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El oto día, en un hilo de Richard, vi que Geómetracat comentaba que él sospechaba que no existían números perfectos impares. Yo no sabía que no estaba demostrado. Así que, a ratos, me puse a buscar una demostración durante estos días.

Aquí, todo el mundo sabe la cantidad de“demostraciones” equivocadas que he puesto en el foro. Y la he repasado... pero quizá no todo lo que debiera. No obstante, ésta, aunque estuviera mal, es muy bonita (como músico, aunque sea callejero, doy mucha importancia al aspecto estético).

Y no estaba bien, me despisté.

...

No existen números perfectos impares; demostración:

Si la cantidad de divisores propios de un número perfecto “n” es “k”, podemos escribir

1ª \( kn=ap_{1}+bp_{2}+cp_{3}+...
  \)

donde los “(letra)·p” tienen el valor “n”.

Evidentemente, “n” se podrá expresar como el producto de un primo (o de 1) por otro número (que son los a,b,c...)

Por tanto, si “n” es el número perfecto y “k” la cantidad de sumandos (que es también la cantidad de divisores propios) kn es esa suma.

Spoiler

Por ejemplo, si tomamos 21 (aunque no sea perfecto sirve para verlo) tiene tres divisores propios, que son 1,3,7; entonces n=21 y k=3 y podemos escribir “kn” así

\( 3\cdot21=(1)\cdot21+(3)\cdot7+(7)\cdot3
  \)

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Consideremos “n” impar.

En caso de que “n” sea impar, todos los divisores serán impares y, por tanto, si “k” impar, la cantidad de sumandos será impar; análogamente, si k par, la cantidad de sumandos será par.

Supongamos que “k” es impar.

\( kn=n+ap_{1}+bp_{2}+cp_{3}+...
  \)

*(escribo “n” para p=1, no cambia nada sustancial, sigue habiendo una cantidad impar de sumandos).

Dividiendo entre “n” la igualdad

\( k=1+\dfrac{ap_{1}+bp_{2}+cp_{3}+...}{n}
  \)

ocurre que “n” tiene que dividir a esa suma, pero es una suma con una cantidad par de sumandos impares, y “n” es impar, luego es imposible. La cantidad de divisores tendrá que ser par: por tanto, tiene que ser k=par.

...

*(Seguidamente uso la letra “t” en vez de “p” porque lo tenía escrito así de antes, pero es lo mismo)

...

Teníamos entonces

0ª \( n=a+b+c...
  \)

1ª \( kn=at_{1}+bt_{2}+ct_{3}...
  \)

y podemos hacer

2ª \( kn=ak+bk+ck...=at_{1}+bt_{2}+c_{t_{3}}...
  \)

3ª \( a(t_{1}-k)+b(t_{2}-k)+c(t_{3}-k)...=0
  \)

1ª+3ª \( \Rightarrow
  \)

4ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...
  \)

Ahora, repito este proceso etiquetando 4ª=(1a)ª:

(1a)ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...
  \)

(2a)ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...=ak+bk+ck...
  \)

(3a)ª \( a(2t_{1}-2k)+b(2t_{2}-2k)...=0
  \)

1ª+(3a)ª \( \Rightarrow
  \)

(4a)ª \( kn=a(3t_{1}-2k)+b(3t_{2}-2k)...
  \)

...

Por 4ª y por (4a)ª vemos que los coeficientes de la “tes” y la “k” irán aumentando en una unidad si repetimos el proceso varias veces. Así tendremos coeficientes “m” para las “tes” y coeficientes “m-1” para la k (donde “m” tiene libertad para ser el número que quiera ser) de manera que podemos escribir:

5ª \( kn=a(mt_{1}-(m-1)k)+b(mt_{2}-(m-1)k)...=
  \)

\( kn=a(mt_{1}-mk+k)+b(mt_{2}-mk+k)...=
  \)

Ahora, por el miembro izquierdo de 2ª, sumado a ésta anterior, tenemos

\( 2kn=a(mt_{1}-mk+2k)+b(mt_{2}-mk+2k)...
  \)

y divdiendo entre 2k

\( n=a(\dfrac{mt_{1}}{2k}-\dfrac{m}{2}+1)+...
  \).

Si k es múltiplo de 2 pero no de 4, eligiendo “m” múltiplo de 4 y no de 8, quedará una suma par en los paréntesis, lo que no puede ser.

Asimismo, si k es múltiplo de 4 pero no de 8, podemos elegir “m” múltiplo de 8 pero no de 16, con lo que pasará igual.

Y así, sucesivamente, siempre podemos elegir un múltiplo “m” adecuado para que todos los sumandos sean pares, lo que impide que “n” sea impar.

Eso está mal, lo que quiere decir es que k no puede ser par

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Foro general / La música y la matemática: similitudes
« en: 30 Junio, 2022, 12:37 pm »
La música y la matemática: similitudes 


La creatividad

Un día de este mes de junio pasado me puse a escribir este ensayo o introspección músico-matemática; y ha quedado larguísimo, kilométrico.
Ahora, al poco de decidir que ya era bastante y que tenía que terminar para publicarlo, se me ocurre otra cosa en común entre ambas disciplinas, la creatividad.

Tanto la música como la matemática conllevan creación; ideas más o menos personales, enfoques particulares y pequeños descubrimientos o “inventos”.
Este foro está repleto de personas muy creativas que no dan demasiada importancia a lo que hacen ni a su nombre, sin interés crematístico y sin buscar “salir en la tele”; empezando por todos los administradores y siguiendo por muchos otros  más (escriben libros, largos artículos, resuelven problemas, responden dudas... Todo esto dicho para lectores poco habituales o ajenos al foro, porque ellos ya lo saben).

Hace años que tengo la sensación de que hay quien bebe de éstas y otras fuentes (de Rincón Matemático y otras páginas de temas de todo tipo) para después compartir o utilizar algo sin reparar mucho de dónde ha salido, pensando en que el total de toda esa divulgación que lee supone siempre palabras que dijo Sócrates o ideas ingeniosas de Einstein (u otros personajes famosos).  Quizá, hay gente que piensa que todo eso que se escribe en internet gratis, por el hecho de serlo, es copiado al pie de la letra o poco más o menos.

Por eso,  antes de dar paso al “libro” que he escrito (por su extensión creo que casi se puede calificar de libro) y para no pecar de lo que acabo de mencionar,  vaya lo siguiente.


Bibliografía y referencias a modo de prólogo o viceversa; pinchando en spoiler

Spoiler
Tengo muchos libros en la estantería; de armonía, por ejemplo: Arín y P. Fontanilla, Zamacois, unos de la Unión Musical de España, otro de Pedro Sanz... el de composición de Joaquín Turina y alguno más que ahora no veo.
Luego, también, pues el libro de contrapunto el de Amando Blanquer (y algunos no específicos que tocan el tema) uno  de fuga de Josep Soler, el de orquestación de Casella y Mortari, el de formas musicales de Zamacois, el de historia y estética de Fubini... En fin, los más típicos entre los libros de música (típicos de hace unas décadas).
Después, el diccionario inglés-español (y viceversa) de términos musicales de mi íntimo amigo el musicólogo Pedro Gónzalez Casado (ya fallecido) algún ensayo suyo, obras analizadas por él... Otros diccionarios de autores y términos... y muchos más libros que tratan éstos y otros temas de forma más general o son directamente divulgativos (por desgracia hay bastantes que no conservo).

Pero son libros que leí hace cuarenta años (por decir una cifra) y, salvo alguna cosilla aislada, no los he ido consultando para escribir esto. Me expreso sobre la marcha, cavilando he intentado recordar mientras escribo, pues he olvidado muchísimas cosas.
Más importantes quizá que los libros, son las conversaciones y los cambios de impresiones que he tenido con músicos a lo largo de mi vida (alguna vez, incluso, estuve presente -escuchando más que otra cosa- en “charlas de café” con Bernaola, Mompou, Halffter... célebres compositores de finales del siglo XX; y también con muchos intérpretes de nombre, como Genoveva Gálvez, que se dejó un día un abanico en una tertulia y se lo guardé yo con el objeto de devolvérselo alguna vez (a saber ya dónde lo metí).

No puedo olvidarme tampoco de los “jóvenes” creadores de Youtube (“jóvenes”, en su mayoría, vistos desde mi vejez, quiero decir). Entre los canales de música, es muy conocido el de Jaime Altozano, pero yo veo vídeos de unos cuantos más, como el del polifacético Juan Pérez Floristán, uno de los mejores concertistas de piano del mundo; Paola Hermosín, una maravillosa guitarrista que además hace sus propios arreglos... En fin, nombrar a todos los que se me vienen a la cabeza sería alargarse más y pasa lo de siempre, que es injusto ir haciendo una lista, porque se te olvidan algunos.     

Bibliografía matemática... pues muy poca, básica, como mis conocimientos. La más importante que puedo citar es el propio foro, Rincón Matemático.
 
En cuanto a las palabras técnicas que uso, es posible que algunas sean ya poco utilizadas, no lo sé, a lo mejor han sido sustituidas por otros términos análogos. De todas formas, algunas las he puesto en el buscador para ver si “internet” sabe de ellas y les da el mismo significado que yo (las que he visto sí las entiende igual o mas o menos igual). 

Si existe curiosidad por algún término que pueda utilizar sin explicar nada sobre el, como, por ejemplo, que sé yo, “floreo” o algo así, podéis poner en el buscador “música floreo”; siempre con la palabra “música” delante; normalmente va a aparecer alguna una definición aunque no sea el vocablo exacto; la inteligencia artificial sabe relacionar cosas de ese tipo.
 
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Los inicios

La escala musical diatónica tiene 7 notas; y se suele añadir este ejemplo: “do re mi fa sol la si”. Con este caso particular se empieza a enseñar música.

Es análogo a lo que ocurre al enseñar los números 1,2,3,4,5,6,7... Aquí los nombres son “uno”, “dos”... en vez de “do”, “re”, etc, pero ni “1” es el primer elemento de toda sucesión ni “do” la primera nota de cualquier escala. Hay que empezar por algún sitio a “abrir el melón”, y empezar así es lo habitual.

Entre los nombres asociados a la escala de DO, su escritura en el pentagrama y las teclas de un piano, hay una sencilla correspondencia fácil de visualizar:
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En lo sucesivo y salvo despiste, al referirme al tono o tonalidad escribiré “DO”; al aludir a un acorde pondré “Do” y al hablar de una nota, “do”.
En caso de no mencionar el modo se ha de entender que es modo mayor.
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El teclado es una colección de conjuntos de siete teclas blancas que se repiten en bloques; estos bloques se distinguen porque cada uno lleva intercalado un conjunto de dos teclas negras y otro de tres teclas, también negras, separado del anterior (tal como se indica en la imagen).
La primera tecla blanca a la izquierda de las dos teclas negras consecutivas es la del do; la primera a la izquierda del grupo de tres es la del fa. 

Intencionadamente he colocado el pentagrama girado 90º en sentido horario, pues esto nos recuerda alguna cuestión práctica (operativa) que existe en matemáticas: la escritura de las ecuaciones en horizontal, que se contrapone a la escritura matricial. 
En el teclado, las notas se disponen en horizontal en vez de en vertical, como sí ocurre, en cambio, en el pentagrama. Quizá no sea lo más apropiado para instrumentos de tecla, pero antes se inventaron otros instrumentos y también las “alturas” son más adecuadas para la voz humana, el instrumento más primitivo. 

Elementos

En matemáticas uno tiene elementos como puedan ser los vectores y en música tiene, similarmente, acordes (aunque los acordes no son vectores). También en este caso se suele empezar por enseñar el acorde de “Do”, que vendría a ser el “vector” (1,3,5) según los grados de la escala del ejemplo.

Al oír esta palabra, “acorde”, se pensará en una serie de notas o números “a la vez” (en sentido “actual”) pero el acorde es el conjunto en sí, otra cosa es que se pueda ejecutar armónicamente, dando las notas en bloque, o melódicamente, de una en una (y además no necesariamente en ese orden).

Dentro de un mismo tono, el acorde (1,3,5) [digamos (do, mi ,sol)] es el mismo que (3,5,1) u otra permutación, es el acorde tonal de primer grado. Pero a partir de un cierto contexto puede verse como una combinación y, a partir de otro, como  un conjunto de permutaciones.
 
Estamos hablando de sólo estas permutaciones (1,3,5); (3,5,1); (5,1,3). Y se puede preguntar que qué pasa con las otras tres.

La primera permutación (1,3,5) se llama “estado fundamental del acorde” y se suele cifrar con un 5 ó un \( \begin{array}{c}5\\3\end{array} \) encima de la nota “do” (digo “do” como ejemplo, primer grado o tónica en tono de DO); la segunda se llama “primera inversión del acorde” y se suele cifrar con un 6 sobre la nota “mi” (grado 3ª o modal de DO); y la tercera se llama “segunda inversión” y se acostumbra a cifrar con un  \( \begin{array}{c}6\\4\end{array} \) sobre la nota “sol” (los números representan las notas cuarta y sexta a partir del “sol” en ambos casos; nota ésta, sol, que supone el 5º grado o dominante de la tonalidad de DO).

Esto está queriendo decir más o menos lo que se ve, los números en este caso indican distancias entre notas y no grados de la escala: si la nota del bajo en el pentagrama es un mi y encima aparece un 6, se entiende que hay que contar 1,2,3,4,5,6 desde el mi incluido hasta el do incluido (nota que se pulsa junto al mi)
 
\( \begin{array}{c}
\underset{3\text{º}}{mi},\underset{4\text{º}}{fa},\underset{5\text{º}}{sol},\underset{6\text{º}}{la},\underset{7\text{º}}{si},\underset{1\text{º}}{do},\\
1,\:\,2,\:\,3,\,\:4,\,\:5,\,\:6
\end{array}
  \)

Se entiende que también hay que tocar la nota que falta del acorde (el sol en este caso). Así tenemos el acorde llamado de sexta, donde habitualmente no se indica la tercera nota a partir del bajo.

Veamos qué pasa con las otras tres permutaciones:

Estas dos permutaciones (3,1,5); (3,5,1) suponen la misma inversión del mismo acorde, la primera inversión del acorde de tónica.
Las dos tienen a la izquierda del todo, en el bajo, la tercera nota de la escala; el mi en el ejemplo.

Pasa Igual con la segunda inversión, ésta (5,1,3) y ésta (5,3,1) representan la misma inversión del acorde de tónica, porque la nota del quinto grado de la escala está la primera.
Y con el estado fundamental, sin invertir, pues igual: ésta (1,3,5) y ésta (1,5,3) representan la misma inversión.

Es decir, dentro de las seis permutaciones, entendemos combinaciones “dos a dos” según lo explicado; y se quedan en tres.

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Esta “igualdad” entre dichas permutaciones es una consideración más en cuanto a “nombre” que a otra cosa, porque existe una sonoridad distinta. Pero ocurre que cuando los músicos interpretan tienen que dar las notas en un cierto tiempo, con un cierto ritmo... y necesitan simplificar las ideas, resumirlas para visualizarlas deprisa sin perder el tempo.
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Música y aritmética modular

Las notas de la escala se sitúan en distintas tesituras; son las mismas, tienen el mismo nombre, pero suenan más graves o más agudas. Tocar sobre la escala diatónica es análogo a funcionar con unos cuantos enteros módulo 7 (no hay infinitos representantes en este caso).
Se puede elegir que los restos sean las siete notas de la octava central, que los representantes negativos sean las notas que quedan a la izquierda (más graves) y los positivos las que quedan a la derecha (en el pentagrama diríamos que son las notas que quedan abajo y arriba respecto de las de en medio). En fin, tal como se puede comprobar en la imagen de arriba.

Spoiler
Puede que algún músico perdido por internet llegue a leer esto y no sepa qué quiere decir “los enteros módulo 7”.
Simplemente se trata de que, si numeramos las teclas bancas del piano como en la imagen
 (1=do central; 0=si a la izquierda; -1=la a la izquierda... 2= re derecha, etc.) sumando o restando sietes encontraremos el nombre de la nota asociado a la tecla. Por ejemplo:
Para las graves o negativas: -18+7+7+7= 3 = mi.
Para las agudas o positivas restamos: 20-7-7 = 6 = la.
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Magnitudes escalares

Las notas se pueden entender también como magnitudes escalares físicas.

Por una parte, cuando hablamos de temperatura podemos decir “menos cinco grados” o “un grado”... en grados centígrados, escala donde se toman números negativos.
Pero es sólo una escala, también existen los grados Kelvin o Fahrenheit e igualmente podríamos inventar alguna escala más en la cual no fuera necesario utilizar negativos; podríamos elegir una donde todos los escalares tuvieran el mismo signo.

En cambio, en las magnitudes vectoriales el signo es “de verdad”, depende de aspectos teóricos que son clave, de definiciones que tienen una trascendencia.
La pregunta es: “entonces,  los grados de las escalas musicales ¿son más bien magnitudes vectoriales o escalares?”.
Creo que tendríamos que recurrir a distintos contextos para elegir una u otra respuesta.

Es cierto que las escalas pueden ser ascendentes o descendentes, tienen dos sentidos y una dirección, pero también aparece el tiempo, la duración de cada nota y, tal vez, fuera más adecuado asociar las melodías a gráficas de ondas un tanto caprichosas. Vista la música así, sí tendría un sentido más parecido al analítico y al geométrico. 

Por otra parte, en el discurso melódico y armónico surge una cierta idea  de “distancia” en forma de cercanía entre notas. Las notas de los acordes se suelen suceder a menudo según distancias más o menos pequeñas (comparativamente hablando).

La distancia mínima en la música temperada es el semitono.
Dentro de las escalas, las escalas cromáticas suponen un conjunto de notas sucesivas situadas entre sí a la menor distancia. La escala cromática completa supone 12 sonidos distintos en vez de 7.

Así, la escala de DO mayor, toda sin alteraciones, tiene cierta relación con el conjunto de los naturales; de hecho, a las notas que no están alteradas (que no son bemoles ni sostenidos)  las llamamos naturales; do natural, re natural, etc. Por contraposición, digamos que la escala dodecafónica es más densa; usualmente, la más densa posible.

Continuidad

En la armonía escolástica el paso de un acorde a otro, en cuanto a conducción de las voces, debe ser suave; aquí el significado de “suavidad” es  algo parecido al que se utiliza al hablar en matemáticas de continuidad.

Tenemos tres acordes principales que podemos llamar “acordes tonales básicos o principales” y se construyen a partir de los grados 1º (acorde de tónica) 4º (de subdominante) y 5º (de dominante).
Tomando la escala de DO, estos acordes son los siguientes:
(do, mi sol); (fa, la, do); (sol, si, re).

Así vistos, en estado fundamental (esto es, con la nota que da nombre al acorde en el bajo) son muy fáciles de recordar: están compuestos de tres notas y van dejando una en medio, la cual no entra en el conjunto. Por ejemplo, en el primer acorde tonal, DO, quedan los huecos de las notas re y  fa.



Si en un piano damos los dos primeros acordes tal cual (do mi sol) y después (fa, la, do) va a sonar bien, pero con demasiado “brillo”, porque no hay mucha continuidad (en el sentido de cercanía) entre las notas; se dejan más notas en medio de las que se pueden dejar de otra manera.

Conjunto intersección de acordes

Para lograr un enlace suave entre (do, mi, sol) y (fa, la, do) buscamos primeramente la intersección entre los dos acordes (si la hubiera, si no fuera vacía).
La nota común en dicho ejemplo es el do; y entonces no tiene necesidad de moverse de ahí (la nota puede quedarse quieta sosteniendo el sonido o repitiéndolo).

Ahora observamos cómo enlazar las otras dos notas.
El “mi” va a “fa” subiendo un semitono y el “sol”, de la misma manera, sube al “la”; en este caso ascendiendo un tono (por ser una tonalidad en modo mayor).

Así, en vez de pasar de un acorde en posición fundamental a otro distinto en la misma posición, hemos pasado de uno en posición fundamental a otro distinto pero en segunda inversión.

Spoiler
Resumiendo: estamos hablando del tono de DO (en modo mayor) cuya escala es do,re,mi,fa,sol,la,si (los grados 1º, 2º...7º) y estamos considerando el enlace de los acordes de primer grado o tónica, Do, y de cuarto grado o subdominante, Fa; pero buscando las distancias más pequeñas posibles.
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Y ése es el contexto en el que, especialmente, tienen importancia las inversiones de los acordes.

Para los que empiezan a tocar una melodía en un teclado sería muy fácil dar siempre los acordes en posición fundamental, dando esos saltos sin pensar en intersecciones ni nada de eso. Mentalmente es muy visible y rápido: acorde con “mano de escayola” en la izquierda, “clavado”, y en la derecha la melodía.
Sin embargo, no se empieza a enseñar de este modo. Pero quizá sería interesante hacerlo: de esa forma se asimilan muy deprisa los acordes y las funciones tonales y, después, cuando ya se empezara a enlazarlos de otra manera, se entendería mejor cómo está hecha una cierta música. 


En todo caso estoy hablando del “cuerpo” armónico, la armonía que acompaña a la melodía o melodías; que ésas sí son más variopintas en cuanto a dibujo melódico, saltos y demás (principalmente la “voz cantante” y el bajo). La melodía tiene que obedecer a los acordes, pero es bastante libre respecto de las estrictas reglas que rigen a la voces de la sección armónica.

Una especie de “diferenciabilidad”

Aparte de esa “continuidad” en cuanto a cercanía entre las notas, es necesaria otro tipo de  “continuidad” la cual tiene que ver con la teoría más profunda.

Nos podemos ir “lejos” con las notas de otra manera: puede haber mucha cercanía “física” en el paso de un acorde a otro y, sin embargo, sonar muy extraño.
Digamos que, del mismo modo que la continuidad no es suficiente para que una función sea derivable en un punto, aquí tampoco es suficiente con hacer unos enlaces más o menos “suaves” respecto de las distancias para que el oído no note  “discontinuidades” ni “picos”.  Y es que existe un segundo concepto de cercanía: la cercanía tonal.

Por ejemplo, la tonalidad de LA menor es la más próxima a la de DO mayor. Es debido a que su escala natural tiene los mismos sonidos en sus notas, lo que cambia es la correspondencia con los grados.
Cuando pasa esto con dos tonalidades se llaman tonos relativos. En este caso se traduce por que DO mayor y LA menor, en principio, no tienen sostenidos ni bemoles; en un teclado todas las teclas de las dos escalas son teclas blancas (pero en el modo menor hay algún matiz sobre las escalas usuales que mencionaré más tarde).

Le sigue en cercanía un grupo de cuatro tonalidades: SOL mayor (con solo una alteración, el fa sostenido); MI menor (el tono relativo de SOL, con la misma alteración, fa sostenido); FA mayor (con solo una alteración, que es si bemol); y finalmente RE menor (el relativo de FA).

Esto supone que si, haciendo una melodía basada en la escala de DO mayor, pasamos de la nota sol a la de fa sostenido, no sonará brusco (siempre que la música vaya acompañada por una armonía apropiada).
 
Ahora bien, si usamos alteraciones que pertenecen a tonos un pocos más lejanos (siguen a ésos SI bemol mayor, SOL menor, RE mayor y SI menor, con dos alteraciones ya cada uno) tendremos que tener más cuidado; la forma de llegar a dar esas notas, a partir de una melodía en DO mayor, normalmente va necesitar un transición más larga, una preparación más trabajada.

Aunque no sea una regla general, siempre que queramos suavidad, primero han de entrar las alteraciones de los tonos más cercanos en el sentido dicho; luego, las que están un poco más lejos... y así.

Modulaciones

Las inflexiones y las modulaciones deben atender un poco a eso para resultar suaves. Relacionado con ellas va a aparecer después otro símil matemático, un parecido con los cambios de base en un espacio vectorial (pero ahora no, después).

Lo dicho está directamente relacionado con la armonía; es fácil meter un acorde de Re mayor después de uno de Sol mayor que estaba funcionando como dominante en la tonalidad de DO mayor; el oído queda preparado para que ahora la musica cambie al tono de SOL mayor sin brusquedad.
En esta modulación en concreto, a partir de aquí, a partir de la entrada de ese acorde de Re mayor, el grado 1º de la escala pasa a ser el que antes era el 5º; o sea, si estábamos en la tonalidad de DO, ahora estamos en la de SOL; la tónica, ya, es el sol y no el do.

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Lo que ocurre es que los numeritos de la primera imagen que se corresponden con cada tecla se desplazan sobre el teclado; sigue siendo todo módulo siete, pero los números se corresponden con otras teclas respecto del tono anterior.

En este vídeo vemos un armónium transpositor; y aquí lo que se desplaza es el teclado, de forma que cuando se hace la escala de DO, sobre las blancas, ya no es la escala de DO, suena en otro tono según se deslice el teclado; no se puede desplazar mucho, porque habría teclas que se quedarían sin correspondencia y no sonarían; no habría biyección (otro símil matemático).


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Este cambio puede ser muy transitorio, durar muy poco y volver enseguida  al tono de DO, en cuyo caso estaríamos hablando de una inflexión. Cuando, por el contrario, aparece un segundo tema (un trozo más o menos largo) sobre el nuevo tono, ahí sí decimos que la obra modula verdaderamente a otro tono.

Por ejemplo, en la forma sonata tenemos un tema o motivo A; después, viene lo que se llama un puente; y después viene un tema B (y más cosas, pero con esto vale).
Si el tema B está en otro tono distinto del de A, el puente es un trocito de
unos cuantos compases que sirve para hacer esa transición, para modular o cambiar a otro tono. Se distingue de una simple inflexión en que, al ser más largo, asienta más el oído; digamos que lo prepara más para oír algo en la nueva tonalidad.

Si queremos modular a un tono lejano, y queremos cierta suavidad, el puente tendrá que ser más largo (para que dé tiempo a que entren todas las notas alteradas por orden; todas las necesarias). En cambio, si el tono es muy cercano, el puente puede ser a veces muy corto (un compás o medio, por ejemplo) sin que el oído diga “¡qué ha pasado”. En casos así no se le llama ni siquiera puente, se dice que se modula de A a B de forma directa. 
Spoiler
Lo que aquí se llama inflexión puede recordar algo a un punto de inflexión en una función matemática (los cambios en las concavidades y convexidades son como el acercamiento a otro tono y el rápido regreso al tono anterior).
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Cadencias

Para modular, para terminar un trozo en una tonalidad y empezar con otra en otro tono, y también para finalizar una obra, usamos cadencias: dos o tres acordes, uno detrás de otro, que, según los casos, tienen más o menos carácter conclusivo. Las cadencias van definiendo de alguna manera subconjuntos dentro de lo que es el conjunto de una obra musical.

Las cadencias más utilizadas son la perfecta y la plagal: la primera es con el acorde de dominante (5º grado de la escala) que resuelve en el acorde de tónica (1º grado); la segunda es con el acorde de cuarto grado (subdominante) que resuelve en tónica.
O sea, usando los acordes en su posición fundamental (sin hacer enlaces suaves) son éstas:

Perfecta:

\( (5,7,9)\rightarrow(1,3,5)
  \)

*(donde \( 9\equiv2\,(mod\,7)  \)).

En el tono de DO sería: \( (sol,si,re)\rightarrow(do,mi,sol)
  \).

Plagal:

\( (4,6,8)\rightarrow(1,3,5)
  \)

*(donde, análogamente, \( 8\equiv1\,(mod\,7)  \)).

En el tono de DO sería: \( (fa,la,do)\rightarrow(do,mi,sol)  \)).


La cadencia perfecta es la cadencia por antonomasia; el chimpún final de casi todas melodías más populares. Y, cuando la armonía es a cuatro voces, al acorde de 5º grado se le añade con muchísima frecuencia la 7ª; es el famoso acorde de séptima de dominante que, en el tono de DO, sería el acorde de Sol añadiendo la nota fa.
Así, ese acorde en posición fundamental es (5,7,9,11); en tono de DO es pues (sol, si, re, fa).
*Donde \( 9\equiv2\,(mod\,7) \)  y \( 11\equiv4\,(mod\,7)  \).

En armonía a tres voces podríamos utilizar, por ejemplo, el acorde de quinta disminuida sobre el 7º grado (7,9,11) que es como el de antes pero quitando la nota del 5º grado; en tono de DO es (si, re, fa) y, si resuelve después en el acorde de tónica (Do) se dice que tiene la misma función tonal que el acorde de dominante (Sol) pese a que la nota sol ni siquiera aparezca (es como si estuviera muda, no suena pero “funciona”).

Así, escribiendo armonía sólo a tres voces, podemos tomar tres notas cualesquiera del acorde (5,7,9,11) y usarlo con esa función; siempre que se haga bien.

Funciones tonales

Lo de las funciones tonales tiene mucho que ver con la intersección de los acordes como conjuntos de notas:
 
Si consideramos el de 5ª disminuida y el de 7ª de dominante ocurre esto \( card\,(7,9,11)\cap(5,7,9,11)=3  \).
Tres notas en común.

Mientras que con los otros acordes tonales básicos no hay tantas notas en común:

\( card\,(7,9,11)\cap(1,3,5)=0
  \)

\( card\,(7,9,11)\cap(4,6,8)=1
  \)
*(hay una nota común en los últimos puesto que \( 11\equiv4\,(mod\,7)   \)).

En ambos casos, el resultado, salvo una muy ligera diferencia al oído, va a ser el mismo: “chimpún”; la cadencia perfecta suena casi igual usando el acorde de séptima de dominante que el de quinta disminuida debido a la cantidad de notas en común y a la importancia de ellas (en ambos casos aparece la sensible y la disonancia [que son respectivamente el si y el fa y son de resolución “obligada”: la sensible sube y la disonancia baja]).

Como se puede suponer también, el acorde \( \underset{+}{7}
  \) (así se cifra el de séptima de dominante si en el bajo está la dominante) tiene una inversión más al tener cuatro notas, tiene tres en vez de dos; estado fundamental aparte.

En este vídeo podemos ver y oír la cadencia perfecta en tono de Do:
Tónica = do;  Dominante = Sol
Los tres primeros acordes están en estado fundamental, con lo que se producen quintas paralelas y octavas paralelas. Inmediatamente, detrás, suenan los acordes evitando estos “defectos”: esa dependencia lineal entre quintas y octavas.


”Relatividad”

Cualquiera dirá que qué exagerados son los músicos, que eso no suena raro. Y es verdad, ahí no notamos nada extraño, sólo que la nota de la soprano sube más en el acorde central. Lo que sucede es que es un trozo muy corto, el acorde de tónica va al de dominante y éste resuelve volviendo al primero en la misma posición; y ahí se acaba lo que oímos.

Si el trozo fuera más largo, si hubiera más acordes todos bien enlazados y de repente apareciera una cosa así, le sonaría mal a casi todo el mundo; mal o un poco raro.

Matemáticamente es muy similar a esto:
Decidme si veis algo que os llame la atención en el siguiente conjunto, algo que os dé “un susto”:
{6,8,12}
La respuesta será no. Pero mirad éste otro conjunto:
{6,8,12,18,24,30,36,42,48}

Ahora sí, ahora nos preguntamos que qué rayos hace ahí ese ocho, que no es múltiplo de 6 como los otros.
Sin embargo, los tres primeros números son los mismos de antes.
Ocurre como cuando se habla en verso y se pierde la rima o cuando se habla en prosa y aparece un pareado; es más que nada por el contraste, es relativo. Por esto, las reglas de la armonía tienen bastantes excepciones.

De alguna manera estamos hablando de equilibrio, de unas ciertas simetrías sonoras (este tipo de simetrías no se ven como las geométricas ni son tan precisas a la hora de definirlas, pero existen).

En los acordes bien enlazados del ejemplo vemos como la nota más baja del acorde de en medio es el si, la sensible en el tono de DO. Está a un semitono de la tónica y tiene “obligación” de ir hacia ella.

De eso nace otra regla: “La sensible no se puede duplicar”. Aquí asoma tímidamente una cuestión de lógica formal (es una simpleza, pero veámosla):

 1º Si una nota se duplica tenemos una octava (o un intervalo armónico múltiplo de ocho).

2ª La sensible es un nota que resuelve obligatoriamente ascendiendo.

3º Así, si duplicamos la sensible, resultará una segunda octava por movimiento directo (paralelo en concreto) al resolver el acorde.

4ª Resolver dos octavas por movimiento directo está prohibido.

5ª Luego duplicar la sensible está prohibido.

En realidad esto reza para cualquier nota de resolución obligada (como el cuarto grado cuando aparece en un acorde de séptima de dominante, que debe bajar al tercer grado de la escala del tono). Pero la frase que se repite siempre es “no se puede duplicar la sensible”.
En cambio, las terceras y las sextas suenan muy bien si marchan en paralelo; es quizá la manera más usual de enlazarlas.

Aclaración geométrico-conceptual en spoiler:

Spoiler
El movimiento directo puede suponer dos tipos de marcha o caminos de las voces:
 
Es directo si las dos voces suben o las dos bajan pero una más que otra; y es directo también si suben o bajan ambas en paralelo.

Movimiento contrario:

Es contrario si una de las voces sube y la otra baja.

Movimiento oblicuo:

Se da cuando una voz sube o baja y otra ni sube ni baja (es decir, si marcha en paralelo al pentagrama).
 
Ésta es una de esas cosas que suelen quedar sin definir bien en los libros de música (al menos en los antiguos) Con frecuencia, simplemente, se  dibuja un pentagrama con unas notas y unas líneas y se dicen las palabras “directo” o indirecto”, y poco más.
Y lo entendemos porque somos muy “listos” (lo entendemos con la práctica) pero no a todo el mundo le tiene por qué quedar tan claro de primeras.   

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Armonicemos una sintonía

Sólo con los acordes tonales principales (los tonales básicos, de tónica, dominante y subdominante; y sus inversiones y alguna “versión” del acorde de 7ª de dominante) cualquiera puede armonizar de manera simple una melodía que se preste a ello.

Pondré un ejemplo tomando un motivo corto que me viene ahora a la cabeza, la sintonía de Eurovisión (que en realidad es el tema principal del Te Deum de Charpentier). Hago un arreglo armónico-contrapuntístico muy sencillo con dicha sintonía para mostrar algunas de las cosas que he ido diciendo.


Utilizo dos pentagramas en clave de sol, para que  sea más fácil de ver todo. Abajo, en granate, aparecen los nombres de los acordes. Las notas que dan nombre al acorde también las he puesto en granate.

Como se puede ver, he enlazado los acordes suavemente, procurando respetar las normas escolásticas; y sólo he usado los tres acordes tonales básicos (excepto con el de 5º, que he utilizado diferentes versiones tomando notas del de 7ª de dominante). Si nos fijamos en esos acordes, en la “superficie” que forman visualmente, es más “diferenciable” que la de la melodía (pensemos que se escriben con cierta separación para poder leerlos, pero el sonido va ligado).  La melodía tiene más saltos, más “picos”.

Al acabar el tema en Do (después de repetirse una vez) le escribo una modulación a SOL (tono cercano a DO) que dura sólo un compás; apenas se puede llamar “puente”. Debido a eso, la transición no es tan suave como podría ser, pero no molesta al oído. 
Y, a partir de ahí, se repite el tema ya en tono de SOL; el que era quinto grado ahora es el primero, la tónica.
En la modulación sí entran algunos elementos no explicados, dentro de que sean los acordes dichos.



En el primer acorde (do fa sol) el sol que aparece es lo que se llama un retardo; digamos que es una nota que ha “perdido el autobús”. Ya sonó en el acorde anterior (uno de Do que no se ve en la imagen) y lo suyo sería que resolviera en un la, pero lo va a hacer después, en el siguiente acorde (que sigue siendo el acorde de Fa) como se puede observar.
 (Este recurso ayuda a dar suavidad en la modulación al entrar alguna nota de forma más progresiva).

El tercer acorde está hecho con notas del de 7ª de dominante de SOL; es el acorde de Re, pues re es el quinto grado o dominante del tono de SOL (donde sol es el primero o tónica).

Dicho acorde, 7ª de dom., escrito en estado fundamental es (re, fa#, la, do). En este caso se podría decir que está escrito en su tercera inversión; pero no aparece el re, la fundamental del acorde. Se puede interpretar entonces como otro acorde con la misma función (pero es más cómodo entenderlo como digo).

Spoiler
Dimensiones

Una vez más, haciendo cierta analógica matemática, las voces son algo parecido a las dimensiones. Como estoy armonizando a tres, pues el acorde de 7ª dom, tal cual, no puede entrar, porque tiene cuatro. Entonces es como si tenemos este vector (15,23,z) y éste (15,23); son distintos porque uno es de \( \mathbb{R}^{3} \) y el otro de \( \mathbb{R}^{2} \), pero tienen dos coordenadas en común y eso me sirve para “pensarlos”.   
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El cuarto y último acorde es el mismo; pero el último va con lo que se llama una nota extraña (no se debe entender como un acorde prestado, es tonal). Es decir, las dos primeras notas (de abajo a arriba) son las mismas de antes (el sostenido anterior vale hasta que se acaba el compás) y la nota superior es un la sostenido colocado ahí a “capón”. Está a distancia mínima del si, nota en la que va a resolver después (el si del acorde de Sol).

Debido a que los acordes me quedarían muy bajos y sonarían muy graves (porque lo escribo en una tesitura muy corta al usar sólo clave de sol) en la parte que sigue, en SOL, le he compuesto un contracanto sencillo; es decir, ese segundo trozo va a dos voces nada más.

Intuición

Para escribir un contrapunto hay que basarse principalmente en la armonía que llevan las otra voces (solamente una en el ejemplo, la sintonía de Charpentier). En general se cuenta con una serie de recursos: notas de paso, apoyaturas, floreos, elisiones...

Bastante en general, son notas o grupos de notas extrañas a la armonía que se intercalan entre las notas de la melodía que sí pertenecen a los acordes. Suelen ocupar partes o fracciones débiles del compás; salvo en algunos casos, como ocurre con las apoyaturas (hablo de apoyatruas en sentido armónico, que están relacionadas con las melódicas, pero hay un matiz).

Sin embargo, no basta con eso. Podemos respetar todas las normas habidas y por haber, hacer que las voces suenen bien en conjunto y, sin embargo, no conseguir que dichas voces nos “canten”.
Y aquí voy otra vez con un símil matemático para intentar transmitir qué quiero decir:

1,2,7,23,11,21,13,3,12,22,17...

1,2,3,7,6,7,8,12,11,12,13,17...

A la primera sucesión... si alguien le encuentra una “estética” será por casualidad. La segunda, en cambio, sí conlleva un equilibrio o una simetría que he pensado yo: tres números consecutivos; el cuarto salta cuatro, otros tres seguidos, el que va después vuelve a saltar cuatro unidades respecto del anterior...

En los contrapuntos, normalmente, no puede haber simetrías exactas del todo, porque las voces se obligan unas a otras (entre reglas, armonías, entre que a veces no tienen sitio para moverse... no es fácil). Pero, por seguir con el ejemplo (que tampoco es del todo literal) si no puedes en un cierto sitio saltar cuatro, pues saltas tres, y si no puede haber tres juntas, pues pones dos.

Sobre todo, hay que atender a que cada voz diga algo, a que no sean “amorfas”.

Tomo mi propio ejemplo; para explicarme mejor al ser algo pensado por mí.


Fijaos en que el fa sostenido aparece cada cierta distancia; más o menos, no a la misma del todo, pero va intentando dejar huecos de una longitud parecida
Spoiler
Ahora que veo, en el sexto compás escribo un sostenido que no hace falta escribir, por culpa del programa ése, que es un lío, basta con el primero.
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 Y digo que “va intentando” porque yo no lo he hecho muy conscientemente; simplemente he pretendido que sonara a algo, a “canción”, para que no fuera como un “PI pO pan (silencio) PLIM pun tracatá” (He intentado eso y también que no “molestara” al tema principal, que dejara que se oyera la sintonía).
 
Cuando corto una frase, después de un silencio, procuro que la música siga hablado de lo que iba hablando.
La diferencia entre una voz que canta y otra que no, es más o menos la misma que ésta:

“Fui al taller... y estaba cerrado... volveré mañana”.
“Fui al taller... átate el cordón del zapato... tiempo lluvioso”.

Y, al ir intentado que la melodía cante algo, me han salido esas pausas a cierta distancia sobre el fa#; el fa# hace especialmente de punto de reposo en las frases.

¿Quién es el fa# aquí?, pues es la sensible (antes era el si, cuando estaba en DO, pero en SOL es el fa#). Y como sensible está obligada casi siempre a resolver subiendo al sol.
Así lo hago, la resuelvo.. Aunque veáis que, por ejemplo, en el segundo compás la siguiente al fa# sea un mi y no un sol, está correctamente resuelta.  Ocurre que ese mi es sólo un adorno melódico en realidad, una apoyatura corta, una acciacattura, armónicamente es como si no existiera, sólo hay un fa#.

Y ese recurso, ese “mifasol” que suena ahí más rápido que lo demás resolviendo así a la sensible, lo utilizo en ese sitio, un poquito después del principio, y también un poquito antes del final; guarda una medio simetría, con lo que ayuda a que la voz nos suene cantarina.

Pero es más intuitivo que analítico; o sea, estoy analizando a posteriori lo que he hecho con algo de intuición (atendiendo a ciertas reglas, eso sí).

Tanto es de esta manera, que me acabo de dar cuenta de que, en toda la melodía de Charpentier, no aparece en ningún momento la sensible y, seguramente, eso me ha llevado a darle tanta importancia a dicha nota en el contracanto; sin ser consciente de ello.

Spoiler
Acabo de ver en Youtube que el Te Deum éste está en RE mayor, no en Do. Y, oyéndolo, también veo que el autor no cambia de tono en ninguna reexposición del motivo; hace un tema A (la sintonía eurovisiva) y un tema B, los cuales repite varias veces de forma alternativa.
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Normalmente, cuando se enseña a poner un contrasujeto, siempre se dan las mismas normas: que se tomen trocitos del tema, que se transformen por movimiento contrario o usando movimiento cangrizante... usando aumentación, disminución, etc., para así, “pegándolos” después, hacerlos encajar con la armonía y confeccionar ese contracanto.
Es una construcción; no voy a decir en esta ocasión que es parecida a la de los números reales ni nada semejante, pero es una construcción que necesita un esfuerzo intelectual.
Y, siguiendo esa técnica, si se respetan las reglas de la armonía y el movimiento de las voces, pero sin atender a nada más, va a salir algo que va a sonar bien; pero con frecuencia va a quedar muy soso, pues es muy fácil que algunas voces resulten un mero “relleno” armónico que individualmente no dicen nada.

El contrapunto imitativo... Nunca mejor dicho, ahora que lo pienso, porque lo que se enseña en los conservatorios, en las clases de contrapunto y fuga, es a imitar a Bach, más que a imitar voces (y a nadie le sale igual, porque Bach hubo uno).
Pero es que, realmente, no se puede enseñar otra cosa, no es que no se quiera enseñar eso que falta; porque la intuición no se puede enseñar.

Ambas aspectos son necesarios. Un canon o una fuga no se escribe como las letras en un papel, de principio a fin; primero se piense en componer el motivo a trozos (que después se pegan) porque esos trozos hay que combinarlos, tienen que dar estrechos, ser “estrechables”,  porque las fugas se empiezan a componer por los estrechos, si no, no hay manera; y los estrechos son partes que suelen ir al final de la fuga.

Bueno, si sigo por ahí no acabo. El caso es que es pura construcción; es muy matemático y a la vez conlleva un, digamos, restringido libre albedrío.
Y claro que es necesario hacer eso, sin duda que sí: hay que dejarse los cuernos mirando a ver qué trozos escribir, cómo pegarlos, como encajarlos con el sujeto...  Pero eso no basta para que quede algo bonito o estético, ni mucho menos. La intuición no es optativa en música, es obligatoria.

     


Los otros acordes tonales y las funciones

Hablemos de los acordes tonales que faltan.
Hasta aquí hemos visto acordes de tres notas (de triada) formados por terceras (dejando una nota en medio; salvo alguna versión en la función de dominante). Ya se ha dicho que son los tres acordes principales, de 1º, 4º y 5º.
Los que vienen ahora se forman igual, pero sobre los grados que faltan de la escala, que son éstos:
2º supertónica
3º modal
6º melódica
7º sensible (o, en otro caso subtónica; cuando está a distancia de un tono de la tónica, como ocurre en la escala natural menor).
*(pero este último ya lo he usado antes como si fuera el de quinto, uniéndolos en “nombre”).

Más sobre el conjunto intersección de los acordes

Buscando la intersección con los acordes tonales principales tenemos que el de segundo grado en tono de DO mayor es Re menor: (2,4,6)=(re,la,fa).
 Vemos que tiene dos notas en común con el de 4º ó subdom., el conjunto intersección es {4,6}.
*(También tiene dos en común con el de 7ª dom., su función es algo intermedia, podríamos decir; combina bien en medio de los otros dos.
En cualquier caso, se considera función del 4ª)

El de 3º ó modal en el tono de ejemplo es (3,5,7)=(mi,sol,si); es el acorde de Mi menor, que tiene {3,5} en común con el acorde de tónica.   
*(Una vez más, también tiene {5,7} en común con el de 5º, pero, al entrar la modal... el carácter es más de primer grado).

El de sexto grado es La menor; o sea
\( (6,8,10)\equiv(6,1,3)=(la,do,mi)  \).
De nuevo encontramos dos notas en común con dos de los acordes principales: con el de 4º la intersección es {1,6} y con el de tónica es {1,3}. Se considera como función de 1º, de tónica.

Vemos que ahora hallamos acordes menores: son distintos en cuanto a que entre la primera y segunda nota del acorde (tónica y modal) la distancia es de tercera menor; o sea, en vez de dos tonos, tono y medio
 
Por otra parte, en el tono menor se usan principalmente tres versiones en cuanto a escalas; escala natural, escala armónica y escala melódica mixta; combinan la sensible o la subtónica, además de usarse el sexto grado aumentado (la escala natural, con todas las teclas blancas en el tono de LA, como ejemplo, se usa menos).

Esto hace que en la cadencia perfecta menor se utilice el acorde mayor de dominante; el mismo que antes, el del modo mayor (y también añadiendo séptima o no, como antes).


Cerradura

Símil matemático: Todos estos acordes, como los anteriores, los acordes tonales principales, cumplen la propiedad de cerradura respecto de su tono; sus notas pertenecen todas a las escalas del tono (considerando las tres versiones en las escalas del modo menor en caso de que sea un tono en modo menor).

¿Sirve para algo tener esto en cuenta en música o es un mero parecido sin importancia? Sirve, pues también, durante un pasaje en una cierta tonalidad pueden aparecer acordes prestados; acordes que pertenecen a tonos que tienen algunas notas que no aparecen en las escalas del tono que se esté usando en un cierto momento. Se llaman así cuando irrumpen como “condimento”, no son exactamente los acordes de transición que sirven para modular; aunque aquí caben criterios y análisis.


Progresiones

En música también hay progresiones sumamente parecidas a las matemáticas, dibujos melódicos que se repiten a distintas alturas, que van subiendo o bajando. Las repeticiones del modelo se llaman pasos.
Hay progresiones monotónicas y modulantes. Las modulantes pueden ser convergentes o divergentes; convergentes cuando acaban en el tono que empezaron y divergentes cuando llevan a otro tono.
Ni falta hace aquí mencionar nada sobre el símil; ya se lo imagina todo el mundo al leer las palabras “convergente” y “divergente”, tan relacionadas con el análisis matemático. 

Las progresiones armónicas son muy libres en cuanto a enlaces, se pueden hacer quintas directas, octavas directas... casi de todo; salvo en los enlaces entre los pasos (incluyendo el modelo).
Esto tiene que ver con algo que ya he dicho. Si un fragmento es largo y escrupuloso con las reglas y, de repente, se salta uno una “ley” aisladamente, pues el oído dice que qué pasa. Pero si un fragmento o trozo está lleno de quintas directas, octavas... esos “defectos” no contrastan, no dan sustos al oyente.

Sin embargo, en todos los ejemplos de los libros que tengo (en muchos, no en todos, me llevaría demasiado tiempo comprobarlo) los pedagogos apenas se saltan normas; quizá por no “pervertir” a los alumnos o quizá por lo que decía, porque al introducir un par de quintas u octavas paralelas aisladas no quedan bien por ese contraste.

Por ello, pondré un ejemplo mío de progresión armónica:   

Ejemplo de progresión


Me ha quedado muy rusa sin pretenderlo, toda romántica, con esa trompa que hace “pu puuuu” al final, como el silbido de un tren a lo lejos.
Qunqueiro, un escritor gallego, decía una cosa muy bonita: “toda la literatura rusa está atravesada por el pitido de un tren en la noche”. Pues con la música rusa pasa algo similar, esta salpicada de una nostalgia cinematográfica.

Aquí he llamado a los acordes por su nombre, no es el nombre de los acordes de las funciones en sí. Las violas aparecen en clave de DO en tercera porque el programa gratuito éste, al pedirle que me ponga dicho instrumento, pone esa clave automáticamente, ya que, es la suya, la de la viola. No obstante, es fácil de leer, se lee como la clave de sol pero una nota por encima; es decir, donde en clave de sol es un si aquí es la siguiente, do; y así con todas (yo soy torpe leyendo y no me supone un esfuerzo extra).

Creo que se distinguirá bien el modelo y los pasos; los tres compases del final cambian un poco, rompen la progresión para terminar.

Se trata de una progresión modulante, pero muy suave, de forma que se podría seguir en el tono principal, LA menor (se entiende que antes de la progresión iría una melodía en LA que ha hecho que nuestro ido se “afine” en ese tono).
 También se podría seguir en MI mayor afianzando un poco más este tono entrante antes de hacer aparecer un motivo melódico. Es decir, es casi convergente o, dicho de otra manera, diverge muy poco (haciendo otra vez un símil, podría ser parecida a una sucesión oscilante).

En cuanto a los acordes:
En el modelo uso:  La menor, Mi menor, Re menor, Do.
En el primer paso: Fa, Do, Si 5ª disminuida, La menor.
En el tercer paso: Re menor, Do, Sol# 5ª disminuida, Re# 7ª disminuida (si bien este paso no es “exacto” en el último compás).
Finalmente, ese último acorde, que tiene función de dominante de MI, resuelve en Mi, haciendo cadencia perfecta (bueno, cadencia perfecta “funcionalmente· hablando; casi siempre hablo funcionalmente, por mi forma de pensar las cosas, hay que tenerlo en cuenta).

En los últimos compases he puesto unos números romanos; quiere decir esto:

El “VII” que aparece sobre el acorde de Sol# de 5ª disminuida indica que sol# es el séptimo grado de la escala de la menor; pero alterado, es la sensible (se pone “+” para indicar eso; en el bajo barroco un “+” supone subir una nota un semitono, sin embargo, no me refiero al bajo barroco, sino al bajo cifrado “moderno”).

Pero este acorde no resuelve en la LA menor, hago una resolución excepcional y se va al acorde de Re# séptima disminuida.

El re# supone el cuarto grado del tono de LA, pero descendido un semitono.
Y, en fin, eso es lo que  indico con el “IV#” que aparece en el paréntesis después *(hay una errata, he puesto un “VI”, pero es es un cuatro). 

Al lado y dentro del paréntesis también, sobre el mismo acorde, aparece un “V”. Está diciendo que ése es el grado respecto del tono de salida, que es MI; es un acorde con función de dominante respecto del tono en que termina (tiene doble función; según se mire).

Fijaos que he escrito la sensible Re # en la trompa, la cual resuelve subiendo al mi, como debe ser; con el resto de las voces forma el acorde de Mi mayor.

En ese momento ya está en el tono de MI (en modo mayor). Pero, a la vez, si siguiera y repitiera la frase desde el principio, éste serviría de acorde de dominante de LA menor, con lo cual también tiene una doble función según se vea de dónde viene o hacia a dónde va.

Las tonalidades a modo de bases vectoriales

A qué se parece esto, ¿no es cierto que recuerda un poco a un cambio de base en un espacio vectorial? Los acordes dependen de unas “bases” que son las tonalidades; según eso son una cosa u otra, por sí solos no son nada en concreto; si bien el tono de DO se toma un poco como una base canónica, la elección se antoja muchísimo más arbitraria que en matemáticas. 

Quizá alguno esté pensando que lo que hago es una comparación forzada que yo me invento.
Pues no tanto; mirad este ejemplo tomado de un libro, por poner sólo uno:



Spoiler
Fijaos en el principio del segundo compás: arriba pone I VI entre un símbolo de “perpendicular” pero invertido, empaquetando el acorde con esos dos números.
Es un acorde da La menor, donde la es el primer grado (grado de donde viene, porque empieza en La menor) es el grado I según el tono.

Pero después, más adelante, modula a DO (porque acto seguido hace un acorde de Re menor (función de 4º de DO) y después viene Sol, V de DO, o sea, dominante de DO, y resuelve finalmente en el de Do; cadencia perfecta.
Ahí ya está en DO, no en LA menor; y, luego, ya puede quedarse o irse).

Así que ese acorde es el de grado I en el tono de salida, LA menor, y el de el de grado VI en el de llegada, DO (porque la nota la es la sexta de la escala de DO).

Un lío, ya lo sé, y después dicen de los matemáticos.
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Una progresión de Bach

Podéis escuchar sólo el el trozo hasta donde me paro; después repito otra vez la progresión y sigo hasta el final (así podéis ubicar dónde está el fragmento por si queréis oír el Aria de Bach en versión original y buscarlo).


En este caso la he grabado yo mismo al piano porque era pesado escribirla en el programa usando cuatro pentagramas al no tener la vista muy bien (el piano éste es verdaderamente malo en cuanto a teclado, pero para el ejemplo sirve).

Las claves no se ven, pero son, de arriba a abajo, las que siguen:
fa en cuarta; do en tercera , y las dos de arriba son de sol.

Los acordes ya veis los que son; digo a partir del modelo hasta que acaba el último paso de la progresión, los que he escrito (el que no los “vea”, que me crea que son ésos).
Entran por cada negra y son los siguientes:

Re (acorde del tono principal que va a hacer de dominante...)
Sol (acorde en que resuelve el anterior)
Mi 7 (dominante de LA)
LA (resolución del anterior)
Fa# 7 (dominante de Si)
Si (dominante de Mi)
Mi menor.

Y ahí termina la progresión para seguir con otra cosa.

Si tomáis las fundamentales de los acordes (re, sol, mi, la, fa#, si, mi) veréis que van así; sube cuarta justa, baja tercera menor...

No es un círculo de quintas en cuanto a la modulación; las usa, sí, pero de forma mixta, con esos saltos de tercera menor descendente.

Es Bach, se puede decir muchísimo más sobre los contrapuntos y los recursos melódicos... pero esto se alargaría.

El tiempo sí importa en música.

En música la cuestión del tiempo supone unos conjuntos más, con elementos como las negras... las corcheas... Con ellos se pueden crear ritmos, que son elementos compuestos, patrones hechos con figuras musicales de una cierta duración (redondas… semigarrapateas).

Los ritmos se distribuyen a su vez en una cantidad de compases que no tiene por qué ser entera. En un compás de 4/4 (que no es una fracción) el 4 de arriba representa el número de partes que tiene y el de abajo el número que dura la parte (4, que es una negra).
Pero un ritmo se puede repetir cada compás y medio, por ejemplo.

(Como todos sabréis, los compases vienen dados en la partitura por esas rayitas verticales que van dividiendo el pentagrama regularmente mientras encierran las notas).

Los compases pueden ser binarios o ternarios (y, a la vez, de subdivisión binaria o ternaria) y en ellos se distinguen partes fuertes y débiles. El de 4/4 tiene cuatro partes que van así; fuerte, débil, fuerte, débil (en los binarios las partes se suceden alternadamente). En los ternarios, en cambio, van así; fuerte, débil, débil, fuerte...

Y esto último es fundamental en la armonía para evitar un defecto muy importante.

Ejemplo de síncopa armónica

La síncopa armónica es algo que suena raro aunque a veces puede pasara desapercibida.


En este caso el ejemplo está en FA mayor.
Podemos oír algo raro especialmente donde marco esos acordes de Fa en rojo. Uno entra en parte débil y, después, en el siguiente compás y acto seguido, el mismo acorde en parte fuerte; otro acorde de Fa.

La síncopa armónica (no confundir con la melódica) no se define de forma completa en ningún sitio, los músicos aprenden a no hacerla a base de oficio. En esto la música no se parece tanto a la matemática, pues sus definiciones no son siempre tan rigurosas.
Voy a explicar en que consiste este defecto:

Si un acorde acaba de entrar en parte débil, procediendo de otro acorde distinto (en cuanto a función tonal) que va situado en parte fuerte, no se debe prolongar ni repetir el mismo acorde en la siguiente parte fuerte (si fuera fuerte).

En el ejemplo que he confeccionado (en los siguientes compases después de la síncopa armónica) al final podéis ver un acorde ya correcto; ahí lo que procede es un acorde de Do (con esa función, de dominante) que resuelva en Fa como primer acorde del siguiente compás.
*(se me ha olvidado poner el acorde de Fa en el último compás, en el vídeo, donde pone “etc”).

Si  un acorde entra en parte fuerte, sigue en la siguiente parte débil (ese mismo acorde) y sigue después en la siguiente fuerte, eso no es síncopa armónica; es cuando un acorde “nuevo” (donde es muy importante considerar la función tonal) entra en la parte débil y se prolonga a la fuerte.

Si alguna vez se armoniza una melodía y suena algo raro sin que se vea ningún error aparente... es probable que haya por ahí una síncopa armónica.

Matemáticamente se puede mostrar como algo así:

2,3,8,7,2,15,24,3,4,21,53

Todos van “par, impar, par...” menos los dos últimos, que son impares y rompen esa simetría.

Subsucesiones

También hay algo parecido, sí; pero explicaré en qué términos.

Si una melodía se sucede acompañada de una cierta sucesión de acordes, por ejemplo (1,3,5); (4,6,8); (5,7,9) podemos entresacar notas de éstos para formar otra melodía; por ejemplo 1,6,7 (o más notas de alguno). Las notas de esta melodía tendrán que entrar según correspondan a los acordes.

Aquí pongo un ejemplo mío donde también utilizado la melodía de la Vaca lechera; y, además, la del reloj del Big Ben.

 
En verde vemos la melodía del Big Ben y abajo la de la Vaca lechera en negro; acompañada con un bajo Alberti.
La del Big Ben no está completa, al final le faltan dos notas porque la armonía me obliga a no ponerlas.
Pero acto seguido se repite el tema del reloj (sólo las cuatro primeras notas) por disminución; esto es, acortando el tiempo de cada nota: al principio del todo entra en blancas y, después, aparece en negras (en corcheas con silencio en realidad, pero con duración de negra en cuanto a partes). El dibujo melódico es igual, sólo que dura la mitad (cuando es al revés, esta transformación musical se llama aumentación).

Después, al final, en el último compás, hay una coda marcada con sus notas en azul  (blancas en cuanto a duración). Esa coda aparece antes, también por disminución, en una voz intermedia del piano. Mirando el vídeo y escuchando al mismo tiempo lo podréis distinguir perfectamente.

Son como melodías escondidas, subsucesiones musicales.


El acorde más simétrico de todos.
Propongo un problema matemático (y musical)


No sé ahora cuándo descubrí este pequeño secreto. No sé si fue cuando empecé a toquetear el piano o tiempo después cuando me aprendí de memoria la Fantasía cromática y fuga (a día de hoy se me ha olvidado la fuga ya no toco ni la mitad de la fantasía, pero ha dejado su sedimento).

Realmente esto que voy a decir puede ser “novedoso” con el enfoque que le doy; no lo he visto explicar así.
Seguramente Bach conocía este “secreto”; no hay más que ver su música.

Voy a poner un problema con un enunciado matemático primero y después con un enunciado musical.

1º Enunciado matemático:

Consideremos los enteros y todos los conjuntos de cuatro elementos que se pueden formar de esta manera: {n, n+3, n+6, n+9}.
Son infinitos, pero ahora quedémonos sólo con los enteros módulo 12. Así, mucho conjuntos son los mismos y los quitamos, ¿Cuantos conjuntos quedan?

2º Enunciado musical:

Tengamos en cuenta el teclado del piano y tomemos cualquier nota a partir de la cual podemos formar un acorde de 7º disminuida. Consideremos que un acorde es el mismo independientemente de inversiones y tesituras; y tampoco tengamos en cuenta las enarmonías.
 ¿Cuantos acordes de 7ª disminuida distintos hay según lo dicho?

Respuesta matemática

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Yo no sé demasiado de teoría de grupos y lo hago ver por la cuenta de la vieja.
Tomo el conjunto {0,3,6,9} y sumo 1 a cada elemento; luego, al conjunto resultante, le hago lo mismo, sumo 1 a cada elemento... Y así voy formando conjuntos de elementos correlativos hasta que veo que se van repitiendo dichos conjuntos de tres en tres. En definitiva, se observa que hay  \( \dfrac{12}{4}=3 \); la simetría es bastante obvia. Por tanto, sólo hay tres conjuntos distintos.
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Respuesta musical:

Spoiler
Basta hacer una serie cromática de estos acordes y observar cuándo empiezan a repetirse. Si se cuentan, sólo hay tres diferentes a partir de lo indicado.

*Serie en música no quiere decir suma, normalmente se refiere a una sucesión de acordes o notas; por ejemplo, por “serie de sextas” se entiende una sucesión de acordes “corrientes” de triada en primera inversión
[cerrar]

Sin embargo, si consideramos los acordes mayores (de triada) hay 12 distintos; y otros 12 menores; en total 24.

Yo no me atrevo a demostrar matemáticamente esto porque quizá haga una chapuza, pero es así seguro. Lo sé por la música, sé que es así porque es así. Sin ponerme a intentarlo con números no sé si puedo explicarlo demasiado bien.
Voy a dar unos datos guía para quién quiera o pueda demostrarlo matemáticamente.

A partir de lo anterior:
Los acordes mayores son conjuntos que se forman de este manera:
{n, n+4, n+7}.
Y los acordes menores son así
{n, n+3, n+7}.

¿Podría estar equivocado pese a llevar casi toda mi vida sabiendo esto, podrían no ser 24 distintos? Me rompería los esquemas; a mí y seguramente a cualquier músico.
 
Quizá echando mano de que hay 7 teclas blancas y 5 negras, que son números coprimos con 12, podría intentar una demostración (sin cuenta de la vieja, digo) pero en este hilo no quiero meter la pata (en música es distinto, también me puedo equivocar al decir algo, pero sé por dónde piso).

Spoiler
Si alguno de los habituales ve este hilo aunque sea por encima y me lo quiere confirmar, lo agradezco; porque pese a mi seguridad en ello, tengo curiosidad sobre cómo es mejor razonarlo. 
Y también, en ese caso y si lo creéis conveniente, podéis abrir un hilo de comentarios aparte, dado que yo no sé si el post va a aguantar tanto peso (lo mismo no puedo ni subirlo cuando vaya a hacerlo).
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El acorde de 7ª disminuida más famoso de la historia



Creo que es el más famoso, el que reconocería todo el mundo aun sin saber qué acorde es: el que aparece al principio de la Tocata BWV 565.

En el vídeo he puesto unos teclados indicando qué notas se van dando a partir de dónde está la flecha.

Empieza con una nota pedal de tónica (pentagrama de abajo del todo) y, sobre ella, monta poco a poco el acorde de 7ª disminuida; va dando nota por nota y sujetándolas hasta que se forma el acorde entero con ese estruendo tan característico en el inicio de la obra, después de esos semitrinos con las escalas descendentes.

Duplica en la mano derecha las dos primeras notas del acorde: do# y mi.

El acorde en concreto es (do#, mi, sol, sib); el de 7ª disminuida sobre do#, que es la sensible de RE (el tono de la obra es RE menor).

Tal y como está indicado en los tecladitos con los que acompaño la partitura en el vídeo, dicho acorde resuelve haciendo subir la sensible, do#, a re (o sea, a la tónica, como está mandado) y bajando por movimiento contrario la nota del extremo, sib, a la.

El mi resuelve en la octava de arriba en re, mientras que “desaparece” en mano izquierda (o al revés, no se puede determinar eso. Y, por cierto, los dos “mis”, la octava que forman, marcha en paralelo hacia la octava de los “res”; y no pasa nada, cosas así, sobre todo en los instrumentos de tecla, se hacen mil veces. Las reglas para un compositor son orientativas, los músicos saben cuándo se las pueden saltar en aras de una mayor belleza musical (en esto tampoco se parece tanto la musica a las matemáticas, donde no se puede decir “mira qué bonito me ha quedado esto: 7+3=[1,5,8]”; al menos no se puede decir en un contexto normal).

Pero el sol, que debería resolver bajando a fa natural para formar el acorde de Re menor, no se mueve, su sonido queda retardado. Es un retardo, a ese acorde ya se le puede llamar Re. Sin embargo, como no ha resuelto, aún no tiene modal, y no se puede asegurar si es mayor o menor (pese a que el tono sea RE menor, no sabemos qué va a pasar).

Después de cierto artificio melódico que ahora explicaré, dicho sol resuelve en fa# en vez de en fa natural, haciendo el acorde de Re mayor; lo que se llama una tercera de Picardía, la tercera (re, fa#) en este caso.

Spoiler
La tercera de Picardía supone una cadencia que tiene su origen en una región de Francia llamada así, y es un clásico que siempre adviertan alguien: “no piensen que esto es porque uno diga 'qué pícaro soy, que he acabado con una tercera mayor viniendo de una tonalidad en modo menor...' ”.
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Sin embargo, antes de irse a ese fa#, vemos que da un salto de tercera a un mi para, después ya sí, subir al fa#. Este tipo de nota no es de paso ni tampoco es un floreo ni es una apoyatura, se llama elisión: es una nota extraña que salta y regresa a donde debe haciendo un movimiento de segunda (o viceversa, primero hace el movimiento de segunda y después salta).

En este caso, Bach, al llegar al acorde mayor, no lo usa para modular introduciendo un tema en RE mayor, va a seguir después en RE menor, directamente.

El acorde de 7ª disminuida es quizá el más versátil de todos. Al haber sólo “tres distintos” les toca compartir con muchos tonos y eso permite muchos enlaces, muchas modulaciones, progresiones, series...

Finale
 
Podría seguir hablando más de música y, si supiera más matemáticas, seguramente podría encontrar más símiles. De hecho, creo que aún puedo encontrarlos, pero también quiero acabar; entramos en julio, tiempo libre para algunos posibles lectores; y creo que es un buen momento.

3
Un vídeo interesante que me mandaron anoche.


4
Foro general / Lista de paradojas.
« en: 12 Mayo, 2021, 11:03 pm »
Ésta es una lista de paradojas que viene en Wikipedia; no están todas las que son... pero están algunas.

https://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:Paradojas_matem%C3%A1ticas

5
Sean dos racionales positivos t,k; t>k. Ambos se pueden expresar por medio de fracciones que tengan un mismo denominador (por equivalencia). Entonces, supongamos

\( 1=t^{3}-k^{3}
  \)

\( 1=\dfrac{c^{3}}{a^{3}}-\dfrac{b^{3}}{a^{3}}
  \)

\( a^{3}=c^{3}-b^{3}
  \), \( a^{3}+b^{3}=c^{3}
  \).

Parece que “k” y “t” no pueden ser ambos racionales; parece que no pueden existir los cubos de dos racionales positivos a distancia de una unidad.

Pero si a WolframAlpha le doy \( 1=t^{3}-k^{3}
  \) y le digo que “t” es un racional, me dice que k también; o eso interpreto:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%3Dt%5E3-k%5E3%2C+t+is+a+rational+number

No sé si es que lo interpreto mal, si la máquina no se da cuenta o si he considerado mal algo previamente.

Saludos.

6
Python tiene una librería que se llama matplotlib que sirve para graficar.

Un ejemplo corto para graficar unos puntos unidos por una recta puede ser éste:

plt.plot(A, B, 'ro')
plt.plot(A, B )
plt.axis([0, 3, 0, 2])
plt.show()

donde A y B son listas de números, por ejemplo A=[1,2,0] y B=[3,1,5], lo que sea; y A pueden ser, por ejemplo, las coordenadas del X y B las del eje Y.
La primera sentencia tiene un “ro” que hace que “pinte” los puntos, la segunda es igual pero sin el parámetro “ro” y dibuja los segmentos entre los puntos.

La cuestión sobre la que quiero preguntar está en el tercer comando

plt.axis([0, 3, 0, 2]) sobre el que he leído algo pero no estoy seguro de cómo funciona.

Si, por caso, donde el 3 pongo un 6,  el eje X queda dividido en enteros, 1,2,3.. pero si dejo el tres, tal como está ahí, divide sus coordenadas por la mitad 0,5; 1; 1,5... Y, en cualquiera de los casos, el origen queda en (0,0). Supongo que son los ceros salteados... pero no estoy seguro del todo.
Si alguien me puede confirmar cómo va la cosa se lo agradezco.

Saludos.

7
Off-topic / El invierno; Vivaldi.
« en: 23 Febrero, 2021, 11:07 am »

Magnífica interpretación que no desmerece respecto de la versión orquestal.


8
Teoría de números / Demostración falsa a modo de pasatiempo.
« en: 06 Febrero, 2021, 05:52 pm »

Teorema: Si la conjetura de Goldbach fuera falsa, entonces lo sería para una cantidad infinita de pares distintos.

Consideremos

1º \( \exists2n-2k=p_{i}+p_{j}
  \) para naturales \( n>1
  \), \( k>0
  \) hasta cierto “k”, y \( p_{i},p_{j}
  \).

2º \( \nexists2n=p_{i}+p_{j}
  \) para \( p_{i},p_{j}
  \) primos.

Es decir, 2n sería el par más pequeño que, hipotéticamente, dejaría de cumplirla; digamos el primero en fallar.

Entonces

\( \exists2n=p_{i}+c
  \), con “c” compuesto y \( p_{i}
  \) primo; y tomemos ambos coprimos con 2n.

Ahora, siempre existe \( c=x-q
  \) con “x” algún par y “q” algún primo.

Veamos cualquier caso: por ejemplo, si c=25, basta sumarle 3 y tenemos x=28; si le sumamos 5 tenemos x=30, etc,... y así para todos los primos encontramos infinitos equis tal que la diferencia dicha es igual a “c”.

Reescribamos entonces la igualdad \( 2n=p_{i}+c
  \) sutituyendo por lo dicho:

\( 2n=p_{i}+(x-q)
  \).

Por 2º tenemos que \( (x-q)
  \) no puede ser primo; es decir, no existe \( x=c+q
  \) con “c” primo.

Luego “x” es un par que tampoco cumple la conjetura.

Conclusión:

Como \( 2n \) es el primero que deja de cumplir la conjetura en hipótesis, es fácil ver que existirían infinitos pares x, tales que \( x>2n
  \), que tampoco la cumplirían.

¿Dónde está el error?

9
Teoría de Conjuntos / Pregunta sobre cardinales y cifras.
« en: 17 Enero, 2021, 08:24 am »

Empiezo primero dando una definicion para sugerir un poco la idea de lo que voy a preguntar.

Un número natural de \( n+1 \) cifras, sea cual sea, tiene un valor cuantitativo mayor que un número natural de \( n \) cifras (e igualmente tiene un valor mayor que cualquier número con menos de \( n \) cifras, como es obvio).

A partir de aquí, uno se puede preguntar lo siguiente: ¿se considera en matemáticas la existencia de un objeto (a modo de número) con un cardinal de cifras que sea \( 2^{\aleph_{0}}
  \)? Si fuera así, ¿tiene alguna utilidad (en cuanto a hacer demostraciones u otras cosas prácticas) considerar los distintos cardinales infinitos de cifras?

Saludos.

10
Foro general / Blancas juegan y ganan (1)
« en: 14 Enero, 2021, 07:48 pm »


*(ya más tarde pondré el vídeo con la solución, por si alguien lo quiere resolver)

...

12
Off-topic / Un poco de música por Navidad
« en: 25 Diciembre, 2020, 11:40 pm »


Este es un coro de El Mesias de Händel que me gusta mucho; y la versión es buenísima.



13


Supongamos que existen \( x,y,z \) enteros todos distintos de cero y “a” algún número real tales que

\( (x+a)^{5}+(y+a)^{5}=(z+a)^{5}
  \)

WolframAlpha nos da las soluciones enteras posibles

\( {\color{blue}x=-a};\: z=y
  \)

\( {\color{blue}y=-a};\: z=x
  \)

\( y=-2a-x;\:{\color{blue}z=-a}
  \)

de ahí, entonces

\( x=-a\vee y=-a\vee z=-a
  \)

Al ser x,y,z números distintos de cero, la solución para “a” tampoco puede ser cero en ninguno de los tres casos, por lo que no puede existir

\( (x+0)^{5}+(y+0)^{5}=(z+0)^{5}=
  \)

\( (x)^{5}+(y)^{5}=(z)^{5}
  \)

No tiene mérito ninguno, pero esto demuestra el caso y de igual manera se puede hacer para “n=3” u otros casos. ¿Es correcta la deducción?

De cualquier modo, lo que más me interesa saber es qué tipo de cálculos usa la máquina para obtener las soluciones enteras de esa ecuación diofántica tan complicada.

Gracias.

14
Teoría de números / 2ª Conjetura sin palabras
« en: 10 Octubre, 2020, 06:42 pm »

\( \mathbb{P}\equiv\{2,3,5,7,11...\}
  \)

\( a\in A\subset\mathbb{P}:\,(a-1)-\varphi(a-1)=(a+1)-\varphi(a+1)
  \).

\( card(A)=3;\, A\equiv\{7,13,19\}
  \)


Spoiler

\( n\in\mathbb{N}
  \)

\( p\in\mathbb{P};\, p_{1},p_{2},...,p_{i}=2,3,5,7,11...
  \)

\( \dfrac{n}{p_{i}}\in\mathbb{N}\Rightarrow p_{i}=p_{i}(n)
  \)

\( \forall p_{i}(n):\,{\color{blue}\varphi(n)=n\cdot\prod(1-\dfrac{1}{p_{i}(n)})}
  \)

............

\( n=12=2\cdot2\cdot3\Rightarrow
  \)

\( p_{1}(n)=2;\, p_{2}(n)=3
  \)

\( \varphi(n)={\color{blue}\varphi(12)=12\cdot(1-\dfrac{1}{2})\cdot(1-\dfrac{1}{3})}=4
  \)

[cerrar]

15
Teoría de números / Conjetura sin palabras
« en: 06 Octubre, 2020, 04:09 pm »
\( \mathbb{P}^{+}\equiv\{2,3,5,7,11,13,17...\}
  \)

\( p,a,b\in\mathbb{P}^{+}:
  \)

\( p>5
  \)

\( a=3+2p
  \)

\( b=\dfrac{a+1}{6}
  \).

Spoiler

\( (p+a+b)=\dfrac{10p+11}{3}
  \)

[cerrar]

\( (p+a+b)\equiv7\,(mod\,10)\forall\{p,a,b\}
  \)

16
Foro general / Covid y gráficas.
« en: 23 Agosto, 2020, 12:26 pm »
En la página ourworldindata.org tenemos la posibilidad de hacer comparativas, entre distintos países del mundo, tomando las gráficas de los países que elijamos. Aquí os pongo una captura de pantalla que hice anoche con datos de hasta el 22 de agosto.



Éste es el apartado de la web donde se mira la curva de los casos diarios; positivos.

Como se ve, especialmente en el mes de agosto, la gráfica de España llama poderosamente la atención por sus bruscas subidas y bajadas (de una cantidad de positivos registrados, se pasa en dos o tres días a la mitad o al doble o a otras proporciones muy grandes, subiendo y bajando esperpénticamente con unos dientes de sierra exagerados, cosa que no pasa, como veis, en los demás países circundantes ni en otros un poco más lejanos; yo he elegido algunos medio al azar, pero se puede poner los que uno quiera).

Creo que esto sólo puede ser debido a que la cantidad de tests que se hacen no es constante, unos días se hacen bastantes más que otros. Solamente esto podría justificar (aunque quizá haya algún factor más que influya) que se hallan hecho tres pruebas de seroprevalencia en distintos periodos y, todas las veces, el porcentaje de población con anticuerpos haya sido del 5 por ciento (5%, 5.3% y creo que en otro 5,2%). Es decir, a tenor de los tests de anticuerpos, la contagiosidad parece que es mucho más constante de lo que aparenta esa gráfica.

Es claro que si en una población de 300 personas hay 15 positivos, por ejemplo, y si un día se hacen 100 tests y salen 5 positivos y, al día siguiente, se hacen 200 tests y salen 10 positivos, esto no indica que haya crecido el contagio comunitario; el crecimiento es cero, hay los mismos que el día anterior; es decir, la gráfica (en  este caso ideal) sería una recta. Por tanto, a la hora de valorar cómo asciende o desciende el contagio habrá que tener en cuenta esto, para “descontarlo” del crecimiento si lo hubiera y para así informar correctamente; pero da la sensación de que no se está haciendo así, a tenor del alarmismo que se percibe en políticos y medios de comunicación.

Comenté esto a una amiga mía médico (que dirige un equipo de trabajo que hace protocolos covid y cosas así) y estuvo de acuerdo conmigo en este punto; pero me da la sensación de que los políticos, tanto nacionales como regionales, no hacen caso del todo a los médicos y científicos que tienen a su cargo (en una situación tremendamente seria, no sólo por una cuestión de salud sino también por una cuestión económica).

(*perdonad que cuente este rollo en el foro, pero es que cuando hablo de esto en Facebook, por ejemplo, al gente no me entiende o no me cree, porque las televisiones y la mayoría de los medios dan un visión distorsionada debido a esto).

También me confirmó que (al menos en España) los ingresos se cuentan por positivos independientemente de que los pacientes puedan ingresar por hipertensión u otra cosa;  sin necesidad de tener síntomas típicos, como tos, cambio de sabores... es decir, sin atender a la “clínica”, que llaman los médicos. Añadió que la PCR es orientativa y no una prueba diagnóstica; sin embargo, también me dijo que para tratar a los enfermos sí se tenía en cuenta la clínica; si el enfermo padece una dolencia que no tiene nada que ver con los síntomas del covid ni neumonía ni nada así, se la trata como tal, pero si ese enfermo da positivo, se contabiliza como ingresado por covid. Esto, como es lógico, hace que aparezca un incremento ficticio de las hospitalizaciones en distintos centros respecto de otros años; como podéis ver en estas noticias:

https://www.libertaddigital.com/ciencia-tecnologia/salud/2020-08-13/hospital-mas-ingresos-covid-madrid-desmiente-situacion-como-marzo-1276662506/

https://www.redaccionmedica.com/secciones/sanidad-hoy/covid-19-las-ccaa-aumentan-un-9-su-capacidad-de-pcr-en-la-ultima-semana-7344

https://www.rtve.es/alacarta/videos/la-manana/doctor-benido-coronavirus-manana/5646142/


También me comentó ella que, aunque la PCR tiene un porcentaje de un 30% de falsos positivos (también de falsos negativos) es muy útil para prevenir [ella es preventivista de especialidad; su idea es que más vale aislar sanos por error que dejar de aislar posibles enfermos]. Pero, en cuanto al porcentaje de falsos positivos de la PCR, he encontrado un estudio de médicos chinos publicado en el National Center for Biotechnology Information, que es parte de la Biblioteca Nacional de Medicina de Estados Unidos, y que dice que como mínimo podrían estar en torno al 50%

https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/32133832/

Así pues, el alarmismo parece exagerado (hablo de España). Una muestra más de ello es este mensaje que el presidente de Hospitales de Madrid envió el otro día al móvil de varios médicos.



Añado este vídeo donde se hace el análisis; es muy interesante el vídeo entero, pero lo pongo a partir del minuto que está relacionado con el tema


17
Temas de Física / Gravedad y constante de Hooke
« en: 07 Febrero, 2020, 07:31 pm »
 

 ???


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Teoría de números / Módulo de amalgama
« en: 02 Febrero, 2020, 04:34 pm »
Introducción en spoiler

Spoiler

Esto no es necesario leerlo, pero quiero contar cuál ha sido la motivación porque psicológicamente me parece algo curioso.

Como veo bastantes vídeos de música, Youtube me hace recomendaciones, y el caso es que ayer acabé viendo varias cosas sobre palos flamencos (es decir, sobre los distintos ritmos y formas de esta música). Nunca he sido aficionado al flamenco, pero me fijé especialmente en uno en el que se explicaba cómo dar palmas para acompañar las bulerías.

De forma estándar (por lo que vi también en otras páginas sobre esto) este palo se escribe en compás de 12/8 ó 6/8 (el 8 quiere decir “corchea”, es lo que dura cada una de las 6 ó 12 partes, no es una fracción al uso matemático). Por lo visto, se suele enseñar contando diez tiempos separados así
1,2,3;  4,5,6;  7,8,9,10
pero ésta no es la métrica real, sino que se ajusta por las sílabas de las palabras que se usan y el toniquete que se les da (y además es ciertamente subjetivo) dando lugar a que mucha gente, en la práctica, no sepa aplicar la teoría de forma efectiva y pierda el ritmo (por lo que también oí),

Se escribe en 12/8 ó a veces en 6/8, decía, que son compases de subdivisión ternaria (con tres golpes de esta manera: fuerte, débil, débil) sin embargo, en el vídeo al que me refería (muy bien explicado de forma práctica por un guitarrista profesional) me di cuenta de que en realidad no se entendía así, sino que era como un 6/8 interpretado con subdivisión binaria, 1,2; 1,2; 1,2 (fuerte, débil; fuerte, débil; fuerte, débil-silencio) donde el último “2” es un silencio en las palmas que el palmero ejecuta con el pie.

La cuestión es tan sencilla como decir que podemos sumar 6 así 3+3 ó así 2+2+2, entendiendo la suma módulo 2 o módulo 3; donde, en música, los “restos” que siguen al “cero” se interpretan débiles; y el cero es la única parte (o fracción de parte según los casos) fuerte. Pero nadie, en música clásica o música corriente, digamos, interpreta un 6/8 como seis corcheas entendidas así, 2+2+2, sino que se entienden como si fueran dos tresillos de corcheas en un 2/4, así 3+3 (de hecho, ya al escribir, habitualmente, las plicas se unen con los corchetes de 3 en 3, no de 2 en 2). Los compases compuestos (que son los de 6, 9 ó 12 partes)  son siempre de subdivisión ternaria por definición. Digo “por definición” porque es así, no por contagio matemático, ya que, para los de 9 no queda más remedio, pero para los otros hay dos opciones y sólo se maneja una; por definición.

Lo que sí existe en la escritura musical corriente son los llamados compases de amalgama. Esto consiste en hacer, por ejemplo, un compás de dos partes, después uno de tres, y así sucesivamente alterándolos; y lo mismo con otro tipo de compases combinados, no sólo con éstos en particular. De este modo es como se conseguiría escribir correctamente ese ritmo de las bulerías sin alterar la definición que menciono.

(Yo lo escribiría como un 4/4 seguido de un 2/4 a tenor de cómo lo oigo; y poniendo un aire ligero, porque las bulerías son movidas, no lentas. Sumando las partes, se podría escribir entonces así 6/4 (seis negras, 4 quiere decir “negra”) par indicar la amalgama, similarmente a cómo se hace con el del zorcico y otros compases de este estilo,  pero quizá habría que especificar cómo se marcan esas subdivisiones y sería preferible hacerlo con dos fracciones una detrás de otra; porque “6” nos dice “compás compuesto” y entonces se entiende ternario por definición. Sólo son compases simples los que tienen en el “numerador” un 2 ó un 3 ó un 4 (se considera así, aunque el 4 no sea primo).

Bueno, y a lo que voy. Entonces, recordé que, hace dos días o así, tres a lo más, observé una ley matemática que proyecté publicar en el foro (un “descubrimiento” de los míos programando con Python) pero al final me pareció que no iba a servir para nada útil; y por eso no publiqué al final y se me olvidó esto.

Y ahora he pensado que se parece muchísimo a una “amalgama modular” haciendo la comparación dicha (ahí está lo curioso psicológicamente, que cuando se me ocurrió no pensé en nada de compases ni música y, sin embargo, es casi literalmente lo que se puede llamar un módulo de amalgama.
Y, total, a los dos días -o día y medio- veo esos vídeos que me hacen darme cuenta de esto).

Tomamos dos números naturales distintos “a” y “b” con a<b y vamos escribiendo los múltiplos consecutivos de uno y otro de forma que obtengamos una sucesión de valores crecientes. Después, consideramos la sucesión de las diferencias empezando desde la distancia que guarda el primero con el segundo, luego, el segundo con el tercero...
Normalmente, nos apoyamos en los ceros respecto de un cierto módulo “a” haciendo “a, 2a, 3a, 4a...”; pues en este caso hacemos lo mismo, pero amalgamando  dos números; donde, claro, los factores ya no van a ser en todos los casos 1,2,3,4...
[cerrar]


Sea un número natural no primo \( ab \) con \( a<b \) .

Consideremos la sucesión alternada y creciente de los múltiplos de “a” y de “b” consecutivos; por ejemplo, si tomamos \( 15=3\cdot5
  \), sería así

\( 3,5,6,10,12...
  \).

Pero hemos de tomar en concreto sólo \( 2a+1 \) términos, y, por otra parte, han de ser “a,b” impares o uno par y otro impar.
En el caso del ejemplo, como a=3, tendremos siete términos:

\( 3,5,6,10,12,15,18
  \).

Ahora consideremos la sucesión de las diferencias o distancias entre los términos de izquierda a derecha; 5-3; 6-5, etc. Tendremos:

\( D=2,1,4,2,3,3
  \) (aquí había bailado los dos primeros números)

 (para que aparezca el 1 es necesario que sean ambos impares o de distinta paridad).

Observamos que la suma de los términos es precisamente \( ab
  \), en el ejemplo, 15.

Por otra parte más, si se siguen considerando múltiplos más allá de la cantidad \( 2a+1 \), la secuencia de las distancias entre estos números consecutivos se repite periódicamente.

Ahora, la sucesión “D” de las distancias tiene \( 2a \) términos, los cuales podemos separar en dos trozos de “a” términos ordenándolos así

\( D=1,2,3;2,3,4
  \).

de tal forma que si sumamos los términos del primer trozo se corresponde con la progresión aritmética \( \dfrac{a(a+1)}{2}
  \) y la del segundo trozo se corresponde con la suma \( (b-a)+((b-a)+1)+((b-a)+2)...
  \) una cantidad “a” de veces (esto es lo mismo que decir \( a(b-a)
  \) más la progresión aritmética de 1 hasta “a-1”, o sea, \( \dfrac{(a-1)(a-1+1)}{2}=\dfrac{(a-1)a}{2}
  \)).

Ordenados de esta última manera es sencillo demostrar a partir de ahí que, en general, la suma de las distancias da como resultado \( ab \):

\( \dfrac{a(a+1)}{2}+a(b-a)+\dfrac{(a-1)a}{2}=ab
  \)

(y operando se llega fácilmente a la identidad ab=ab; lo que todavía no he demostrado bien del todo es que siempre se pueden ordenar de esta manera, pero se comprueba que funciona haciendo un programa; y no será muy difícil de demostrar, supongo).

Esto se observa para cualesquiera a,b con las condiciones detalladas.

Los únicos números con los que no se podrá llegar a lo dicho (de la manera explicada) es con los productos de la forma \( ab=2^{n}
  \), porque no aparece el 1 de forma natural en las distancias, pero en los casos en que exista algún factor impar, siempre podremos factorizar el producto “ab” como producto de un par por un impar (pues aunque cambiemos los “a,b” originales, el número será el mismo).






19
Teorema de Fermat / UTF N=3; esbozo de ataque.
« en: 10 Diciembre, 2019, 12:55 pm »
Introducción

Aquí va descrito el esbozo de lo que van a ser los elementos del intento (que aún no sé en qué acabará). En otras respuestas iré desarrollando (si algún fermatero quiere usarlo y lo demuestra antes de que yo acabe, estupendo también; es más, me gustaría, porque yo no sé si voy a tener cabeza para no perderme con algo tan denso).

Como en algunas novelas policíacas, empiezo haciendo una lista de los personajes que van a intervenir; los nombres se usarán a lo largo del intento, así que es importante para quien quiera seguir o utilizar esto (en todo caso las letras son enteros).

Elementos a utilizar

Igualdad 1º \( x^{3}+y^{3}=z^{3}
  \) (coprimos)

Igualdad 2º \( x^{3}+y^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=(a+c)^{3}
  \).

Consideraciones sobre los elementos:

\( x=\overset{\bullet}{3}
  \) (x, en hipótesis, será múltiplo de 3).

\( x=(a+b):x\: impar\,\Rightarrow
  \) Hagamos “a” par y “b” impar.

Estas condiciones implican:

\( a=3k_{1}+1;\quad b=3k_{2}+2
  \).

Spoiler

(o bien con los restos al contrario, pero lo elijo así como primera condición a analizar)

[cerrar]

Entonces

\( k_{1}=2t_{1}+1
  \).

Spoiler

(pues \( k_{1}
  \) ha de ser necesariamente impar para que “a” sea par).

[cerrar]

Análogamente, por similar razón, al ser “b” impar tendremos:

\( k_{2}=2t_{2}+1
  \).

Por otra parte

\( z=a+c
  \) par; Implica “c” par:

\( c=2t_{3}
  \)

\( z=a+c\Rightarrow
  \)

\( z=3k_{1}+1+2t_{3}=
  \)

\( z=3(2t_{1}+1)+1+2t_{3}=
  \)

\( z=6t_{1}+4+2t_{3}
  \)

\( z=2(3t_{1}+2+t_{3})
  \)

Además, como “z” ha de ser coprimo con 3 para que la igualdad 1º conlleve una terna primitiva, tendremos:

\( 2+t_{3}=3m+r_{1};\quad r_{1}=1\vee2
  \).

Por tanto, será bueno usar esta expresión que sigue para analizar los casos posibles:

\( z=2(3t_{1}+3m+r_{1})
  \).

Y como despejando \( 2+t_{3}=3m+r_{1}
  \), tenemos \( 2=3m+r_{1}-t_{3}
  \), quizá podrá ser útil también sustituir y analizar la expresión

\( z=(3m+r_{1}-t_{3})(3t_{1}+3m+r_{1})=
  \)

Desarrollando con Wolfram

\( z=9m^{2}+6mr_{1}+9mt_{1}-3mt_{3}+3r_{1}t_{1}-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}-3t_{1}t_{3}
  \)

Donde \( -r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}
  \) no puede ser múltiplo de 3.

Si Ahora, agrupamos todos los \( \overset{\bullet}{3}
  \) de ese polinomio “z” y elevamos al cubo, el resto de \( z^{3}
  \) es

\( (-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2})^{3}=-r_{1}^{3}t_{3}^{3}+r_{1}^{6}
  \).

Que tampoco puede ser múltiplo de 3, por la misma razón.

...

Consideremos \( r_{1}=1
  \), entonces \( -t_{3}+1\equiv2\,(mod\,3)
  \) y \( t_{3}\equiv2\,(mod\,3)
  \).

Spoiler

Veamos, Tenemos \( r_{1}=1
  \)

Con \( -t_{3}+1
  \) ocurre:

Más arriba teníamos \( 2+t_{3}=3m+r_{1};\quad r_{1}=1\vee2
  \); y aquí probamos con 1. Entonces

\( t_{3}=3m+r_{1}-2
  \)

\( t_{3}=3m+1-2
  \)

\( t_{3}=3m-1
  \)

Lo que implica

\( t_{3}\equiv2\,(mod\,3)
  \)

En negativo sera de la forma \( -t_{3}=-3n-2
  \), con lo que

\( -t_{3}+1=-3n-1
  \) implica igualmente

\( -t_{3}+1\equiv2\,(mod\,3)
  \)

[cerrar]

Probando la expresión elevada al cubo, como era esperable, no hay ninguna contradicción en el resto de “z”; puede ser \( r_1=1 \). Del mismo modo, uno sospecha que tampoco nada se opondrá a que puede ser igual 2 (lo dejo sin probar por ahora).

Se analiza todo un poco, se ve claramente que necesitamos obtener o valorar la paridad de \( t_{3}
  \) para intentar encontrar una posible contradicción (lo dejo de momento, porque me da la impresión de que puede ser un poco pesado; quien quiera, ahí lo tiene).

...

Añadamos seguidamente una tercera igualdad a tener en cuenta, la que usa empieza usando Euler para demostrar este caso n=3:

Igualdad 3º

\( x^{3}+y^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=
  \)

\( a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=
  \)

\( 2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
  \).

Haciendo distintos cambios de variable con los elementos descritos, quizá se pueda ver esa paridad y alguna más; y, con suerte, quizá se pueda demostrar que si x es múltiplo de 3, entonces pasa algo contradictorio.

No olvidemos, por otra parte, que podemos contar con el pequeño teorema de Fermat e incluso podría ser útil más en general la función phi de Euler, pese a que en principio sólo consideremos potencias de 3.

...

Conclusión sobre este esbozo para atacar el problema

Da la impresión de que hay suficientes elementos como para que se delate el absurdo. A fin de cuentas, se están expresando los números como sumas o restas de otros, considerando restos, relaciones... Uno piensa que, si con los complejos (que son igualmente números expresados por sumas) se puede llegar a un contradicción, tendría que poderse llegar también con un artificio más o menos paralelo usando reales.

Si uno eleva al cubo el polinomio \( z=9m^{2}+6mr_{1}+9mt_{1}-3mt_{3}+3r_{1}t_{1}-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}-3t_{1}t_{3}
  \) con todos sus términos (y no sólo con el resto como he hecho) aparecen coeficientes muy grandes que, además de ser múltiplos de 3, lo son de otros números; con lo que quizá se puede investigar parcialmente la factorización de “z” y considerar la divisibilidad según otros módulos.

Claro que profundizar en todo eso va a ser un trabajo de chinos; para los pacientes y a la vez menos despistados. La demostración en reales podría ser muchísimo más larga que las demostraciones tradicionales usando enteros gaussianos; pero sí que da la impresión de que puede existir.

A fin de cuentas, no se trata de encontrar una demostración más corta o sencilla, sino una demostración mediante métodos elementales de teoría de números (aritmética modular y divisibilidad en general... todo menos teoría analítica y usar el grupo Zi); lo cual no implica que tenga que ser más fácil ni más corta. Quede claro, entonces, que el reto que se propone no pretende encontrar una demostración más simple ni tampoco necesariamente más fácil de comprender. Yo lo he intentado alguna vez y no lo he conseguido; pero porque me despisto y no tengo cabeza de "ajedrecista", quizá alguien sí pueda.

(espero no haberme equivocado en lo que he analizado)


20
Foro general / Razonamiento sobre una desigualdad
« en: 17 Noviembre, 2019, 07:03 pm »

Vamos a ver de qué manera me equivoco hoy.

Supongamos

\( a,b,c\in\mathbb{N}
  \)

\( a^{3}+b^{3}=c^{3}\Rightarrow
  \)

Entonces

\( a^{3}+(b+1)^{3}=c^{3}+k;\; k\in\mathbb{N}^{+}
   \)

Desarrollando el cubo

\( {\color{blue}a^{3}+b^{3}}+3b^{2}+3b+1={\color{blue}c^{3}}+k
  \)

Se cancela lo azul y queda

\( {\color{magenta}3b^{2}+3b+1-k=0}
  \)

Ahora:

raíz positiva de “b”

\( b=\dfrac{-3+\sqrt{9-12(1-k)}}{6}
  \)

\( 6b+3=\sqrt{9-12(1-k)} \)
 

Condición del discriminante:

\( 12(1-k)\leq9
  \)

\( 4(1-k)\leq3
  \)

\( 4-4k\leq3
  \)

\( -4k\leq-1
  \)

\( 4k\geq1
 ; k\geq\dfrac{1}{4}\Rightarrow
  \)

\( k=\dfrac{1}{4}+t;\; t\in\mathbb{Q}^{+}-\{\mathbb{N}\}
  \)

Entonces

\( 3b^{2}+3b+1-(\dfrac{1}{4}+t)=0
  \)

Multiplicando por 4

\( 12b^{2}+12b+4-1-4t=0
  \)

\( 12b^{2}+12b+3-4t=0
  \)

De donde “4t” tiene que ser entero múltiplo de 3.

Hagamos pues

\( {\color{blue}t=3\dfrac{m}{n}};\,\,4t=12\dfrac{m}{n}
   \)

Ahora, de la anterior ecuación, sustituyendo

\( 12b^{2}+12b+3-12\dfrac{m}{n}=0
  \)

dividiendo entre 12

\( b^{2}+b+\dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{n}=0
  \)

\( b^{2}+b=\dfrac{m}{n}-\dfrac{1}{4}
  \)

\( 4nb^{2}+4nb=4m-n
  \)

donde “n” es múltiplo de 4; es par.

Sea n=4p.

Así

\( {\color{blue}t=\dfrac{3m}{4p}}
   \)

Como 4t es entero, entonces \( {\color{blue}4t=\dfrac{3m}{p}}
   \) es entero.

Si p=3, entonces “m” es par. Si \( p|m
  \) también tiene que ser par pues el quebrado es igual a 4t. Luego “m” es par.

Al ser “n” y m” pares, existe una fracción equivalente \( \dfrac{m'}{n'}=\dfrac{m}{n}
  \) con \( m^{\prime}<m
  \) y \( n^{\prime}<n
  \) tal que, por descenso al infinito, \( \dfrac{m}{n}
  \) es irracional.

Por ello, como \( {\color{blue}t=3\dfrac{m}{n}}
   \), entonces \( \dfrac{t}{3}
   \) es irracional.

Volviendo aquí \( 3b^{2}+3b+1-(\dfrac{1}{4}+t)=0
  \) y diviendo entre 3

\( b^{2}+b+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}-\dfrac{t}{3}=0
  \)

\( b^{2}+b+\dfrac{1}{4}=\dfrac{t}{3}
  \) es irracional.

Pero si “b” es entero, \( b^{2}-b+\dfrac{1}{4}
   \) es un racional con una mantisa de sólo dos cifras y no puede ser, por lo que “b” no es entero.

Por tanto

\( a,b,c\in\mathbb{N\Rightarrow}
  \)

\( a^{3}+b^{3}\neq c^{3}
  \).

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