Hola.

Ya veo. Es que me descuadra un poco que por el hecho de añadir un elemento a un anillo cambie el resultado de sus operaciones (de repente ha pasado de ser \[ 2\cdot{2=4} \] a ser \[ 2\cdot{2=1} \]) o que diferentes elementos pasen a ser el mismo (\[ 0=3 \]), etc.

Tenía en mente los ejemplos en los que a \[ \mathbb{Z} \] se le añade un número irracional y claro, ahí sí que las operaciones en el nuevo anillo incluyen las operaciones en \[ \mathbb{Z} \].

Un saludo. Gracias.

Hola.

Describe el anillo que se obtiene a partir de \(  \mathbb Z / \mathbb Z 12  \) añadiendo un inverso de 2.

A lo que se refiere en realidad es que describa los elementos del anillo \(  R=\frac{\color {red} (\mathbb Z / 12\mathbb Z )[x] }{<2x-1>}  \).
Mi problema es que cuando este tipo de cocientes tiene como generador del ideal por el cual se toma cociente un polinomio mónico se la forma que tienen los elementos (pues por un polinomio mónico podemos "dividir" entonces podemos tomar el resto de la división como representante, así todos los elementos son combinaciones lineales de la clase de x elevado como mucho a un grado menos que el polinomio por el que se hace cociente), este no es el caso. Aquí no soy capaz de visualizar la forma de los elementos de \(  R  \) a priori.

Fíjate que en ese anillo cociente tienes \[ \overline{2x}=\overline{1} \], lo que te permite reducir cualquier polinomio de primer grado a un polinomio mónico de primer grado. Además, dado que en \[ \mathbb{Z}_{12} \] es \[ 2^4=4 \] también tienes que:

\[ \overline{x^2}=\overline{2x\cdot{2x\cdot{x^2}}}=\overline{4x^4} =\overline{(2x)^4}=\overline{1} \]

Lo que te permite reducir cualquier polinomio a uno de primer grado.

Con esto, los elementos del cociente son 24: las clases de los doce elementos de \[ \mathbb{Z}_{12} \] y las de los doce polinomios mónicos de primer grado de \[ \mathbb{Z}_{12}[x] \].

Un saludo.

Hola.

Considere la función \( f: \mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{\mathbb{R}}}/ \) \( f(x)= \)\begin{cases}{x}&\text{si}& x\neq0\\0 & \text{si}& x=0\end{cases}.
Trabajando con la topología usual de \( \mathbb{R} \),encontrar un subconjunto abierto tal que su
preimagen no sea abierta. Justificar

Ahí debes de tener alguna errata. Tal y como está escrito \[ f(x)  \] es la identidad tal cual, que es continua, es decir, la preimagen de todo abierto es abierto.

Un saludo.

Hola.

Cita de: martiniano en 09 Julio, 2022, 12:48 am

Sí, bueno, a ver, es que en realidad basta considerar los abiertos básicos (...)

¿Esto como lo justificamos? Perdona pero no lo veo  . (*)

Si \[ \mathbb{R} \] fuese regular existirían abiertos \[ U, V \] con \[ 0\in{U} \], \[ K\subseteq{V} \] y \[ U\cap{V} \] vacía. Pero entonces se tiene que \[ K\subseteq{(\inf(V), \sup(V)) } \]  y también que existe \[ a \] tal que \[ 0<a<\inf(V) \] y que \[ \{0\}\subseteq{(-a, a) - K}\subseteq{U} \]. De manera que también existirían dos abiertos básicos, uno con el cero y el otro con \[ K \] cuya intersección sería también vacía.

(*) Por ejemplo \( \displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}} \left\{ \left(\dfrac{\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n} }{2} , \dfrac{1}{n} \right) \right\} \) es un abierto que contiene a \( K \) y podemos achicar los intervalos que contienen a cada \( 1/n \) para que no contengan el punto medio y no funcione nuestro metodo.

Disculpa. No te estoy entendiendo. En cualquier caso \[ K \] no está dentro de ese abierto. Dicho abierto no contiene ningún \[ \displaystyle\frac{1}{n} \].

Agrego: Pensándolo un poco mas, dados 2 abierto \( A,B \) tales que \( 0\in A \) y \( K\subset B \) podemos realizar el siguiente procedimiento.
Primero podemos asegurar la existencia de un \( a\in \mathbb{R}^{>0} \) tal que \( (-a,a){\setminus} K \in A \).
Luego podemos encontrar un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( \frac{1}{N}\in (-a,a) \), mas en particular \( \frac{1}{N}\in (0,a) \), pero es claro que \( \frac{1}{N} \in B \) luego podemos encontrar \( c,d\in \mathbb{R}^{>0} \) tales que \( \frac{1}{N} \in (c,d) \subset B \), (esta claro que no puede ser el otro tipo de básico).
Ahora notemos que \( c<\frac{1}{N}<a \) luego \( (-a,a)\cap (c,a)\neq \emptyset \) y por consecuencia \( A\cap B\neq \emptyset \).

No sabría decirte hasta qué punto lo que te pongo en rojo está suficientemente justificado.

Un saludo.

Pd. Se adelantó Luis.

Hola.

Yo empezaría considerando un abierto que contiene al cero y otro que contiene a \[ K \].

Entonces yo diría que todo abierto que contiene a \[ K \] es de la forma \[ (a, b)  \] con \[ a\leq{0} \].

Por otro lado distinguiría dos casos sobre el abierto que contiene al cero. Un caso si el abierto es de la forma \[ (c, d)  \] menos un subconjunto finito de \[ K \]  y, el otro caso si el abierto es de la forma \[ (c, d)  \] menos un subconjunto infinito de \[ K \]. Nota que en ambos casos es \[ d>0 \].

Debes demostrar que, en ambos casos, la intersección del abierto que contiene al cero con el abierto que contiene a \[ K \] es no vacía.

Un saludo.

Hola.

Lo que me falta mostrar es que los \( y_j \) son vectores propios de \( T \), ahí me trabo.

Es normal que te trabes porque no lo son. Toma \[ T:\mathbb{R^2}\rightarrow{\mathbb{R^2}} \] dada por \[ T(x, y) =(x, x-y)  \]. Toma también \[ W=\left<{(0,1)}\right> \] y \[ V/W=\left<{(1, 1)+W}\right> \].

Tienes que las bases dadas para \[ W \] y para \[ V/W \] son bases de autovectores de \[ T_{|W}  \] y \[ \overline{T} \] respectivamente, pero \[ (1,1) \] no es autovector de \[ T \].

También me falta mostrar que \( \gamma \) es l.i, o sea que cualquier subconjunto finito de \( \gamma \) es l.i.

Eso creo que lo tienes aquí:

Tenemos que todo \[ v_i \] está fuera de \[ W \] ya que, en otro caso, \[ v_i+W=W \] sería el elemento neutro de \[ V/W \] y no podría formar parte de una base. También que los \[ v_1,...,v_m\in{V} \] son linealmente independientes, de otro modo no lo serían los  \[ \{v_1+W,...,v_m+W\} \in{V/W} \] y no serían base. Con esto \[ B=\{u_1,...u_n,v_1,...,v_m\} \] es una base de \[ V \].

Lo de que esa base genera efectivamente \[ V \] es fácil de ver. Usa que todo \[ x\in{V} \] pertenece a algún \[ v+W\in{}V/W \]. Tenemos que \[ v+W \] es combinación lineal de algunos de los vectores de la base de \[ V/W \] por lo que \[ v \] lo será de algunos de los representantes de los elementos de dicha base. También que \[ x-v \] es CL de algunos de los vectores de la base de \[ W \]. Con esto \[ x \] es CL de los vectores de \[ \gamma \].

Hola.

El detalle es que en el ejercicio como tal no nos dice nada sobre la dimensión de \( V \) y en un libro que he estado leyendo veo que el concepto de valores y vectores propios está generalizado a cualquier dimensión, finita o infinita.

Sí. Las definiciones habituales de valor y vector propio se aplican a espacios vectoriales de dimensión finita o infinita. Pero lo de endomorfismo diagonalizable sobre un espacio de dimensión infinita ya me suena más raro. No digo que no pueda definirse pero no me suena haberlo visto nunca.

Una pregunta, suponiendo que \( V \) es de dimensión finita, ¿demostrando que el rango de la matriz es \( m+n-\alpha(k_i) \) ya se demostraría que la unión de las bases del subespacio y el cociente es base de \( V \)?

No exactamente. Primero, la base que hemos construido no es unión de las otras dos. Es la de \[ W \] junto con un representante de cada una de las clases de la base de \[ V/W \].

Segundo. Ésta base a la que me refiero es una base independientemente de lo que pase con los rangos de \[ M-k_iI \]. Lo que pasa es que \[ m+n-rang(M-k_iI)  \] es precisamente la multiplicidad geométrica de \[ k_i \], y si para todo \[ i \] la multiplicidad geométrica de \[ k_i \] coincide con la algebraica pues la matriz \[ M \] es diagonalizable, que es lo que queremos demostrar.

Estoy suponiendo todo el rato que este criterio para decidir si una matriz es diagonalizable o no lo manejas bien.

Para demostrar lo del rango, ¿se podría mostrar que \( dim(Ker(A-k_iI))=Nul(A-k_iI)=\alpha(k_i) \), para cada \( i \) y despejar de la igualdad
\(
dim(Ker(T))+dim(Im(T))=dim(V)
 \)
que nos da un teorema sobre dimensiones?

No acabo de entenderte. Yo lo que había pensado es que si \[ k_i \] es valor propio de \[ T_{|W}  \] entonces \[ M-k_iI \] tiene exactamente \[ \alpha(k_i)  \] columnas nulas entre las \[ n \] primeras y el resto de elementos de la diagonal principal distintos a cero. Por lo que este caso ya está. Fíjate que aquí es donde usamos de forma decisiva que \[ T_{|W}  \] y \[ \overline{T} \] no tienen valores propios en común. De hecho, si tuvieran valores propios en común este mismo argumento serviría para probar que \[ T \] no sería diagonalizable.

De forma parecida, si \[ k_i \] es valor propio de \[ \overline{T}  \] entonces \[ M-k_iI \] tiene exactamente \[ \alpha(k_i)  \] filas nulas entre las \[ m \] últimas y el resto de elementos de la diagonal principal distintos a cero.

Un saludo.

Hola.

Entiendo que la dimensión de \[ V \] es finita. Sea \[ dim W=n \] y \[ dim V=m+n \].

Echando mano de la teoría correspondiente, como \[ T_{|W} \] es diagonalizable existe \[ \{u_1,\ldots, u_n\} \in{W} \], una base de \[ W \] formada por autovectores de \[ T_{|W} \] y \[ \lambda_1,\ldots \lambda_n\in{\mathbb{F}} \] autovalores respectivos asociados, no necesariamente distintos, tales que para todo \[ i \] es \[ T(u_i) =T_{|W} (u_i) =\lambda_iu_i \].

Por otro lado, como \[ \overline{T} \] es diagonalizable existe \[ \{v_1+W,...,v_m+W\} \in{V/W} \] una base de \[ V/W \] formada por autovectores de \[ \overline{T} \] y \[ \mu_1,...,\mu_m\in{\mathbb{F}} \] autovalores respectivos asociados, no necesariamente distintos entre ellos.

Tenemos que todo \[ v_i \] está fuera de \[ W \] ya que, en otro caso, \[ v_i+W=W \] sería el elemento neutro de \[ V/W \] y no podría formar parte de una base. También que los \[ v_1,...,v_m\in{V} \] son linealmente independientes, de otro modo no lo serían los  \[ \{v_1+W,...,v_m+W\} \in{V/W} \] y no serían base. Con esto \[ B=\{u_1,...u_n,v_1,...,v_m\} \] es una base de \[ V \].

Seguimos. El hecho de que \[ \overline{T}(v_i+W) =\mu_i(v_i+W) =\mu_iv_i+W \] implica que en particular \[ T(v_i) - \mu_iv_i\in{W} \] por lo que existen \[ a_{1,i},...,a_{n,i} \] tales que \[ T(v_i) =\mu_iv_i+a_{1, i} u_i+... +a_{n, i} u_n \].

Con todo lo dicho hasta ahora, la matriz asociada a \[ T \] en la base \[ B \] es, por bloques:

\[ M=\begin{pmatrix}{D_{\lambda} }&{A}\\{0}&{D_{\mu}}\end{pmatrix} \]

Donde \[ D_{\lambda}  \] es una matriz diagonal con las lambdas, \[ D_{\mu}  \] es otra matriz diagonal con las mus y \[ A=\{a_{i, j} \}  \]

Como \[ M \] es triangular, los autovalores \[ k_1,...,k_{m+n} \] de \[ T \] son las lambdas y las mus. Ahora ya sólo se trata de ver que para todo \[ k_i \] es \[ rang(M-k_i I) =m+n-\alpha(k _i)  \] donde \[ \alpha(k_i)  \] es la multiplicidad algebraica de \[ k_i \].

¿Rematas tú?

Un saludo.

Hola.

Es sencillo comprobar que las siguientes son unas ecuaciones paramétricas de la elipse.

\[ x=a\cos t \]
\[ y=b\sin t \]

Sus derivadas:

\[ x'=-a\sin t \]
\[ y'=b\cos t \].

Por lo que las ecuaciones paramétricas de una recta tangente a la elipse en el punto definido por el parlamento \[ t \] serán:

\[ x_r=a\cos t-s(a\sin t)  \]
\[ y_r=b\sin t +s(b\cos t)  \]

Multiplicando la primera por \[ b\cos t \], la segunda por \[  a\sin t \] y sumando:

\[ b x_r\cos t+ay_r\sin t=ab \]

Haciendo \[ x_r=0 \] te saldrá la altura del triángulo en \[ y_r=\displaystyle\frac{b}{\sin t} \] y haciendo \[ y_r=0 \] te saldrá la base \[ x_r=\displaystyle\frac{a}{\cos t} \].

Por lo que el área a minimizar sería la expresión:

\[ A(t) =\displaystyle\frac{ab}{|2\sin t\cos t|} =\displaystyle\frac{ab}{|sin 2t|} \]

Que alcanzará un mínimo cuando el denominador sea máximo, es decir cuando \[ \sin 2t=\pm{1} \].

¿Puedes concluir?

Un saludo.

Hola.

Llamando \[ r \] al radio de la circunferencia tenemos:

\[ CD=2r \]

\[ AB=\displaystyle\frac{CD}{\sin 53}=\displaystyle\frac{2r}{\sin 53} \]

\[ BC=AD-AB\cos 53=AD-\displaystyle\frac{2r}{\tan 53}
 \]

Por otro lado, una condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero admita circunferencia inscrita es que las dos parejas de lados opuestos sumen lo mismo. En el trapecio del enunciado:

\[ AB+CD=AD+BC \]

Substituyendo aquí las ecpresiones de más arriba podrás relacionar \[ AD \] con el radio de la circunferencia y, por lo tanto, también con su área.

Un saludo.