Hola tengo dificultades con esta demostración
Considere \( (\mathbb{R}, \mathcal{B}_L,\ell) \) el espacio de medida de Lebesgue, y suponga que \( A \in \mathcal{B}_L \) es tal que \( \ell(Z)= 0 \).
Muestre que \( \ell(Z^2)= 0 \), donde
$$Z^2= \{x^2 : x \in Z \}$$
No se me ocurre como demostralo.
Saludos
Yo intentaría demostrarlo usando la medida exterior de Lebesgue, para ello puedes partir de coberturas de \( Z \) y ver si la cobertura de los cuadrados es una cobertura de \( Z^2 \), es decir, si \( \{I_n\}_{n\in \mathbb N} \) es una cobertura de intervalos de \( Z \) ver si \( \{I_n^2\}_{n\in \mathbb N} \) es una cobertura de intervalos de \( Z^2 \).
A partir de ahí como \( Z \) tiene medida nula entonces existe una cobertura tal que \( \sum_{n\geqslant 1}\ell (I_n)<\epsilon \), para cualquier \( \epsilon \in(0,1) \) que elijamos, ahora habría que ver la relación entre \( \ell (I_n) \) y \( \ell (I_n^2) \), etc.
Ojo, es sólo una idea, no sé si funciona.
