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Álgebra / Re: Problema describir un anillo.
« en: 04 Agosto, 2022, 09:31 am »Ya veo. Es que me descuadra un poco que por el hecho de añadir un elemento a un anillo cambie el resultado de sus operaciones (de repente ha pasado de ser \[ 2\cdot{2=4} \] a ser \[ 2\cdot{2=1} \]) o que diferentes elementos pasen a ser el mismo (\[ 0=3 \]), etc.
Tenía en mente los ejemplos en los que a \[ \mathbb{Z} \] se le añade un número irracional y claro, ahí sí que las operaciones en el nuevo anillo incluyen las operaciones en \[ \mathbb{Z} \].
Lo que sucede es que \( \Bbb Z/12\Bbb Z \) no es un dominio de integridad y además estás localizando (inviertiendo) en un divisor del cero.
Si haces el mismo proceso de invertir un elemento en un dominio de integridad, siempre tendrás que hay un embedding del anillo original en el nuevo anillo (esto es lo que pasa en el ejemplo de \( \Bbb Z \) que mencionas). Pero cuando trabajas con anillos que no son dominios de integridad pueden pasar cosas raras que hacen que el anillo "colapse", como en este caso.
Este también es el motivo de que todo dominio de integridad admita un cuerpo de fracciones que contiene al anillo original como subanillo, mientras que en anillos con divisores del cero esto no es posible.
Claro, claro... Ahora ya lo veo todo claro. Muchas gracias geómetracat.
Un saludo.