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Temas - martiniano

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Hola.

Hace unas semanas, mientras hacía con un chico un ejercicio de ecuaciones diferenciales, me di cuenta de que existe una costumbre bastante extendida y que puede resultar confusa.

Estábamos resolviendo una EDO sencilla cuyo enunciado no recuerdo pero que para el caso podría ser \[ y'=\displaystyle\frac{1}{x} \] y ante la que yo escribí \[ y=\ln x +C \]. El chico me preguntó si debía escribir la \[ x \] entre valores absolutos, y yo le dije que en realidad la solución que yo había escrito sólo tenía sentido si el dato inicial que nos dan tiene abcisa positiva, en otro caso la solución sería del tipo \[ y=\ln( - x) +C \]. Él insistió en que su profesor utiliza ahí el valor absoluto indiscriminadamente e intentamos buscarle un sentido a eso. Ciertamente, utilizar el logaritmo del valor absoluto de una función en este tipo de problemas es una costumbre bastante extendida y llegamos a la conclusión de que en muchos de los casos puede resultar confuso hacerlo.

El diálogo entre él y yo acabó derivando en un interrogante sobre situaciones en las que, ante un problema de búsqueda de primitivas, se suelen escribir resultados del tipo

\[ \displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x}=\ln |x|+C \].

Supongo que no soy el primero que se ha encontrado con expresiones así. Yo la primera vez que vi algo así entendí que lo que se quería decir es que tanto la derivada de \[ \ln x \] como la de \[ \ln(-x)  \] coinciden con la función que nos dan en sus respectivos dominios y utilizar ahí el valor absoluto permitía dar, de una manera elegante, una función cuya derivada coincidiese con la dada en todos los puntos de su dominio. Pero, ¿qué se supone que nos están pidiendo cuando nos preguntan por el miembro y izquierdo y qué se pretende decir con el miembro derecho?

En un principio, podríamos pensar que el problema de buscar la primitiva de una función consiste en dar todas las funciones cuya derivada coincide con la función que nos dan en los puntos en los que está definida. En este caso el miembro derecho no representa con exactitud la solución al problema, ya que funciones como por ejemplo:

\[ f(x) =\begin{cases}{\ln(-x) }&\text{si}& x<0\\ 1+\ln x& \text{si}& x>0\end{cases} \]

Cumplen la condición del problema pero no están representadas en la solución aportada.

Por otro lado, también podría considerarse el problema de hallar las funciones cuya derivada coincidiese con la función dada en todos los puntos de un cierto entorno de un punto \[ x_0 \] dado. Parece que en el contexto de las EDOS esta segunda interpretación tiene más sentido dado el interés que tiene en la teoría el problema de valor inicial. En ese caso la solución sería:

\[ f(x) = \ln(x) +C \] si \[ x_0>0 \]

Y

\[ f(x) = \ln(-x) +C \] si \[ x_0<0 \]

En cualquier caso, la expresión del valor absoluto me está empezando a parecer desafortunada.

¿Qué opináis al respecto?

Gracias, y saludos.

2
Foro general / Fósil con forma de cardioide.
« en: 25 Diciembre, 2021, 03:58 pm »
Hola.

Mirad qué fósil más currado me he encontrando esta mañana dando un paseo:



Me fascinan los algoritmos que la naturaleza almacena en unas pocas moléculas. No es ya el contorno de este ser, que debe imitar algún tipo de cardioide, sinó la superficie  bidimensional, con punto singular incluido.

Parece algún tipo de bivalvo, aunque algunos rasgos me desconciertan. Estos días investigaré un poco sobre este animal, a ver si encuentro algo interesante.

Saludos.

PD. Y felices fiestas  ;)

3
Computación e Informática / Código en C con algoritmos de grafos.
« en: 08 Diciembre, 2021, 08:59 am »
Hola.

Me he encontrado con este código en C (puro y duro, sin el ++) que escribí hace años y que pretende implementar el algoritmo de Dijkstra y el de Floyd. El programilla no tiene mucho interés, más que nada es una curiosidad y algo a lo que le tengo cariño porque empecé a estudiar grafos y programación más o menos a la vez y, bueno... Pues esto es una de las cosas que salió en aquel entonces... Recuerdo que la idea era ir metiéndole otros algoritmos, pero finalmente así se quedó. Tal vez algún día lo actualice.

Lo subo por si le viene bien a alguien y para tener una copia por aquí, que estas cosas digitales al final uno las va perdiendo con facilidad.

Un saludo.

4
Hola.

Hoy me ha dado por digitalizar este problema relativo a estos apuntes.

Sean tres rectas del espacio paralelas dos a dos. Hallar el lado del triángulo equilátero cuyos vértices están sobre las rectas.

Spoiler
En caso de que las tres rectas sean coplanarias, se traza un segmento de un punto \[ A \] de una de ellas (\[ r \]) a otro punto \[ B \] de otra de las rectas (\[ s \]). Luego se halla la intersección \[ F \] de \[ AB \] con la tercera recta (t) y se traza un triángulo equilátero de lado \[ AB \] con tercer vértice en \[ V \]. El ángulo \[ \widehat{BVF} \] es el que formará la recta \[ t \] con el lado del triángulo que une sus vértices de \[ t \] y \[ s \].


En otro caso, considerar la proyección de las rectas sobre un plano perpendicular a las mismas. Entonces, la circunferencia inscrita al triángulo se proyecta como una elipse tangente a los lados del triángulo en sus puntos medios. Para hallar tal elipse se puede proceder de la manera que se explica aquí. El semieje mayor de esa elipse es el radio de la circunferencia inscrita del triángulo buscado. A partir de ahí ya está todo hecho.

[cerrar]

Un saludo.

5
Probabilidad / Sobre la aleatoriedad.
« en: 06 Enero, 2021, 03:52 pm »
Hola.

Abro un hilo aquí para comentar algo sobre un tema que está intentando introducir el usuario César Burguete Cortés en varios hilos. Se trata de esto:

Asunto: la aleatoriedad. Concretando (cuidao con la cuestión que, quizá, tiene tela) ... mmm ... Dejando aparte (si se puede) que la aleatoriedad sea o no imposible, o centrándonos en los generadores de números aleatorios, ¿es posible, según los métodos de control actuales, que un sistema aparentemente aleatorio, p.ej. el usado por las casas de poker, pase los controles legales, PERO sin embargo mantenga tendencias o querencias que puedan ser usadas para ciertos propósitos concretos?

DICHO DE OTRA forma. Dado que no podemos generar series de números absolutamente aleatorias. ¿Puede ser que un generador pase los controles científicos de suficiencia, y sin embargo el creador de tal generador mantenga un cierto control sobre algunas características ocultas, en la serie generada?

No sé si esto contesta exactamente a la pregunta que planteas, ya que no tengo mucha idea de cómo funcionan esos "controles científicos de suficiencia" pero parece que es algo relacionado con un ejemplo que suelo poner yo cuando explico la contrastación de hipótesis. Lo pongo por si sirve. Aprovecho para recrearme un poco, así rompemos un poco la rutina.  ::)

Va la profesora de matemáticas y le pide a sus alumnos

-A ver, que cada uno de vosotros lance una moneda 20 veces al aire. Anotad los resultados en el orden que os salgan y me lo entregáis (a partir de ahora C significa cara y X significa cruz).

Va Jaimito y piensa:

-Buff... Lanzar una moneda 20 veces... Demasiado trabajo. Se la voy a dar con queso...

Y entrega la siguiente secuencia: CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC. La profesora le responde

-Jaimitooo. ¿Seguro que te ha salido esto de forma aleatoria? A ver... Mírame a los ojos...

Jaimito, atónito ante las habilidades ocultas de su profesora le confiesa:

-Me lo he inventado todo, profe. ¿Cómo te has dado cuenta?

-Hombre, pues porque es muuuy difícil que te hayan salido los 20 resultados iguales. La probabilidad de que eso pase es de \[ \displaystyle\frac{1}{2^{19}} \], muy baja, ¿no te parece?

Jaimito, en otro intento de burlar el control de calidad de la profesora entrega la secuencia: CCCCCCCCCCXXXXXXXXXX. A lo que la profesora le recrimina:

-Jaimitooooo...

-¿Sí?

-Ya está bien, ¿no te parece?

-Y ahora ¿qué pasa? He obtenido exactamente 10 resultados de cada tipo.

-Sí pero llama mucho la atención que te hayan salido 10 resultados iguales seguidos y luego otros 10 resultados iguales seguidos. La probabilidad de que eso pase es \[ \displaystyle\frac{1}{2^{18}} \]. Un poco sospechoso, ¿no?

Jaimito vuelve a las andadas y entrega: CXCXCXCXCXCXCXCXCXCX. La profesora, ya un poco harta de tanto vacile.

-¡Jaimito!

-¿Y ahora qué pasa?

-Pues mira. La probabilidad de que obtener un resultado diferente al anterior es \[ \displaystyle\frac{1}{2} \], por lo que se espera que al tirar 20 veces la moneda el resultado cambie unas 10 veces. Sin embargo, en tu secuencia el resultado ha cambiado las 19 veces que podía hacerlo. La probabilidad de que pase eso vuelve a ser bajísima, de \[ \displaystyle\frac{1}{2^{19}} \]. No puede ser.

El siguiente intento de Jaimito fue CCXXCCXXCCXXCCXXCCXX. Y los intentos de Jaimito de burlar a la profe y a cada uno de sus criterios de aleatoriedad se fueron sucediendo, así como las réplicas de la profesora contra el cada vez más desalentado Jaimito al que se le llegó a pasar incluso alguna vez por la cabeza lo de tirar las 20 monedas. Al darse cuenta de que estaba perdiendo facultades exclamó:

-A ver profe. ¿Hay alguna manera de hacer que la secuencia parezca aleatoria y en realidad no lo sea?

-Pues hombre, para que parezca aleatoria tiene que ser verosímil que el resultado que entregues haya sido aleatorio. Si se da un suceso tan poco probable como los que te he comentado, pues es un canteo.

La profesora, que antes de fraile fue monaguillo, le dice:

-Mira. Por ejemplo, si me entregas algo así como lo siguiente no tendré argumentos para no aceptártelo: CCXCCXXCXXXCXXXXCXCC.

Jaimito, cuya facilidad para darle la vuelta a la tortilla es mundialmente conocida le dice:

-Anda. Pues si está claro que esa secuencia no es aleatoria. La probabilidad de que ocurra el suceso "obtener CCXCCXXCXXXCXXXXCXCC" es \[ \displaystyle\frac{1}{2^{20}} \], la más baja de todos los sucesos que hemos comentado hasta ahora.

Un saludo.

6
Hola a todos.

Llevo unos días dándole a la programación en Java. Resulta que un socio y yo estamos intentando hacer un programilla que te coloque en un tablero de ajedrez de tamaño \( n\times{n} \) diferentes piezas (torres, alfiles, caballos, reinas y reyes) con la condición de que las piezas no se amenacen entre ellas. Las cantidades de cada tipo de pieza y el tamaño del tablero son parámetros que introduce el usuario. El algoritmo utiliza la técnica del "backtracking". Es decir, asume que se puede colocar una cierta pieza en una cierta casilla y sigue colocando las demás llamándose recursivamente a sí mismo. Si después de comprobar todos los casos no ha aparecido ninguna solución entonces cambia de tipo de pieza. Y si ya ha probado con todos los tipos de pieza, entonces cambia de casilla.

Parece que ya casi lo tenemos. No obstante, nos queda arreglar algunos detalles de la interfaz y estudiar alguna posible mejora algorítmica. Entre ellas está la de reconocer algunos casos que es evidente que no tienen solución e impedir así que el algoritmo haga miles de millones de comprobaciones a lo tonto. Por ejemplo, está claro que en un tablero de \( n\times{n} \) el número de reinas más torres no puede ser superior a \( n \), ya que en cada fila (o columna) podemos colocar, a lo sumo, una pieza de este tipo.

Una cota parecida se podría sacar con el número de reinas más alfiles, que no puede exceder al número de diagonales del tablero, \( 2n-1 \), ni posiblemente tampoco a \( 2n-2 \).

Para el tema de los caballos tenemos que al colocar un caballo en una casilla éste sólo amenaza a casillas del otro color. Entonces, para cada \( n \) se puede encontrar solución para un número de caballos igual a la parte entera de \( \displaystyle\frac{n^2+1}{2} \), ya que este es el número máximo de casillas de un mismo color que contiene el tablero. De hecho, no parece nada descabellado aceptar que éste es el número máximo de caballos que se pueden colocar en el tablero. No obstante hay una excepción, que es \( n=2 \), caso para el que se pueden colocar caballos en las cuatro casillas. Intuyo que esta excepción es la única pero no veo cómo demostrarlo. De hecho, el caso \( n=3 \) también tiene una particularidad, y es que se pueden colocar caballos en la casilla central, que sería blanca, y en las cuatro negras.

Me gustaría preguntar si alguien sabe algo sobre cotas máximas en el número de un determinado tipo de piezas o si se han analizado otros casos particulares sin solución de este problema y que se puedan descartar de entrada.

Cuando el código esté acabado lo compartiremos en el foro, como no.

Gracias de antemano por cualquier comentario o aportación. Un saludo.

7
Hola.

Sean \( c_1 \) y \( c_2 \) dos cónicas dadas. Demostrar que los polos de las rectas tangentes a \( c_1 \) con respecto a \( c_2 \) están sobre una tercera cónica.


En el dibujo las cónicas \( c_1 \) y \( c_2 \) vienen definidas a partir de cinco de sus puntos, \( X_1,...,X_5 \) para \( c_1 \) y \( Y_1,...,Y_5 \) para \( c_2 \). Consideremos dos rectas tangentes cualesquiera a \( c1 \) en \( A_1 \) y \( A_2 \), que llamaremos \( t_1 \) y \( t_2 \), y sus polos con respecto a \( c_2 \), que llamaremos \( Z_1 \) y \( Z_2 \) respectivamente. Sea \( I \) la intersección de ambas rectas. Consideremos la aplicación \( F \) que dada una recta que pasa por \( Z_1 \) nos devuelve una que pasa por \( Z_2 \) dada por la composición de las tres aplicaciones biyectivas siguientes:

\( f \): la aplicación que dada una recta que pasa por \( Z_1 \) nos devuelve su polo con respecto a \( c_2 \). Dado que \( Z_1 \) es el polo de \( t_1 \) esta última recta es el conjunto imagen de \( f \). La razón doble de cuatro rectas que pasen por \( Z_1 \) coincide con la de sus imágenes por \( f \).

\( g \): la aplicación que dado un punto \( P_1 \) de \( t_1 \) nos devuelve un punto \( P_2 \) de \( t_2 \) tal que \( P_1P_2 \) es tangente a \( c_1 \) y tal que:

\( g(P)=\begin{cases}{I}&\text{si}& P=A_1\\A_2 & \text{si}& P=I\end{cases} \)

y \( g(P)\neq I \) en otro caso

Por el teorema de Chasles, la aplicación \( g \) es una homografía y, por tanto, conserva la razón doble.

\( h \): la aplicación que dado un punto \( P_2 \) de \( t_2 \) nos devuelve su polar con respecto a \( c_2 \). Dado que \( Z_2 \) es el polo de \( t_2 \) el conjunto imagen de \( h \) es el haz de rectas que pasan por \( Z_2 \). La razón doble de cuatro puntos de \( t_2 \) coincide con las de sus imágenes por \( h \).

Como \( F \) es composición de tres biyecciones que conservan la razón doble, entonces es una homografía. Además, por el teorema de Steiner, el lugar definido por los puntos de intersección de las rectas que pasa por \( Z_1 \) con sus respectivas imágenes por \( F \) es una cónica \( c \) (en rojo en el dibujo). Además dada una tangente \( t_3 \) cualquiera a \( c_1 \) que corte a \( t_1 \) en \( P_1 \) y a \( t_2 \) en \( P_2 \) se cumplirá que el polo de \( t_3 \) con respecto a \( c_2 \) está en \( f^{-1}(P_1) \) y también en \( h(P_2) \), por lo que, al ser intersección de una recta que pasa por \( Z_1 \) con su imagen por \( F \), se hallará sobre \( c \).

Un saludo.

8
Construcciones / Intersección de cónicas homotéticas
« en: 09 Diciembre, 2020, 10:48 am »
Hola.

Dadas dos cónicas homotéticas hallar sus puntos de intersección con regla y compás.

Spoiler
De las dos cónicas conoceremos, al menos, tres puntos de una de las cónicas (\( A, B \) y \( C \)) y sus imágenes sobre la otra (\( A', B' \) y \( C' \)). Si \( V \) es el vértice de la homotecia, entonces las rectas \( A'V, B'V \) y \( C'V \) cortan a la segunda cónica en \( A'',B'' \) y \( C'' \) respectivamente. Podemos definir una homología que transforme una cónica en otra y que las imágenes de \( A,B \) y \( C \) sean \( A'',B'' \) y \( C'' \). Los puntos de intersección de las dos cónicas son puntos fijos y, por tanto, están en el eje de la homología.


Aquí, en los apartados 4,5 y 6 hablo de cómo se halla la intersección de una recta con una cónica, problema que será necesario resolver varias veces.
[cerrar]

Un saludo.

9
Matemática Discreta y Algoritmos / Problemas NP-completos
« en: 24 Noviembre, 2020, 12:00 pm »
Hola.

Estoy ayudando a un amigo a sacarse una asignatura en la que analizan la tratabilidad de algoritmos y en la que se estudian algunos problemas NP-completos como los que defino a continuación.

El problema \( BINPACK(v_1,...v_n;k;V)  \) consiste en decidir si dado un conjunto de \( n \) objetos de tamaños \( v_1,...,v_n \) estos se pueden empaquetar en \( k \) cajas iguales de tamaño \( V \) sin exceder el tamaño de las cajas y sin romper ningún objeto.

El problema \( SUMSET(a_1,...,a_n;c)  \) consiste en decidir si dado un conjunto de \( n \) enteros \( A=\{a_1,...,a_n\} \) y un entero \( c \) existe un subconjunto \( S\subseteq{A} \) tal que su suma sea igual a \( c \).

Resulta que el otro día en un examen se pidió que se redujera polinómicamente el problema BINPACK al problema SUMSET. Cuando me lo comentó empecé a darle vueltas al asunto sin encontrar una reducción explícita. Está claro que la reducción existe porque ambos son problemas NP-complentos, pero no soy capaz de hallarla. Sí que tengo una reducción del problema SUMSET al problema BINPACK, pero claro, al revés me parece mucho más complicado.

Spoiler
Si se quiere resolver el problema \( SUMSET(a_1,...,a_n;c) \) se puede calcular \( N=\displaystyle\sum_{i=1}^n{a_i} \) y luego resolver el problema  \( BINPACK(a_1,...a_n,2c-N;2;c)  \). Es sencillo probar que que ambas sentencias son equivalentes y que no se pierde generalidad al considerar \( 2c-N\geq{0} \) (añadido).
[cerrar]

El caso es que ayer los profesores facilitaron su solución al examen y la que dieron a este ejercicio es incorrecta. Yo pienso que es posible que se les haya colado la pregunta y que no corresponda para nada con lo que se estudia en el curso, con lo que mi amigo estaría en condiciones de reclamar que se anulase la pregunta y con ello llegar al aprobado. No obstante, me apetecía exponer aquí lo ocurrido a ver si alguien sabe de una reducción como la que se pidió en el examen o un bosquejo de cómo podría ser.

Muchas gracias de antemano por vuestros comentarios. Un saludo.

10
Topología (general) / Demostrar que una función no es continua.
« en: 28 Septiembre, 2020, 12:38 pm »
Hola, buenas.

Estoy estudiando algo de topología y tengo una duda. Me gustaría demostrar, según la definición topológica de continuidad, que la siguiente función \( F:\mathbb{R\times{R\longrightarrow{R}}} \) no es continua:

\[ F(x\times{y})=\begin{cases}{xy/(x^2+y^2)}&\text{si}& x\times{y}\neq0\times{0}\\ 0 & \text{si}& x\times{y}=0\times{0}\end{cases} \]

Yo lo que he pensado es que la antiimagen del abierto \[ \left(-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)  \] es el conjunto \[ A=\{(x, y) \in{\mathbb{R^2}}:x^2+y^2+4xy>0\wedge x^2+y^2-4xy>0\}\cup{}\{(0, 0) \} \].

Al ser \[ A \] la unión de una región abierta delimitada por cuatro rectas que pasan por el origen con el mismo origen, su complementario no contiene el origen, pero la adherencia del complementario sí. Luego el complementario de \( A \) no es cerrado y \( A \) no es abierto.

Mi duda es que no tengo del todo claro que sea ésta la justificación que se esperaba en cuanto a que \[ A \] no es abierto.

Por otro lado, después de darle vueltas a esto, me mosqueó un poco que el ejercicio tuviera dos apartados previos. Me da la sensación de que este último apartado sobre la no continuidad de \( F \) se pretendía resolver con sus resultados. Esos dos apartados son:

A) Pruebe que \( F \) es continua en cada variable separadamente.

B) Calcule  \[ g:\mathbb{R\longrightarrow{R}} \] dada por \( g(x) =F(x\times{x})  \)

Con estos dos apartados creo que no he tenido problemas. Lo que sucede es que tiene pinta que la no continuidad de \( g(x)=F(x\times{x})  \) implica la no continuidad de \( F \). Pero no parece que este resultado sea más sencillo de probar que demostrar que \( A \) no es abierto... ¿Qué opináis sobre todo esto?

Agradezco anticipadamente cualquier tipo de comentario.

Un saludo.

11
Hola.


Viene de: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114307.msg452620#msg452620


Con ánimo de echar una mano voy a expresar una posible respuesta en la que no se hable de sucesiones y subsucesiones a ver si sirve de algo.

Se trata de  probar:

Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que:

 para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{1}{5}\Big|f(x)\Big|} \). (H)

Entonces   \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).



Lo demostraré por reducción al absurdo. Supongamos que el enunciado es falso y que por tanto existe una función \( f(x)  \) que cumple las condiciones del enunciado pero que no se anula en \( [a, b] \). Si \( f(x)  \) es continua en \( [a, b]  \) también lo es \( |f(x) | \) y por el teorema de Weierstrass ésta debe alcanzar su mínimo en \( [a, b]  \). Supongamos que el mínimo se da en \( m\in{[a, b] } \). Como \( f(x)  \) no se anula tampoco lo hace \( |f(x) | \) y deberá ser \( |f(m) |>0 \). Pero por una de las condiciones del enunciado existe \( y \) tal que \( |f(y) |\leq{}\frac{|f(m) |}{5}<|f(m)| \) con lo que el mínimo no estaría en \( x=m \) y eso es absurdo.

No quisiera estar liando la madeja, pero pienso que si a lo mejor Buscón entendiese una demostración después le sería más sencillo entender las otras. De no cumplir este mensaje su cometido puede ser ignorado sin más.

Un saludo.

12
Topología (general) / Topologías producto y por cajas
« en: 07 Septiembre, 2020, 12:11 pm »
Hola.

Tengo el siguiente enunciado que he sacado del Munkres. En la sección correspondiente se habla de la topología por cajas y de la topología producto. También llama \( \mathbb{R^{\omega}} \) al conjunto de sucesiones de números reales.

Dadas las sucesiones \( (a_1,a_2,...) \) y \( (b_1,b_2,...) \) de números reales con \( a_i>0 \) para todo \( i \), definamos \( h:\mathbb{R^{\omega}\rightarrow{}R^{\omega}} \) mediante la ecuación:

\[ h((x_1,x_2,...))=(a_1x_1+b_1,a_2x_2+b_2,...), \]

Pruebe que si \( \mathbb{R^{\omega}} \) está dotado con la topología producto, \( h \) es un homeomorfismo de \( \mathbb{R^{\omega}} \) con sigo mismo. ¿Qué ocurre si \( \mathbb{R^{\omega}} \) está dotado con la topología por cajas?


Lo que he hecho es primero notar que:

\[ h^{-1}((x_1,x_2,...))=(\frac{1}{a_1}x_1-\frac{b_1}{a_1},\frac{1}{a_2}x_2-\frac{b_2}{a_2},...), \].

Y que si \( U \) es un abierto básico de \( \mathbb{R^{\omega}} \) en la topología por cajas entonces es de la forma \( U=U_1\times{}U_2\times{...} \) donde \( U_i \) es un abierto de \( \mathbb{R} \). Entonces la imagen de un abierto básico por \( h \):

EDITADO
\[ h(U)=h(U_1\times{}U_2\times{...})=(a_1U_1+b_1)\times{}(a_2U_2+b_2)\times{}... \]

Es un abierto ya que \( a_iU_i+b_i \) es un abierto de \( \mathbb{R} \), al menos en la topología usual.

EDITADO
Al transformar elementos básicos en abiertos, transforma abiertos en abiertos, ya que cualquier abierto es unión de elementos básicos y su imagen será la unión de las imágenes de esos elementos básicos y por tanto también un abierto. Con \( h^{-1} \) pasa parecido y también transforma abiertos en abiertos. Como \( h \) transforma abiertos en abiertos \( h^{-1} \) es continua y viceversa, con lo que \( h \) es homeomorfismo si dotamos a \( \mathbb{R^{\omega}} \) de la topología por cajas. Si lo dotamos de la topología producto también lo es. Sólo hay que modificar un poco la demostración haciendo que a partir de un cierto \( n \), es decir para todo \( m>n \), tiene que ser \( U_m=\mathbb{R} \), con lo que la imagen de un abierto básico queda de la forma \( (a_1U_1+b_1)\times{}...\times{}(a_nU_n+b_n)\times{}\mathbb{R}\times{}\mathbb{R}\times{}\mathbb{R}\times{}... \), que vuelve a ser un abierto en la topología producto. Lo mismo con \( h^{-1} \).

Ocurre que tengo la sensación de estar liándola porque el libro dedica la sección a intentar dejar patente las diferencias entre la topología por cajas y la topología producto, y en el resultado al que he llegado no hay diferencia entre ellas. ¿Qué os parece?

Agradezco de antemano cualquier tipo de comentario. Un saludo.

13
Hola. Tengo el siguiente enunciado:

Sea \( X  \) un conjunto ordenado en la topología del orden. Muestre que \[  \overline{(a,b)}\subseteq{[a,b]} \]. ¿Bajo qué condiciones se cumple la igualdad?

La primera parte creo que ya la tengo hecha. Por reducción al absurdo:

Supongamos que existe \( c\not\in{}[a,b] \) que cumple \( c\in{\overline{(a,b)}} \). Entonces, al ser la relación de orden total tiene que ser \( c<a \) o \( b<c \). Supongamos \( c<a \). Nuevamente, al ser la relación de orden total, \[ c \] no puede ser minimal sin ser el mínimo, por lo que o bien es mínimo y el abierto \( [c,a) \) contiene a \( c \) y no corta a \( (a,b) \) o bien existe un \( d \) tal que \( d<c \) y el abierto \( (d,a) \) contiene a \( c \) y no corta a \( (a,b) \). En cualquier caso, hemos encontrado un entorno de \( c \) que no corta a \( (a,b) \) por lo que \( c\not\in{}\overline{(a,b)} \) y esto es contradictorio. Si \( b<c \) se llega a una contradicción de forma similar.

En cuanto a la pregunta de después, entiendo que se cumple la igualdad si y sólo si la relación de orden cumple que para todos \( a,b\in{X} \) existe un \( c\in{X} \) tal que \( a<c<b \). Esta propiedad de las relaciones de orden, ¿tiene algún nombre concreto?

Gracias, y un saludo.

14
Dudas y sugerencias del foro / Tamaño máximo de archivos adjuntos
« en: 16 Agosto, 2020, 06:55 pm »
Hola.

Estoy intentando subir al foro una imagen en formato jpg que pesa algo más de 6 megas. La verdad es que no sé si eso es mucho o poco para una imagen pero parece que no puedo hacerlo. No es que me salga un mensaje que diga que no se pueda ni nada de eso, simplemente se queda el navegador en blanco y no avanza (tanto el chrome como el safari).

¿Hay un tamaño máximo para los archivos adjuntos o algo así o pensáis que puede ser otra cosa la que está sucediendo?

Gracias. Un saludo.

15
Hola.

Recuerdo un teorema que decía algo así como que:

Dada una biyección entre los puntos de dos rectas que conserva la razón doble, el lugar geométrico de las rectas que unen cada punto de una de las rectas con su imagen en la otra es un hiperboloide de una hoja. Si la aplicación conserva además la razón simple, entonces el lugar es un paraboloide hiperbólico.

He buscado este teorema entre mis apuntes pero no lo he encontrado. ¿Alguien conoce un texto dónde aparezca este teorema y, si es posible, su demostración?

Gracias de antemano.

16
Teoría de Juegos / Equilibrio bayesiano de Nash
« en: 19 Julio, 2020, 12:17 pm »
Hola.

Ha llegado a mí un curso de teoría de juegos que me gustaría completar. La verdad es que el material es fácil de seguir y parece estar, en general, bien concebido. El último tema se llama Juegos estáticos con información incompleta y en el desarrollo del tema va poniendo ejemplos de juegos para dos jugadores en los que al menos uno ellos desconoce cuál es el estado de la naturaleza. Uno de ellos ilustra el apartado Juegos bayesianos con muchas estrategias, cuyo enunciado es el siguiente:

Consideremos un juego en el que dos empresas deciden simultáneamente qué cantidad de dinero invierten en publicidad. Llamemos \( s_1 \) y \( s_2 \) a las respectivas cantidades de dinero invertidas. La función de beneficios de la que llamaremos empresa 1 es conocida por ambas empresas y es:

\( \pi_1(s_1,s_2)=1000s_1-s_1s_2-s_1^2 \)

Sin embargo, la función de beneficios de la empresa 2 sólo es conocida por esta empresa. La empresa 1 sabe que la función de beneficios de la empresa 2 será:

\( \pi_2(s_1,s_2)=1000s_2-s_1s_2-\alpha s_2^2 \)

con probabilidad \( \theta \) o:

\( \pi_2(s_1,s_2)=1000s_2-s_1s_2-\beta s_2^2 \)

con probabilidad \( 1-\theta \). En el primer caso diremos que la empresa 2 es de tipo I mientras que en el otro diremos que es de tipo II.

Hallar los equilibrios bayesianos de Nash en estrategias puras del juego.

Tener en cuenta que la empresa 2 debe especificar qué hará en caso de tener la primera función y qué hará en caso de tener la segunda. En cambio la empresa 1 deberá elegir una sola inversión, que deberá ser la mejor respuesta al valor esperado de la estrategia seguida por la empresa 2


El último párrafo está prácticamente tal cual en el texto y a mí me parece muy lógico. Resulta que la solución que el mismo texto ofrece no parece, si no se me está escapando nada, ser demasiado coherente con este último párrafo. Dicha solución comienza así, y con este comienzo estoy de acuerdo:

Dada una cantidad \( s_1 \), la empresa 2 jugará a maximizar su función de beneficios, es decir invertirá:

\( s_{2a}=\frac{1000-s_1}{2\alpha} \) si es de tipo I y:

\( s_{2b}=\frac{1000-s_1}{2\alpha} \) si es de tipo II.

Y ahora viene la parte en la que no estoy tan de acuerdo. Dice que para maximizar su función beneficio la empresa 1 debe jugar \( s_1=\frac{1000-s_2}{2} \) y substituye aquí \( s_2=\theta s_{2a}+(1-\theta)s_{2b} \), es decir, \( s_2 \) por su valor esperado, y resuelve el sistema de tres ecuaciones con tres incógintas: \( s_{2a} \), \( s_{2b} \) y \( s_{1} \). El texto aporta la solución para el caso concreto \( \alpha=2 \), \( \beta=1 \) y \( \theta=0.5 \), que es \( s_1=384.6 \), \( s_{2a}=153.8 \) y \( s_{2b}=307.6 \)

No estoy de acuerdo en que la decisión de la empresa 1 así tomada maximice su beneficio esperado. A mí me parece más lógico calcular el beneficio esperado para la empresa 1 teniendo en cuenta las respuestas óptimas de la empresa 2 a cada estado de la naturaleza para obtener una función que sólo dependa de \( s_1 \)

\( E(s_1)=\theta\pi_1\left(s_1,\frac{1000-s_1}{2\alpha}\right)+(1-\theta)\pi_1\left(s_1,\frac{1000-s_1}{2\beta}\right)=s_1^2\cdot{}\frac{\beta\theta -\alpha\theta+\alpha-2\alpha\beta}{2\alpha\beta}+s_1\cdot{}\frac{-1000\theta\beta+2000\alpha\beta-1000\alpha+1000\alpha\beta}{2\alpha\beta} \)

El máximo de esta función se obtiene para \( s_1=500 \) y substituyendo en las primeras ecuaciones se tiene \( s_{2a}=\displaystyle\frac{250}{\alpha} \) y \( s_{2b}=\displaystyle\frac{250}{\beta} \).

Aquí pasa algo raro...

¿Alguien tiene algún comentario iluminador? Agradezco de antemano cualquier aporte.

Saludos.

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Hola, ¿qué tal?

Abro este hilo para continuar una conversación que comenzó en este otro y que voy a desviar bastante del tema del hilo original.

El objetivo del hilo es aclarar algún que otro concepto sobre normas y los diferentes espacios en las que están definidas.

Primero de todo voy a ir poniendo conceptos básicos que he ido encontrando por internet:

Dado un espacio vectorial \( V \) sobre un cuerpo \( K \) se dice que una operación \( \left\|{·}\right\|:V\rightarrow{\mathbb{R}} \) es una norma si para todos \( x,y\in{V} \) y todo \( \lambda\in{K} \) cumple las condicines siguientes:

EDITADO
\( \left\|{x}\right\|\geq{0} \)
\( \left\|{x}\right\|=0\Leftrightarrow{}x=0 \)
\( \left\|{x+y}\right\|\leq{\left\|{x}\right\|}+\left\|{y}\right\| \)
\( \left\|{\lambda x}\right\|={\left |{\lambda}\right |}\left\|{x}\right\| \)

Supongo que en el cuerpo \( \mathbb{K} \) tiene que haber definida una operación valor absoluto o módulo \( |·| \) que también cumpla una serie de condiciones, quizás que sea una norma. Supongo que esto se puede hacer porque \( \mathbb{K} \) es un espacio vectorial sobre \( \mathbb{K} \)

A un espacio vectorial en el que hay definida una norma se le llama espacio normado.

Bien. Tenemos que si en un espacio vectorial tenemos definido un producto escalar \( \cdot{} \), podemos definir a partir de él una norma \( \left\|{x}\right\|=\sqrt[ ]{x\cdot{x}} \). Se puede comprobar a partir de la definición de producto escalar que la operación así definida cumple las condiciones para ser norma. Luego todo espacio euclídeo es también automáticamente un espacio normado. El recíproco no es, en general, cierto.

Por otro lado, si tenemos dos espacios normados \( U,V \), se puede definir una norma inducida sobre el conjunto de aplicaciones lineales continuas entre ellos de la siguiente manera. Sea \( f:U\rightarrow{V} \) una de estas aplicaciones, entonces la operación \( \left\|{f}\right\|=\sup_{x\neq0}{\frac{\left\|{f(x)}\right\|}{\left\|{x}\right\|}}=\sup_{\left\|{x=1}\right\|}{\left\|{f(x)}\right\|} \) cumple las tres condiciones para ser norma. Aquí es donde se genera todo lo de las normas matriciales y la teoría en cuyo marco está el ejercicio que motivó esta conversación.

Hasta aquí creo que bien. Lo que viene a continuación lo tenía confundido. Pensaba que a los espacios con una norma definida se les llamaba de Banach, pero veo que no es así.

En un espacio vectorial normado sobre \( \mathbb{R} \), una sucesión de Cauchy es una sucesión que cumple que para todo \( \epsilon >0 \) existe un entero \( N \) tal que para todos \( n,m>N \) \( \left\|{x_n-x_m}\right\|<\epsilon \)

Un espacio de Banach es un espacio normado en el que toda sucesión de Cauchy es convergente. Por ejemplo \( \mathbb{Q} \) con el valor absoluto no es un espacio de Banach, ya que en \( Q \) hay sucesiones de Cauchy que no convergen a un número racional. Sin embargo \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{C} \) con el módulo sí que lo son. Así un espacio de Banach puede tener dimensión finita o infinita.

Un espacio de Hilbert es, básicamente, un espacio de Banach en el que la norma es inducida por un producto escalar. Pensaba yo que un espacio de Hilbert tenía que tener dimensión infinita pero parece ser que no tiene porqué.

También tenemos que toda norma induce una distancia \( d(x,y)=\left\|{x-y}\right\| \), por tanto todo espacio normado \( X \) es automáticamente un espacio métrico, y que toda distancia induce una topología, luego todo espacio métrico también es un espacio topológico. Los recíprocos no son, en general, ciertos.

¿Voy bien con todo esto?

Muchísimas gracias. Un saludo.

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Ejercicios - Exámenes - Apuntes / Relojes de Sol
« en: 01 Junio, 2020, 09:40 am »
Hola.

El otro día buscando una cosa entre mis papeles me topé con unos apuntes míos sobre relojes de Sol. Hablan de los principales tipos de relojes de Sol (hay muchísimos tipos más) y un poco de la teoría que hay que manejar para diseñar ciertas líneas que pueden aparecer en un reloj de Sol.

Pienso que puede interesar a gente aquí en el foro ya que esto de los relojes de Sol puede ser un recurso interesante a nivel pedagógico, entre otras cosas. Es relativamente sencillo construir uno en el suelo o en una pared y es una actividad en la que pueden participar chavales de todas las edades.

Los apuntes no hablan de aspectos constructivos, pero con la tontería ya he ido haciendo alguno que otro y si a alguien le interesa algún consejo me puede preguntar. En internet también hay mucha información sobre el tema.

Aquí están. Un saludo.

19
Problemas resueltos / Identidad trigonométrica
« en: 07 Mayo, 2020, 06:57 pm »
Hola.

Quiero subir aquí una identidad trigonométrica que a mí me resultó sorprendente bastante sorprendente. Me la conjeturé a mí mismo mientras le daba vueltas a este problema y acabé encontrando una demostración que comparto un poco más abajo. Quisiera saber si alguien de vosotros conoce esta identidad y alguna otra demostración, ya que en tal caso me gustaría compararlas. La identidad en cuestión es la siguiente:

Sea \( n  \) un entero \( n\geq{1} \). Entonces para \( k\in{}\{0,...,n\} \) se cumple:

\( \displaystyle\prod_{\substack{i=0\\i\neq{k}}}^{n}{\left |{\cos\left(\displaystyle\frac{k\cdot{}\pi}{n}\right)-\cos\left(\displaystyle\frac{i\cdot{}\pi}{n}\right)}\right |}=\begin{cases} \displaystyle\frac{n}{2^{n-2}} & \text{si}& k\in{\{0,n\}}\\\displaystyle\frac{n}{2^{n-1}} & \text{si}&  k\in{\{1,...,n-1\}}\end{cases} \)


Spoiler
Llamaré \( T_m(x) \) y \( U_m(x) \) a los polinomios de Chebyshev de primera y segunda especie respectivamente. Utilizaré las siguientes propiedades de los mismos:
  • U_m(x) tiene grado \( m \) y su coeficiente de mayor grado es \( 2^m \).
  • Los ceros de \( U_m(x) \) son \( \cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{m+1}\right) \) con \( k\in{}\{1,...,m\} \)
  • Para todo entero \(  i \) se cumple \( T_m\left(\cos\left(\displaystyle\frac{i\pi}{m}\right)\right)=(-1)^i \)
  • \( U_m(1)=m+1 \)
  • \( U_m(-1)=(-1)^m\cdot{}(m+1) \)
  • \( \displaystyle\frac{dU_{m-1}}{dx}=\displaystyle\frac{m\cdot{T_m(x)}-x\cdot{}U_{m-1}(x)}{x^2-1} \)

Consideremos el polinomio:

\( p(x)=2^{n-1}\displaystyle\prod_{i=0}^{n}{\left(x-\cos\left(\displaystyle\frac{i\pi}{n}\right)\right)} \)

Que es el mismo polinomio que el siguiente, ya que ambos tienen los mismos ceros, el mismo grado y el mismo coeficiente de mayor grado:

\( p(x)=(x^2-1)\cdot{}U_{n-1}(x) \)

Entonces, derivando la primera expresión, substituyendo \( x=cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right) \) con \( k \in{\{0,...,n\}} \) y tomando valor absoluto tenemos que:

\( \left |{p'\left(\cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\right)}\right |=2^{n-1}\displaystyle\prod_{\substack{i=0\\i\neq{k}}}^{n}{\left |{\cos\left(\displaystyle\frac{k\cdot{}\pi}{n}\right)-\cos\left(\displaystyle\frac{i\cdot{}\pi}{n}\right)}\right |} \)

Por otro lado, derivando la segunda expresión:

\( p'(x)=2x\cdot{}U_{n-1}(x)+(x^2-1)\cdot{}\displaystyle\frac{n\cdot{T_n(x)}-x\cdot{}U_{n-1}(x)}{x^2-1}=x\cdot{U_{n-1}(x)}+n\cdot{T_{n}(x)} \)

Por lo que, con la ayuda de las propiedades de antes:

\( |p'(1)|=|p'(-1)|=2n \)

Con esto ya tenemos la demostración del enunciado para \( k\in{\{0,n\}} \). En otro caso, es decir para \( k\in{}\{1,...,n-1\} \), tenemos que:

\( \left |{p'\left(\cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\right)}\right |=\left |\cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\cdot{}\underbrace{U_{n-1}\left(\cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\right)}_{0}+n\cdot{}T_n\left(\cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\right)\right |=|(-1)^k\cdot{}n|=n \)

Y con esto último el enunciado para el resto de casos.
[cerrar]

Un saludo.

20
Hola buenas.

Resulta que discutiendo un tema de física en este hilo nos ha surgido de forma un tanto inesperada un problema sobre la validez de un modelo que básicamente se reduce a lo siguiente. Abro un hilo nuevo para que se pueda entender el problema sin tener ni idea de física y para que se pueda participar en él sin necesidad de leer todo el otro hilo.

Dados dos números reales \( L \) y \( C \), decidir si existen un único número real Q y una única función \( \lambda:(-L/2,L/2)\longrightarrow{\mathbb{R}} \) tales que para todo \( a\in{(-L/2,L/2)} \) se cumplen las dos igualdades siguientes:

\( \lambda(-a)=-\lambda(a) \)

\( \displaystyle\frac{Q}{(L/2+a)^2}+\displaystyle\frac{Q}{(L/2-a)^2}+\displaystyle\int_{-L/2}^{a}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(a-x)^2}\,dx-\displaystyle\int_{a}^{L/2}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(a-x)^2}\,dx=C \)


La verdad es que no sé cómo abordar el problema. Ni si quiera sé qué rama de las matemáticas se encarga de este tipo de problemas. ¿Alguien podría iluminarnos un poco?

Si la respuesta al problema fuese afirmativa, y efectivamente existiesen ese \( Q\in{\mathbb{R}} \) y esa función \( \lambda \) el objetivo pasaría a ser hallarlos para ciertos valores de \( L \) y \( C \) mediante técnicas numéricas, ya que analíticamente parece imposible, ¿o qué opináis?

Gracias y un saludo.

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