Hola.

Por favor, intenta utilizar Latex para escribir las fórmulas. Te las he editado para que puedas ver cómo podrías haberlas escrito. Cualquier duda al respecto coméntalo sin problemas.

¿Puede un número trascendente T ser solución de una ecuación tipo \[ T=x^2+y^2 \]?

Depende de quiénes sean \[ x \] e \[ y \], pero sin más restricciones, en \[ \mathbb{R} \], está claro que sí.

¿La raíz cuadrada de un número trascendente T multiplicada por un número entero n es un número trascendente? \[ n\sqrt[ ]{T}=T \]

Según el convenio universal la última fórmula no refleja lo que estás preguntando. Pero sí.

MAL. Si \[ n\sqrt[ ]{T} \] fuera algebraico, y por tanto raíz de un polinomio \[ p(x) \] con coeficientes racionales, entonces \[ T \] sería raíz de  \[ p((\displaystyle\frac{x}{n})^2) \], por lo que \[ T \]sería también algebraico.

Un saludo.

Hola.

Entiendo que \[ A_8 \] es el grupo de permutaciones pares sobre un conjunto de 8 elementos.

Considera las dos permutaciones siguientes, ambas de \[ A_8 \]:

\[ \sigma_1 \] la permutación que traspone el primer elemento con el segundo y el tercero con el cuarto.

\[ \sigma_2 \] la permutación que traspone el quinto elemento con el sexto y el séptimo con el octavo.

El grupo generado por estas dos permutaciones es isomorfo a \[ \mathbb{Z}_2^2 \].

Un saludo.

Hola.

Fíjate en que:

\[ u=\sqrt[ ]{3}+i \]
\[ i^2=(u-\sqrt[ ]{3})^2 \]
\[ -1=u^2-2u\sqrt[ ]{3}+3 \]
\[ \sqrt[ ]{3}=\displaystyle\frac{u^2+4}{2u}\in{\mathbb{Q}(u) } \]

De forma parecida se demuestra que \[ i\in{}\mathbb{Q}(u)   \], por lo que \[  \mathbb{Q}(\sqrt[ ]{3},i)\subseteq{\mathbb{Q}(u)}   \].

La inclusión en sentido contrario es trivial, luego la respuesta a la pregunta es afirmativa.

Un saludo.

Hola.

Cuando se plantea el sistema

\[ x_1+\alpha x_2=k \]
\[ x_1^3+x_2^3=3 x_1x_2 \]

y este tiene solución para cada valor \( k \in \mathbb{R} \), lo que se entiende es que la función toma valores tan grandes como se quiera.

Sí. Y también tan pequeños como se quiera.

En este caso para \( \alpha\neq 1 \) se tiene que el sistema tiene solución, esto quiere decir que del valor  que tengo que preocuparme  es \( \alpha=1 \) que se debe aplicar multiplicadores de Lagrange.

Para \[ \alpha\neq 1 \] no hay mínimos ni máximos globales. Para \[ \alpha=1 \] hay un máximo global pero no mínimos locales ni globales. Esto lo he visto con la gráfica. Y lo que me parece es que hallar ese máximo local y probar que no hay mínimos locales podría hacerse mediante el método de los multiplicadores.

No entendí para que verificar el caso \( \alpha=0 \) y por que en el caso \( \alpha\neq1 \) aparecen mínimos locales.

El caso \[ \alpha=0 \] es distinto en el primer problema que planteaste que en el segundo. Eso lo tienes claro, ¿no?

En el problema original la restricción se convierte en una recta y la función será lineal, por lo que no habrá extremos locales.

En el segundo problema dije que habría mínimos locales para \[ \alpha=0 \], pero se me pasó algo por alto. Aquí la familia de rectas \[ f(x_1,x_2)=f \] es de rectas verticales. Y la restricción tiene un punto doble en el punto de tangencia con una recta vertical, de manera que no hay ningún entorno del punto de tangencia en el que todos los puntos de la restricción queden a la derecha de la recta tangente. Por lo que tampoco habrá mínimo local.

Si tuviera que dar un argumento netamente geométrico dibujando los planos que resultan en algunos casos  para \( \alpha\neq1 \), como podría diseñar la imagen del conjunto \( D \) no tiene mínimo globlal, pero tiene mínimos locales y para \( \alpha=1 \) si tiene mínimo global. Na sé si esto sea posible.

Me pierdo. No entiendo a qué te refieres.

Tenía una errata en mi segundo mensaje. No sé si eso te habrá confundido (creo que no).

Un saludo.

Hola.

(a)¿Porque planteo esos sistemas de equaciones al inicio?

Pues porque es precisamente una forma de probar que no existen extremos absolutos para la mayoría de los valores de \[ \alpha \].

(b)¿Por qué considero \( \alpha\neq 1 \)?

Porque si \[ \alpha=1 \] la ecuación que se obtiene es de segundo grado y no tiene por qué tener solución real. En cambio si \[ \alpha\neq 1 \] la ecuación es de tercer grado y siempre tendrá, al menos, una solución real.

y  ¿por qué si encuentro una raíz de real del sistema para \( \alpha\neq 1 \) esto dice que la función no tienen ni máximo ni mínimo?

Lo que prueba que no existen extremos absolutos es que para todo \[ k\in{\mathbb{R}} \] el sistema tiene solución.

Fíjate en que si hubiera mínimo absoluto entonces la función debería estar, necesariamente, acotada inferormente. Por lo que el sistema no tendría solución para valores de \[ k \] inferiores a la cota.

Logro entender que si encuentra puntos de tangencia entre las recta y la curva se encuentra un máximo y un mínimo local, pero no entiendo porque ese observación geometrica me da esa información.

Pues disculpa, pero es que no me queda claro lo que entiendes y lo que no.

Fíjate en que en los puntos de tangencia la curva mantiene la curvatura. Entonces todos los puntos de la curva contenidos en un cierto entorno del punto de tangencia quedan al mismo lado de la recta. Y en que la recta separa el plano en dos regiones según si sus puntos tienen imagen menor o mayor que \[ f \]. De ahí que los puntos de tangencia representen extremos relativos.

Pero esto es sólo una idea. Falta completar muchos detalles.

Por último, si tengo lo siguiente  \( f(x)= x_{1}+\alpha x_{2} \),  restricta a \( D=\{x\in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=3 x_{1}x_{2}\} \),  tienen un mínino global y para cuales mínimo local? Esta pregunta  tiene solución. (La verdad es que erre en la publicacíon y el sistema original era este. Pido disculpas apenas me percaté hoy que regrese al foro). Pero aun así el ejercicio me puede ayudar a entender algunos procedimientos dentro de esta area.

Bueno no te preocupes. Apenas cambia lo dicho, salvo que aquí para \[ \alpha=0 \] la restricción no se convierte en lineal y por tanto seguirá habiendo extremos relativos (en realidad mínimos relativos no los habrá. Lo digo más abajo)

Un saludo.

Hola.


En este geogebra represento la restricción según \[ \alpha \] y la recta \( x+\alpha y =f \) según los parámetros \[ \alpha \] y \[ f \].

Pueden verse varias cosas:

1) Que la restricción tiene una asíntota oblicua paralela a \[ x_1+x_2=0 \]. Esto habría que demostrarlo pero no doy con los pasos.

2) Que para \( \alpha =0 \) la restricción es una recta y que no habrá máximos ni mínimos locales. Esto es sencillo de probar, ya que, la restricción quedaría:

\[ x_1^3+x_2^3=0\;\Leftrightarrow{\;}(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=0\;\Leftrightarrow{\;}x_1+x_2=0 \]

Y la función a minimizar (o maximizar) \[ f(x_1,x_2)=x_1 \]. Es trivial que no hay máximos ni mínimos locales ni absolutos.

3) Si \[ \alpha\neq 1 \] y \[ \alpha\neq 0 \] no hay máximos ni mínimos mínimos locales globales. Esto ya lo he probado en mi mensaje anterior. Sin embargo, puede verse que hay dos valores de \[ f \] para los que la recta \( x+\alpha y =f \) es tangente a la restricción. Los dos puntos  de tangencia corresponden a un máximo y un mínimo local. No he podido darle muchas vueltas pero no he encontrado una manera de probar formalmente su existencia.

4) Si \[ \alpha =1 \] la recta siempre es paralela a la asíntota, por lo que no hay mínimo local. Sí que habría un máximo local que se podría hallar fácilmente por el método de los multiplicadores de Lagrange y que además está en \[ x_1=x_2 \].

Esto es lo que hay de momento.

Un saludo.

Hola.

Yo estoy con Richard en que, bajo los supuestos que suelen asumirse en las deducciones de las velocidades de propagación, la velocidad de la onda será la misma si se desplaza hacia arriba o hacia abajo.

Por otro lado esto cuadra bastante bien con una sencilla experiencia, y es que si la velocidad no fuese la misma sería imposible generar ondas estacionarias en cuerdas que se hayasen en posición vertical. Por lo que sería imposible hacer sonar un contrabajo, por ejemplo.

Un saludo.

Hola.

No hay ninguna ecuación de onda en donde la velocidad aumente o disminuya por la acción de la gravedad.

Creo que hay excepciones.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119758.msg482624#msg482624


Saludos.

Hola.

Cita de: martiniano en 31 Mayo, 2022, 09:22 am

En realidad para aplicar el algoritmo de Euclides sólo necesitas que el anillo en el que estés sea un dominio euclídeo, y es cierto que \[ \mathbb{Z}[t]  \] no parece que lo sea. De hecho tampoco parece de ideales principales. No se puede generar con un sólo elemento el ideal \[ <2x,1> \].

Ese ideal no funciona porque es todo el anillo (por contener al \( 1 \)) y por tanto igual al generado por \( 1 \). Uno que sí funciona es \( I=(2,T) \).

Cierto, geómetracat. Me falló la puntería. Gracias  .

Un saludo.

Hola.

Tengo un problema que no sé cómo enfocar. El problema en sí dice lo siguiente.

Sean \[ f=T^4+2T^3+T^2+8T-12 \] y \[ g=T^3-T^2-4T+4  \] dos polinomios de \[ \mathbb{Q}[T]  \]. Demostrar que el ideal \[ I=\left<{f, g}\right> \] es principal encontrando otro polinomio h de  \[ \mathbb{Q}[T]  \] tal que \[ I=\left<{h}\right> \].

Si se descomponen los dos polinomios en factores irreducibles, queda:

\[ f=(T+3)(T-1)(T^2+4) \]
\[ g=(T-1)(T-2)(T+2) \]

Pero, a partir de aquí, no veo el modo de continuar. Podría ser que el h pedido fuese \[ h=(T+3)(T-1)(T^2+4)(T-2)(T+2)=T^5+3T^4+4T^3-24T^2-32T+48 \].

No. Debes hallar \[ h=mcd(f, g) =T-1 \].

De esta manera, la inclusión \[ \left<{f, g}\right>\subseteq{}\left<{h}\right> \] es inmediata. Y para demostrar la inclusión al revés utiliza el algoritmo de Euclides para hallar \[ p, q \in{\mathbb{Q}}[T]  \] tales que \[ pf+qg=h \]. De hecho, esto es lo que sirve para entender que todo dominio euclídeo es de ideales principales.

Un saludo.