Autor Tema: Racso-Cap XVIII- Ex: 55-Problemas de Geometria y Como Resolveos - I Ed - Pag654

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16 Diciembre, 2021, 07:23 pm
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petras

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Hallar el área de la región son1breada; si:
M y N son puntos de tangencia.(R:\( \frac{R^2\sqrt2}{9} \))



Estoy teniendo dificultades en esto ... no veo las relaciones necesarias

Alguna sugestion..?

17 Diciembre, 2021, 12:38 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Observa el dibujo.



El área pedida es:

\(  \textsf{área}=\dfrac{1}{2}MN\cdot JB=KD\cdot JB \)

 Los triángulos \( AEJ \) y \( FDJ \) son semejantes, de donde:

\( \dfrac{AE}{DF}=\dfrac{AJ}{JF}\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{R}{R/2}=\dfrac{R/2-JF}{JF}\quad \Rightarrow{}\quad JF=R/6,\quad AJ=R/3 \).

 Los triángulos \( AEJ \) y \( KDC \) son semejantes, de donde:

\( \dfrac{AE}{CD}=\dfrac{AJ}{CK}\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{R}{CD}=\dfrac{R/3}{R/3-CD}\quad \Rightarrow{}\quad CD=R/4 \).

 Entonces \( CK=AJ-CD=R/12 \) y:

\(  KD=\sqrt{CD^2-CK^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}R \)

 Por tanto:

\(  \textsf{área}=\dfrac{1}{2}MN\cdot JB=KD\cdot JB=\dfrac{\sqrt{2}}{6}R\cdot (R-AJ)=\dfrac{\sqrt{2}}{6}R\cdot \dfrac{2}{3}R=\dfrac{R^2\sqrt{2}}{9} \)

Saludos.

17 Diciembre, 2021, 02:31 pm
Respuesta #2

petras

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Hola

 Observa el dibujo.



El área pedida es:

\(  \textsf{área}=\dfrac{1}{2}MN\cdot JB=KD\cdot JB \)

 Los triángulos \( AEJ \) y \( FDJ \) son semejantes, de donde:

\( \dfrac{AE}{DF}=\dfrac{AJ}{JF}\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{R}{R/2}=\dfrac{R/2-JF}{JF}\quad \Rightarrow{}\quad JF=R/6,\quad AJ=R/3 \).

 Los triángulos \( AEJ \) y \( KDC \) son semejantes, de donde:

\( \dfrac{AE}{CD}=\dfrac{AJ}{CK}\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{R}{CD}=\dfrac{R/3}{R/3-CD}\quad \Rightarrow{}\quad CD=R/4 \).

 Entonces \( CK=AJ-CD=R/12 \) y:

\(  KD=\sqrt{CD^2-CK^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}R \)

 Por tanto:

\(  \textsf{área}=\dfrac{1}{2}MN\cdot JB=KD\cdot JB=\dfrac{\sqrt{2}}{6}R\cdot (R-AJ)=\dfrac{\sqrt{2}}{6}R\cdot \dfrac{2}{3}R=\dfrac{R^2\sqrt{2}}{9} \)

Saludos.


xcelente resolución ... gracias por la ayuda

saludos

18 Diciembre, 2021, 07:47 pm
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Igual estoy un poco espeso, pero no doy con ningún argumento directo de que \[ MN \] (o \( ED \) en el dibujo de Luis) sea perpendicular a \[ AB \]. A continuación pongo uno "indirecto".


Llamando \[ R \] al radio de la circunferencia mayor y \[ r \] al de la más pequeña, tenemos en el triángulo rectángulo \[ AIC
 \] que \[ IA^2=(R-r)^2-r^2 \]. Y en el triángulo rectángulo \[ CLF \] que \[ (\displaystyle\frac{R}{2}+r)^2-(\displaystyle\frac{R}{4})^2=LC^2=IA^2 \]. De donde:

\[ (R-r)^2-r^2=(\displaystyle\frac{R}{2}+r)^2-(\displaystyle\frac{R}{2}-r)^2\;\Rightarrow{} \]
\[ R^2-2Rr=2Rr\;\Rightarrow{} \]
\[ r=\displaystyle\frac{R}{4} \]

De aquí que el triángulo \[ ACF \] sea isósceles, por lo que la altura \[ LC \] es bisectriz de \[ \widehat{ACF} \]. Como \[ MCN \] también es isósceles la medriatiz de \[ MN \] es bisectriz de \( \widehat{MCN} \), que será perpendicular a la de  \[ \widehat{ACF} \] y con esto ya está.

Un saludo.

19 Diciembre, 2021, 07:20 am
Respuesta #4

petras

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Hola.

Igual estoy un poco espeso, pero no doy con ningún argumento directo de que \[ MN \] (o \( ED \) en el dibujo de Luis) sea perpendicular a \[ AB \]. A continuación pongo uno "indirecto".


Llamando \[ R \] al radio de la circunferencia mayor y \[ r \] al de la más pequeña, tenemos en el triángulo rectángulo \[ AIC
 \] que \[ IA^2=(R-r)^2-r^2 \]. Y en el triángulo rectángulo \[ CLF \] que \[ (\displaystyle\frac{R}{2}+r)^2-(\displaystyle\frac{R}{4})^2=LC^2=IA^2 \]. De donde:

\[ (R-r)^2-r^2=(\displaystyle\frac{R}{2}+r)^2-(\displaystyle\frac{R}{2}-r)^2\;\Rightarrow{} \]
\[ R^2-2Rr=2Rr\;\Rightarrow{} \]
\[ r=\displaystyle\frac{R}{4} \]

De aquí que el triángulo \[ ACF \] sea isósceles, por lo que la altura \[ LC \] es bisectriz de \[ \widehat{ACF} \]. Como \[ MCN \] también es isósceles la medriatiz de \[ MN \] es bisectriz de \( \widehat{MCN} \), que será perpendicular a la de  \[ \widehat{ACF} \] y con esto ya está.

Un saludo.

agradecido por el complemento

19 Diciembre, 2021, 10:12 am
Respuesta #5

feriva

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Estoy teniendo dificultades en esto ... no veo las relaciones necesarias

Alguna sugestion..?

También, si trazas de N a O un segmento se forma en N un ángulo de 90 grados, por el arco capaz de media circunferencia; y forma un triángulo donde un lado es R y otro R/2.
Después, si trazas desde N hasta cortar la base, sale un triángulo rectángulo semejante a otro de base R/2, y por otra parte, trazando otro segmento de F a N te aparecen dos triángulos isósceles ambos con dos lados que miden R/2 pero distinto ángulo de apertura (son sólo observaciones, no he pensado hasta dónde servirá; tengo que ir por leña, que hace frío)

Saludos.