Autor Tema: Racso - EX 44-Cap XII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - Pag 442

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01 Noviembre, 2021, 12:49 pm
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petras

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En un triángulo ABC se traza Ia mediana AM y la cevaiana BR, la cual intersecta a AM en su punto medio N. Calcular NR, si AC = 24; luego se traza la bisectriz dei ángulo BAN intersecando a BN en P tal que : BP = 2 PN

MI progreso:

\( T..Menelao:\triangle AM-RB\\
CR.AN.MB = AR.MN.BC\rightarrow CR = 2AR\\
\therefore 3AR = 24 \implies AR = 8 and CR = 16\\
P ~es~ centroide \triangle ABM \implies FM=BF\\
T.Bisectriz:  ABM-AF:\implies AM = MB\implies \triangle ABM(isosceles)\\\\
\triangle FAM~ y~\triangle BAF (rectangulo) \)



pero faltan algunos detalles

02 Noviembre, 2021, 01:11 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.


Considera \( B' \) el simétrico de \[ B \] respecto a \( N \). El segmento \[ AB' \] es paralelo a \[ BC \] y \[ AB'=BM=MC \], luego el cuadrilátero \[ AMCB' \] es un paralelógramo y \[ CA \] es mediana del triángulo \[ AMB' \], por lo que \[ R \] es el baricentro de este triángulo y \[ NR=PN=x \].

Por otro lado, los paralelógramos \[ AMCB' \] y \[ ABMB' \] tienen lados iguales (\[ ABM \] es isósceles) y ángulos iguales (\( B'AM=AMB=ABM \)), por lo que son iguales y \[ B'B=AC \], de donde \[ x=\displaystyle\frac{1}{3}NB=\displaystyle\frac{1}{6}B'B=4 \].

Un saludo.

02 Noviembre, 2021, 12:55 pm
Respuesta #2

petras

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Hola.


Considera \( B' \) el simétrico de \[ B \] respecto a \( N \). El segmento \[ AB' \] es paralelo a \[ BC \] y \[ AB'=BM=MC \], luego el cuadrilátero \[ AMCB' \] es un paralelógramo y \[ CA \] es mediana del triángulo \[ AMB' \], por lo que \[ R \] es el baricentro de este triángulo y \[ NR=PN=x \].

Por otro lado, los paralelógramos \[ AMCB' \] y \[ ABMB' \] tienen lados iguales (\[ ABM \] es isósceles) y ángulos iguales (\( B'AM=AMB=ABM \)), por lo que son iguales y \[ B'B=AC \], de donde \[ x=\displaystyle\frac{1}{3}NB=\displaystyle\frac{1}{6}B'B=4 \].

Un saludo.

gracias por la resolución pero podrías aclarar algunos puntos...AB' es paralelo a BC ¿por qué razón? ¿Es alguna propiedad de la simetría?
¿Cómo determinó que R es el baricentro del triangulo AB'M si sólo conozco B "M como la mediana?

02 Noviembre, 2021, 02:19 pm
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

gracias por la resolución pero podrías aclarar algunos puntos...AB' es paralelo a BC ¿por qué razón? ¿Es alguna propiedad de la simetría?

Sí, algo así. Al ser B' el simétrico de B respecto a N y ser éste el punto medio de AM, pues los segmentos \( AM \) y \( BB' \) se bisectan en \( N \), luego el cuadrilátero \[ ABMB' \] es un paralelógramo.

¿Cómo determinó que R es el baricentro del triangulo AB'M si sólo conozco B "M como la mediana?

Fíjate en que el segmento \[ NB' \] es la mediana en \[ B' \], y el segmento \( AC \) pasa por el punto medio de \( MB' \), luego es otra mediana, la relativa al vértice \( A \).

Un saludo.

02 Noviembre, 2021, 09:23 pm
Respuesta #4

petras

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Fíjate en que el segmento \[ NB' \] es la mediana en \[ B' \], y el segmento \( AC \) pasa por el punto medio de \( MB' \), luego es otra mediana, la relativa al vértice \( A \).

Un saludo.

Gracias por las aclaraciones... he conseguido entender