.

[ferguskielpatrick]

Excelente.

Muy agradecido.