Autor Tema: Racso - CapXII - Ex:11 - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - pag438

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23 Octubre, 2021, 03:13 pm
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petras

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En la circunferencia del centro O y diámetros
perpendiculares AC y BD se dibuja el acorde AE ​​(E en BC)
tal que AE intercepta a BD en M; si BM = MO.
Calcule ON, si OA = 12. (\( N = ED \cap AC \)).
(Respuesta:ON=4)

sigue el dibujo que hice y las relaciones que encontré pero hay alguna similitud para terminar



\( \triangle ABM \sim \triangle DME (A.A)\\
\frac{AB}{DE} = \frac{BM}{ME} = \frac{AM}{DM}\\
\angle B = \angle E = 45^o\\
\angle DBE = \angle OND \implies\\
\frac{ON}{BE}=\frac{DN}{24}=\frac{6}{DE}

 \)

24 Octubre, 2021, 01:25 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Vas bien. Sigue por ahí para probar  \[ \widehat{MAD}=\widehat{AND} \]. Luego prolonga \[ AM \] y \[ DC \] hasta que se corten en un punto que llamaremos \[ F \]. Completando la cuadrícula con uno de sus vértices en \[ O \] y lado \[ OC \] tendrás que \[ F \] es uno de los vértices de la misma y que \[ DF=3AD \]. Como los triángulos \[ NOD \] y \[ ADF \] son semejantes tienes \[ \displaystyle\frac{OD}{ON}=\displaystyle\frac{FD}{AD}=3 \].

Si algo no te sale comenta por aquí.

Un saludo.

24 Octubre, 2021, 09:32 pm
Respuesta #2

petras

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Hola.

Vas bien. Sigue por ahí para probar  \[ \widehat{MAD}=\widehat{AND} \]. Luego prolonga \[ AM \] y \[ DC \] hasta que se corten en un punto que llamaremos \[ F \]. Completando la cuadrícula con uno de sus vértices en \[ O \] y lado \[ OC \] tendrás que \[ F \] es uno de los vértices de la misma y que \[ DF=3AD \]. Como los triángulos \[ NOD \] y \[ ADF \] son semejantes tienes \[ \displaystyle\frac{OD}{ON}=\displaystyle\frac{FD}{AD}=3 \].

Si algo no te sale comenta por aquí.


Olá...
¿Qué es una cuadrícula?
De dónde viene la proporción: DF = 3AD
Un saludo.

25 Octubre, 2021, 10:33 am
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Mira esto:



Como comentario, este bello triángulo es el único cuyos ángulos tienen las tres tangentes enteras. Se puede demostrar tomando tangentes en la ecuación \[ \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180 \] y después, aplicando identidades trigonométricas se llega a que la suma de las tangentes de los ángulos de un triángulo es igual a su producto, y analizando la ecuación diofántica no es difícil probar que la única solución es la del dibujo.

Un saludo.

CORREGIDA IMAGEN

25 Octubre, 2021, 12:17 pm
Respuesta #4

petras

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Hola.

Mira esto:


Como comentario, este bello triángulo es el único cuyos ángulos tienen las tres tangentes enteras. Se puede demostrar tomando tangentes en la ecuación \[ \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180 \] y después, aplicando identidades trigonométricas se llega a que la suma de las tangentes de los ángulos de un triángulo es igual a su producto, y analizando la ecuación diofántica no es difícil probar que la única solución es la del dibujo.

Un saludo.

La imagen do geogebra no aparece... ¿Podría responder a la pregunta anterior?
Saludos..

25 Octubre, 2021, 12:28 pm
Respuesta #5

Masacroso

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perpendiculares AC y BD se dibuja el acorde AE ​​(E en BC)
tal que AE intercepta a BD en M; si BM = MO.
Calcule ON, si OA = 12. (\( N = ED \cap AC \)).
(Respuesta:ON=4)

sigue el dibujo que hice y las relaciones que encontré pero hay alguna similitud para terminar



\( \triangle ABM \sim \triangle DME (A.A)\\
\frac{AB}{DE} = \frac{BM}{ME} = \frac{AM}{DM}\\
\angle B = \angle E = 45^o\\
\angle DBE = \angle OND \implies\\
\frac{ON}{BE}=\frac{DN}{24}=\frac{6}{DE}

 \)

Una pregunta, ¿no depende la longitud de ON de la posición de E? Si es así, ¿cómo puede ser la respuesta un valor fijo que no depende de la posición de E? ¿Quizá hay que asumir que M es el punto medio del segmento OB?

25 Octubre, 2021, 12:49 pm
Respuesta #6

martiniano

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Hola.

La imagen do geogebra no aparece... ¿Podría responder a la pregunta anterior?

Ha debido de haber algún problema. Ahora me aparece. Suponía que te contestaba con la imagen.

Una pregunta, ¿no depende la longitud de ON de la posición de E? Si es así, ¿cómo puede ser la respuesta un valor fijo que no depende de la posición de E? ¿Quizá hay que asumir que M es el punto medio del segmento OB?

Sí. Hay que asumirlo por lo de que \[ BM=OM \].

Un saludo.

25 Octubre, 2021, 12:57 pm
Respuesta #7

petras

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Hola.

Mira esto:



Como comentario, este bello triángulo es el único cuyos ángulos tienen las tres tangentes enteras. Se puede demostrar tomando tangentes en la ecuación \[ \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180 \] y después, aplicando identidades trigonométricas se llega a que la suma de las tangentes de los ángulos de un triángulo es igual a su producto, y analizando la ecuación diofántica no es difícil probar que la única solución es la del dibujo.

Un saludo.

CORREGIDA IMAGEN

Perdona mi dificultad pero no he podido entender cómo has llegado a DF = 3AD...

25 Octubre, 2021, 02:04 pm
Respuesta #8

martiniano

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Hola.

Fíjate en que \[ AD \] es la diagonal de un cuadrado y \[ DF \] son tres diagonales.

Un saludo.

25 Octubre, 2021, 03:31 pm
Respuesta #9

petras

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Una pregunta, ¿no depende la longitud de ON de la posición de E? Si es así, ¿cómo puede ser la respuesta un valor fijo que no depende de la posición de E? ¿Quizá hay que asumir que M es el punto medio del segmento OB?

Sí. Hay que asumirlo por lo de que \[ BM=OM \].

Un saludo.
[/quote]


La declaración ya dice que BM = OM