Autor Tema: Racso - Cap XIII - Ex09 - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - Pag 472

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04 Noviembre, 2021, 04:21 pm
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petras

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En la figura r1 = 9 y r2 = 4, calcula el radio del círculo tangente a los semicírculos y al lado BC.
(Respuesta: 0,56)
¿Alguna idea sobre cómo resolver este problema?

04 Noviembre, 2021, 05:49 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Tengo la sensación de que está fallando algún detalle. ¿Puede ser que la circunferencia de radio \[ r_1 \] tenga que ser tangente a \[ AB \]?

Un saludo.

04 Noviembre, 2021, 08:36 pm
Respuesta #2

petras

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Hola.

Tengo la sensación de que está fallando algún detalle. ¿Puede ser que la circunferencia de radio \[ r_1 \] tenga que ser tangente a \[ AB \]?

Un saludo.

En el original no son tangentes pero como esta edición tenemos muchos errores es posible.Como es un capítulo de relaciones métricas en el triángulo rectángulo el camino es quizás por ahí y por mi cuenta pongo el Ángulo B como de 90 grados porque sino podríamos tener cualquier tangente. Para mi diseño en geogebra, me da 0,64 pero con el círculo más pequeño es difícil de ser colocado con precisión no es una respuesta garantizada.



Saludos


04 Noviembre, 2021, 08:49 pm
Respuesta #3

petras

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Hola.

Tengo la sensación de que está fallando algún detalle. ¿Puede ser que la circunferencia de radio \[ r_1 \] tenga que ser tangente a \[ AB \]?

Un saludo.

Creo que tienes razón ....simulado en geogebra con la línea tangente a los dos círculos y el resultado coincide con la plantilla

05 Noviembre, 2021, 12:24 pm
Respuesta #4

martiniano

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Hola.

La verdad es que tengo problemas para ajustar la apariencia de mis archivos geogebra en el foro (aunque creo que le estoy pillando el truco). Este me resulta especialmente complicado porque entran en juego distancias de muy diferente magnitud. Espero que se entienda bien.


Llamemos \[ d \] a la distancia entre los puntos de tangencia \( T_1 \) y \( T_2 \); \( R \) al radio de la circunferencia tangente a las otras dos y \[ x \] a la distancia entre los puntos de tangencia \( T_3 \) y \( T_2 \).

Por el triángulo rectángulo \[ AEB \] tenemos:

\[ d^2=r_1^2-(r_1-r_2)^2=56\;\Rightarrow{\;}d=2\sqrt[ ]{14} \]

Por \[ OP_1A \] y por \[ OP_2B \]:

\[ (d-x)^2+(r_1-R)^2=(r_1+R)^2 \]
\[ x^2+(r_2-R)^2=(r_2+R)^2 \]

Simplificando ambas ecuaciones por separado se obtiene el sistema (*):

\[ d^2+x^2-2dx=4Rr_1 \]
\[ x^2=4r_2R \]

Multiplicando la primera por \[ r_1 \], la segunda por \[ r_2 \] y restándolas:

\[ x^2(r_2-r_1)-2dr_2x+d^2r_2=0 \]

De donde \[ x=\displaystyle\frac{4\sqrt[ ]{14}}{5} \]

Por otro lado, restando las dos ecuaciones de (*):

\[ d^2-2dx=4R(r_1-r_2) \]

Substituyendo datos y lo ya calculado y resolviendo la ecuación \[ R=\displaystyle\frac{14}{25}=0.56 \] clavado.

Un saludo.

06 Noviembre, 2021, 12:25 am
Respuesta #5

petras

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Hola.

La verdad es que tengo problemas para ajustar la apariencia de mis archivos geogebra en el foro (aunque creo que le estoy pillando el truco). Este me resulta especialmente complicado porque entran en juego distancias de muy diferente magnitud. Espero que se entienda bien.


Llamemos \[ d \] a la distancia entre los puntos de tangencia \( T_1 \) y \( T_2 \); \( R \) al radio de la circunferencia tangente a las otras dos y \[ x \] a la distancia entre los puntos de tangencia \( T_3 \) y \( T_2 \).

Por el triángulo rectángulo \[ AEB \] tenemos:

\[ d^2=r_1^2-(r_1-r_2)^2=56\;\Rightarrow{\;}d=2\sqrt[ ]{14} \]

Por \[ OP_1A \] y por \[ OP_2B \]:

\[ (d-x)^2+(r_1-R)^2=(r_1+R)^2 \]
\[ x^2+(r_2-R)^2=(r_2+R)^2 \]

Simplificando ambas ecuaciones por separado se obtiene el sistema (*):

\[ d^2+x^2-2dx=4Rr_1 \]
\[ x^2=4r_2R \]

Multiplicando la primera por \[ r_1 \], la segunda por \[ r_2 \] y restándolas:

\[ x^2(r_2-r_1)-2dr_2x+d^2r_2=0 \]

De donde \[ x=\displaystyle\frac{4\sqrt[ ]{14}}{5} \]

Por otro lado, restando las dos ecuaciones de (*):

\[ d^2-2dx=4R(r_1-r_2) \]

Substituyendo datos y lo ya calculado y resolviendo la ecuación \[ R=\displaystyle\frac{14}{25}=0.56 \] clavado.

Un saludo.

Muy bien... gracias
Saludo!