Hola.
La verdad es que tengo problemas para ajustar la apariencia de mis archivos geogebra en el foro (aunque creo que le estoy pillando el truco). Este me resulta especialmente complicado porque entran en juego distancias de muy diferente magnitud. Espero que se entienda bien.
Llamemos \[ d \] a la distancia entre los puntos de tangencia \( T_1 \) y \( T_2 \); \( R \) al radio de la circunferencia tangente a las otras dos y \[ x \] a la distancia entre los puntos de tangencia \( T_3 \) y \( T_2 \).
Por el triángulo rectángulo \[ AEB \] tenemos:
\[ d^2=r_1^2-(r_1-r_2)^2=56\;\Rightarrow{\;}d=2\sqrt[ ]{14} \]
Por \[ OP_1A \] y por \[ OP_2B \]:
\[ (d-x)^2+(r_1-R)^2=(r_1+R)^2 \]
\[ x^2+(r_2-R)^2=(r_2+R)^2 \]
Simplificando ambas ecuaciones por separado se obtiene el sistema (*):
\[ d^2+x^2-2dx=4Rr_1 \]
\[ x^2=4r_2R \]
Multiplicando la primera por \[ r_1 \], la segunda por \[ r_2 \] y restándolas:
\[ x^2(r_2-r_1)-2dr_2x+d^2r_2=0 \]
De donde \[ x=\displaystyle\frac{4\sqrt[ ]{14}}{5} \]
Por otro lado, restando las dos ecuaciones de (*):
\[ d^2-2dx=4R(r_1-r_2) \]
Substituyendo datos y lo ya calculado y resolviendo la ecuación \[ R=\displaystyle\frac{14}{25}=0.56 \] clavado.
Un saludo.
