Hola
Yo intervine activamente en esas discusiones en Twitter, lo que creo que no fue muy buena idea porque no es el marco idóneo para discusiones de este tipo. Es difícil seguir el orden de los hilos, no se sabe quién replica a quién ni a que, y rápidamente se exaltan los ánimos ...
Pero el problema que se suscitaba con el teorema de Bolzano, y en general con todos los teoremas de funciones continuas y de funciones continuas y derivables, es que usualmente se enuncian así: "Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ...". Si se afirma que f(x)=1/x es continua sin más apreciaciones, el alumno cuando va a aplicar el teorema entiende que si es continua, lo es siempre, en cualquier intervalo, por lo ni se plantea comprobar nada a este respecto, aplica el teorema y te dice que el teorema falla ...
Eso es entrar en la psicología del alumno; no dudo que hoy por hoy causaría problemas y el alumno pensase como tu dices. Pero realmente estaría entendiendo mal las cosas.
Porque TODOS los que estamos en este debate estamos de acuerdo en que \( 1/x \) NO es continua en \( x=0 \). El matiz es que para unos simplemente no está definida en ese punto y no tiene sentido hablar de continuidad (ni discontinuidad) en él; para otros si tiene sentido hablar de discontinuidad en él. Entonces si el alumno entiende que si es continua lo es en cualquier intervalo, pues entiende mal las cosas y hay que ayudarle a que las entienda bien. Si es continua es continua en cualquier subconjunto de su dominio (que tampoco es tan difícil de entender), no en el conjunto que nos de la gana.
Si convenimos en decir que una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio, debemos reformular estos enunciados y decir "Si f está definida y es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ..."
No. La frase "continua en un conjunto \( U \)" significa continua en todos los puntos de \( U \). La frase continua a secas, significa continua en su dominio. Ambas son definiciones coherentes y compatibles. Entonces si se explican así las cosas no hay que reformular nada. La función \( 1/x \) no es continua en \( [-1,1] \) porque no está definida en \( x=0 \).
Por otra parte, la definición de continuidad a partir de las tres condiciones: 1. Existencia de la función, 2. Existencia del límite y 3. Igualdad de ambos, no es exclusiva del Bachillerato (en la ESO no recuerdo haber hablado nunca de nada remotamente relacionado con esto), ni de España. Y definir y clasificar las discontinuidades a partir de cuales de estas tres condiciones no se cumplen. Para muestra un botón extraído del 'Análisis Matemático' de Tom M. Apostol la primera y del 'Calculus' del mismo autor, aunque hay más, las otras dos:
Lanzo algunas preguntas no retóricas (o a lo mejor un poquito si, o un poco capciosas, pero me gustaría una respuesta
):
1) Con la definición del Apóstol la función \( ln(x) \) no es continua en \( -1 \). ¿Qué te parece eso?.
2) Ahondando en la anterior si no aceptamos que continua a secas significa continua en su dominio, la función \( ln(x) \) no es continua. ¿Dirías que no es continua la función logaritmo?.
3) La función que le proponía a Martiniano:
Como ejemplo para incidir en la idea pensemos en la función \( f(x)=x\ln(x^2-1) \). Creo que unos y otros estarían de acuerdo en afirmar que esta función es continua. La gráfica es esta:
¿Hay acaso algún conflicto entonces con el teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \) (sombreado en el dibujo)?. No. El Teorema no aplica porque la función no está definida en todos los puntos del intervalo \( [-1.3,1.3] \), y no tiene nada que ver la continuidad o no. Lo mismo con la función que nos ocupa.
¿Qué motivo darías tu para que no se pueda aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \)?. ¿Qué no está definida en todo el intervalo? ¿O aludirías a problemas de continuidad?. ¿Cómo se lo explicarías a un alumno?. Y otra cuestión más, ¿dirías que es una función continua? (estas preguntas me interesan especialmente) Yo entiendo que implícitamente siempre está hablando de puntos de acumulación del dominio de la función, que es donde puede plantearse calcular un límite. No tiene mucho sentido, a mi modo de ver, hablar de la continuidad de la función en puntos del interior de intervalos que no son del dominio, como tampoco en puntos aislados del dominio.
Estoy de acuerdo. Pero por ejemplo, no veo que ese matiz aparezca en el Apóstol; no al menos en las páginas que has puesto. Seguro que aparece en la práctica, es decir, implícitamente pero no lo veo explícito. Si no se hace se llegaría al absurdo (en mi opinión) de que siguiendo su propio convenio tener que decir que la función logaritmo no es continua.
Este es un problema (para discutir cuestiones sutiles) que veo de fondo en muchos apuntes y libros de Bachillerato y algunos Universitarios. No son totalmente rigurosos; dejan cabos sueltos. No es grave para entender las cosas. Pero para debatir estas sutilezas eso es un problema.
Pero en definitiva, todo es cuestión de definiciones. Lo que es necesario es que las definiciones sean coherentes. Y conveniente que sean útiles y a ser posible fácilmente inteligibles a quienes están destinadas.
Yo creo que cualquiera de los dos convenios pueden plantearse de manera totalmente coherente.
Añado una cosa más, me parece que profesores Universitarios y de Bachillerato deberían de ser conscientes de la disparidad de criterios en esas definiciones y a la hora de corregir un ejercicio,
sobre todo en las EBAU, permitir las dos posibilidades. En una asignatura donde el profesor marca las reglas, puede pasar que el profesor imponga su criterio; pero en las EBAU, que son pruebas externas, debería de haber sensibilidad a la posible disparidad de convenios.
Saludos.