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Mensajes - martiniano

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Diría que si aplicas de nuevo Cauchy-Schwarz a los vectores \[ (\sqrt[ ]{ab}, \sqrt[ ]{ac}, \sqrt[ ]{bc})  \] y \[ (\sqrt[ ]{xy}, \sqrt[ ]{xz}, \sqrt[ ]{yz})  \] te sale.

Pero ahí tendrías la desigualdad opuesta a la que necesitas, ¿no?.

Cierto. Me he liado.

Gracias, y saludos.

2
Hola.

Hola buenas, estoy haciendo un ejercicio en el que me piden demostrar que dados \( a, b, c, x, y, z >0 \) con \( x+y+z=1 \),probar que:
\( ax+by+cz+2\sqrt{(xy+xz+yz)(ab+ac+bc)} \leq a+b+c \).

Planteando los vectores \( \vec{u} =(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})  \) y \( \vec{v} =(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z})  \) he conseguido llegar aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a que:
 \( ax+by+cz+2(\sqrt{axby}+\sqrt{axcz}+\sqrt{bycz}) \leq a+b+c \) pero no consigo ver cómo aplicar esto para concluir lo que me piden demostrar. Gracias de antemano.

Diría que si aplicas de nuevo Cauchy-Schwarz a los vectores \[ (\sqrt[ ]{ab}, \sqrt[ ]{ac}, \sqrt[ ]{bc})  \] y \[ (\sqrt[ ]{xy}, \sqrt[ ]{xz}, \sqrt[ ]{yz})  \] te sale.

Un saludo.

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Geometría y Topología / Re: [BLOQUEADO] Resultantes y nullstellensatz
« en: 24 Septiembre, 2022, 11:48 pm »
Hola marinavzqz.

Si no me equivoco ya has abierto un hilo para hablar de esto. Abriendo hilos idénticos en varias secciones no se consiguen más respuestas, así que voy a bloquear éste para evitar conversaciones en paralelo y que nos hagamos un lío.

Un saludo.

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Propuestos por todos / Re: Magia con cartas
« en: 22 Septiembre, 2022, 09:34 am »
Hola.

Esto es lo que yo había pensado:

Spoiler
Con las 4 cartas que deja el primer concursante se pueden realizar \( 4!=24 \) permutaciones diferentes que se pueden numerar del 1 al 24.

Supongamos que las 52 cartas están numeradas del 1 al 52 y llamemos \[ a,b,c,d,e \] los números ordenados de las cinco cartas que ha recibido al azar el primer jugador. Se tiene que \[ a\leq{d-3} \]. Entonces ahora el primer jugador debe distinguir dos casos:

1) \[ d+24\geq{e} \].

Entonces el primer jugador se queda con la carta \[ e \], calcula \[ e-d \] y deja en la mesa la permutación de las cartas \[ a,b,c,d \] que corresponde con ese con ese número.

2) \[ d+25\leq{e} \]

Entonces el primer jugador se queda con la carta \[ a \] calcula \[ 52-e+a \] y deja en la mesa la permutación de las cartas \[ b,c,d,e \] que corresponde con ese con ese número. Esto siempre podrá hacerse porque \[ 52-e+a\geq{}52-52+a\geq{1} \] y \[ 52-e+a\leq{}52-e+d-3\leq{}52-e+e-25-3=24 \]

El segundo jugador identifica el número correspondiente a la permutación de las cartas que se encuentra sobre la mesa y se la suma a la mayor de las cartas que se ha encontrado. En caso de que el número obtenido es menor o igual que 52 pues esa es la carta que se ha guardado su compañero. En caso contrario le resta 52 y ya la tiene.
[cerrar]

Dado que \[ 124+1=5!+5 \] se tiene el número de variaciones de 124 cartas cogidas de 4 en 4 coincide con el número de combinaciones de 124 cartas cogidas de 5 en 5. Conjeturo que el truco se puede hacer con una baraja de 124 cartas.

Saludos.

PD. Luis se adelantó.

5
Hola.

Mi pregunta es por qué la primera puede pesar unos 2 MB y la otra unos 150 KB, si el tamaño es el mismo. ¿Por qué no pesan lo mismo, si ambos se almacenan con la misma cantidad de unos y ceros? En uno habrá muchos más 0 que 1, pero da igual, si la cantidad ocupada en memoria es la misma, ¿no?

No pesan lo mismo porque una de las imágenes tiene mucha más información que la otra. La cantidad de bytes (unos y ceros) que necesitarás para almacenar cada una de las imágenes depende del formato en el que estén pero, en general, no coincidirán, aunque ambas estén en el mismo formato.

¿Qué otros factores determinan el peso?

Más que el tamaño, el factor decisivo a la hora de decidir cuánta memoria es necesaria para almacenar un archivo, sea del tipo que sea, es la cantidad de información que contiene.

Por ejemplo, si quiero almacenar una imagen 100x100 completamente en blanco me basta almacenar la línea que acabo de escribir para poder reproducirla sea dónde sea. La cantidad de información que contiene es ínfima. En cambio una fotografía real de un paisaje, con sus detalles y esas cosas no la voy a poder describir con exactitud utilizando sólo unos pocos bytes.

¿Cómo se puede relacionar esto con la matemática?

La rama de la matemática que se encarga de estudiar estas cosas es la utilizada en teoría de la información, disciplina que se encarga entre otras cosas de medir la cantidad de información presente en un mensaje.

¿Tiene que ver con conjuntos densos?

No soy capaz de ver ninguna relación, la verdad.

Saludos.

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Autómatas y lenguajes formales / Re: Automata finito determinista
« en: 21 Septiembre, 2022, 07:28 am »
Hola.

Se puede construir directamente el AFD, en realidad es bastante inmediato. Si no te sale de primeras puedes construir un AFN que reconozca el lenguaje concatenando dos AFD y a partir de él construir el AFD equivalente. ¿Conoces el método para pasar de un AFN a un AFD? ¿Y el de concatenar dos AFD?

Intenta concretar al máximo tus dudas. Será más sencillo ayudarte y obtendrás respuestas más adaptadas a tus necesidades.

Un saludo.

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Autómatas y lenguajes formales / Re: Automata finito determinista
« en: 20 Septiembre, 2022, 09:05 pm »
Hola.

¿Has estudiado los procedimientos para hallar la intersección y la unión de dos AFD?

Es muy probable que tengas que hacerlo con eso.

Un saludo.

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Cálculo 1 variable / Re: Iteraciones densas
« en: 20 Septiembre, 2022, 11:50 am »
Hola.

Para los impares tampoco. Teniendo en cuenta que \( f\circ f \) siempre será un polinomio con coeficiente principal positivo, a partir de un cierto valor de \( x \) será estrictamente creciente, con lo que la sucesión de interantes diverge y no puede ser densa en todo \( \Bbb R \).

Disculpa Luis pero no entiendo esto. Si no voy mal, que la función sea creciente no garantiza que la sucesión obtenida diverja. Por elemplo, si tomas \[ f(x) =\sqrt[ ]{x} \], que es creciente en su dominio obtienes una sucesión que tiende a cero si tomas \[ p=0 \] y a uno en otro caso. Además, para que la sucesión sea densa necesitas que diverja, ¿no?

¿Es posible que estés pensando en algo parecido a esto?

Para polinomios de grado mayor que uno con coeficiente de mayor grado positivo podemos utilizar que existe \[ M\in{\mathbb{R}} \] tal que para todo \[ x>M \] es \[ f(x) >x \] y por inducción \[ f^n(x) >x \].

Ahora supongamos que \[ \{f(p),..., f^k(p),... \}  \] es denso en \[ \mathbb{R} \], entonces existe un mínimo \[ m\in{\mathbb{N}} \] tal que \[ f^m(p) >M \]. Pero para todo \[ n>m \] será \[ f^n(p) >f^m(p)  \] por lo que no habrá ningún elemento del conjunto en el intérvalo \[ (M, f^m(p) )  \] y esto es contradictorio.

Para polinomios con coeficiente de mayor grado negativo es muy parecido.

Un saludo.

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Cálculo 1 variable / Re: Iteraciones densas
« en: 20 Septiembre, 2022, 11:22 am »
Hola.

Para polinomios de grado mayor que uno con coeficiente de mayor grado positivo podemos utilizar que existe \[ M\in{\mathbb{R}} \] tal que para todo \[ x>M \] es \[ f(x) >x \] y por inducción \[ f^n(x) >x \].

Ahora supongamos que \[ \{f(p),..., f^k(p),... \}  \] es denso en \[ \mathbb{R} \], entonces existe un mínimo \[ m\in{\mathbb{N}} \] tal que \[ f^m(p) >M \]. Pero para todo \[ n>m \] será \[ f^n(p) >f^m(p)  \] por lo que no habrá ningún elemento del conjunto en el intérvalo \[ (M, f^m(p) )  \] y esto es contradictorio.

Para polinomios con coeficiente de mayor grado negativo es muy parecido.

Si algo no ha quedado claro insiste por aquí. Si lo entiendes bien puedes intentar el caso de polinomios de grado 1, seguro que ahora te sale.

Un saludo.

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Cálculo 1 variable / Re: Iteraciones densas
« en: 19 Septiembre, 2022, 11:29 pm »
Hola.

Interesante problema.

Ahora, tenía una idea para la pregunta 1 pero no sé si servirá. Esta es de considerar el conjunto de iteraciones como una sucesión {\( f^k(p) \)} y si esta es convergente o divergente llegar a concluir de que el conjunto es o no denso.

En efecto, si la sucesión es convergente puedes deducir que el conjunto no es denso. De hecho basta con que la sucesión esté acotada superior o inferormente. Y eso te sirve para demostrar que los polinomios de grado par no se propagan en ningún punto al tener todos ellos mínimo o máximo. Pero el recíproco es falso, por ejemplo la función dada por \[ f(x) =2x \] genera en \[ p=2 \] la sucesión de las potencias de 2, que es divergente pero no es ni mucho menos densa en \[ \mathbb{R} \].

Una cosilla sobre el 3. No existen funciones que se propaguen en un solo punto. Si a un conjunto denso en \[ \mathbb{R} \] le quitas un elemento el conjunto sigue siendo denso en \[ \mathbb{R} \], por lo que si \[ \{f(p), f^2(p),...,f^k(p),...\} \] fuera denso también lo sería \[ \{f^2(p),...,f^k(p),...\} \] y \[ f \] se propagaría en \[ f(p) \neq p \].

No es mucho pero de momento no tengo nada más.

Un saludo.

11
Hola.

Si no he entendido mal se trata de encontrar una partición de \[  \mathbb{N} \] en infinitos subconjuntos y todos ellos infinitos.

Se puede hacer de muchas otras maneras. Por ejemplo definiendo \[ A_k \] como el conjunto de todos los naturales divisibles por \[  2^{k-1} \] pero no por \[ 2^{k} \]. El cero se puede meter en cualquiera de ellos.

La base de la potencia puede ser cualquiera, por ejemplo también se puede definir \[ A_k \] como el conjunto de todos los naturales divisibles por \[  3^{k-1} \] pero no por \[ 3^{k} \], etc.

Otra forma sería definir \[ A_k \] como el conjunto de todos los naturales que son divisibles por exactamente \[ k \] primos diferentes y meter el 0 y el 1 en cualquiera de ellos.

Etc.

Un saludo.

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Álgebra / Re: "Atajo" En Factorizacion L.U
« en: 09 Septiembre, 2022, 05:16 am »
Hola.

Esto es por ejemplo en este caso, si tendría 4 matrices elementales (ya que eran dos transformaciones en 1, las que coloque arriba) no podria usar este "atajo"? ya que necesito 3 coeficientes y si tengo 4 matrices elementales necesariamente tendré 4

Sí. Sí que se puede utilizar. Cambias de signo los coeficientes y construyes \[ L \]. Lo que tienes que utilizar el coeficiente de la transformación de Luis. Quedaría así:

\[ L=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{2}&{1}&{0}\\{-1}&{\displaystyle\frac{1}{2}}&{1}\end{bmatrix} \]

Saludos.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Conjuntos, subgrupo
« en: 29 Agosto, 2022, 06:01 pm »
Hola.

Tienes una errata en el enunciado. Debe de ser \[ xHx^{-1} \]. No sé si eso te ha líado. Tienes que probar estas tres cosas:

1) La operación del grupo es interna en \[ xHx^{-1} \]. Para ello tendrás que utilizar que lo es en \[ H \] porque es subgrupo.

2) El elemento neutro está en \[ xHx^{-1} \]. Para ello utiliza que está en \[ H \] por ser subgrupo.

3) El inverso de \[ xax^{-1}\in{xHx^{-1}} \] está en \[ xHx^{-1} \]. Concretamente es \[ xa^{-1}x^{-1} \].

Es todo bastante directo. Si algo no te sale concreta tus dudas.

Un saludo.

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Hola.

Sí, es lo que dice feriva. El problema lo adapté de uno de aquí (fase nacional, año 2003, problema 6).

Podéis ver tanto el enunciado como la solución oficial. Es cierto, que no aparece el principio del palomar. Es un ejemplo de cómo puede cambiar una respuesta modificando un poco las condiciones del enunciado.

Un saludo.

15
Hola.

No se puede demostrar en este caso, o en nunca, mi pregunta es esa, ver como seria en un caso que funcione.

Es que no está muy claro a lo que te refieres con lo de "sólo en este caso o nunca". Estos problemas dan juego a cambiar las condiciones de manera muy leve y que la solución cambie radicalmente.

He recordado un enunciado que se puede adaptar haciéndolo parecido al que nos ocupa, a ver si te sirve.

Magnus Carlsen se está preparando para un torneo que tendrá lugar dentro de 40 días. De esos 40 días va a entrenar sólo 20. Demuestra que lo haga como lo haga va a haber 20 días seguidos en los que va a entrenar exactamente diez de ellos.

Un saludo.

16
Hola.

El problema acá es que, si me encuentro con un ejercicio muy similar, con un numero dado de dias consecutivos, como se podría ver usando esta idea? o no se podría :(. En fin, yo quiero ver que entre un numero de dias consecutivos dado funcione, no entre un dia j+1 y i, capaz no se pueda

¿A qué idea te refieres? ¿A lo de demostrar que se cumple, pero para cinco días consecutivos? Pues no. No se puede demostrar. La contundente razón por la que no se puede demostrar es porque la proposición es falsa. Y lo que demuestra que la proporción es falsa es la existencia de contraejemplos como el que dio feriva.

En general ten cuidado con lo de las "recetas" a la hora de resolver problemas. Especialmente en combinatoria, ya que enunciados muy parecidos salvo matices a priori inofensivos pueden demandar respuestas muy diferentes.

Un saludo.

17
Hola.

Llevando esta idea al ejercicio del ajedrecista, como podría llevarlo a que sean 5 dias y no desde el dia j hasta el dia i? (ya se que me diste un ejemplo de porque no se puede, pero con esta idea me refiero)

La cosa es que al imponer la condición adicional de que sean cinco los días consecutivos se está siendo más restrictivo que al no imponerla. De hecho, esa condición es lo suficientemente restrictiva como para que ya no se cumpla el enunciado, como demuestra el contraejemplo que dio feriva.

Tienes un esquema así 1+1+1+1+1+1...+1; hasta 30 días y veces. Y, por ejemplo, si metes las 15 veces que faltan en el primer día, sería esto 16+1+1+1+1+1...+1; y no hay 5 días consecutivos en los que estudie 14 veces exactamente.

Porque aparentemente funciona si decimos "varios días consecutivos" y no 5, quiero verlo usando esta idea

Es que es muy diferente demostrar que es cierto que algo se cumple para todas las combinaciones que puedan darse que demostrar que es falso que algo se cumple para todas las combinaciones que puedan darse.

Para demostrar lo primero tienes que hacerlo con toda generalidad dentro de las condiciones impuestas. Para demostrar lo segundo basta que halles una sola combinación en la que falle el enunciado. A esa combinación se le llama contraejemplo y es lo que da feriva.

Obviamente, si se cumple lo segundo es imposible que se cumpla lo primero y por lo tanto va a ser imposible demostrarlo. Igualmente, si se cumple lo primero va a ser imposible encontrar un contraejemplo.

Un saludo.

18
Hola.

Si \[ f \] es isometría entonces para todos \[ x, y\in{\mathbb{R}} \] es \[ |x-y|=|f(x) -f(y)| \]

En particular, tomando \[ y=0 \] es:

\[ |f(x) - f(0)|=|x| \]

De donde, para todo \[ x\in{\mathbb{R}} \], o bien es \[ f(x) =x+f(0) \] o bien \[ f(x) =-x+f(0) \].

Ahora supón que existe \[ x_1 \] que cumple la primera relación y \[ x_2 \] que cumple la segunda. Entonces:

\[ |x_1-x_2|=|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1+f(0)-(-x_2+f(0))|=|x_1+x_2| \].

De donde uno de los dos es cero y por tanto también cumple la relación del otro.

Un saludo.

19
Hola.

Una posible solución completa vendría de aquí:

Si \[ d \] es el máximo común divisor de los dos números entonces éstos son \[ d\cdot{x} \] y \[ d\cdot{y} \] con \[ x, y \] coprimos, y el mínimo común múltiplo de los números \[ d\cdot{x\cdot{y}} \].

Con esto las condiciones del enunciado son:

\[ d\cdot{(x+y)}=364\;\;\;(1)  \]
\[ d\cdot{(xy+1)}=1196\;\;\;(2)  \]

De donde \[ d \] es divisor de \[ 364 \] y de \[ 1196 \], luego también de \[  MCD(364,1196)=52=2^2\cdot{13} \]. Esto reduce los posibles valores de \[ d \] a: \[ \{1,2,4,13,26,52\} \].

Después de esto, las ecuaciones (1) y (2) pueden escribirse así:

\[ x+y=\displaystyle\frac{364}{d} \]

\[ xy=\displaystyle\frac{1196}{d}-1 \]

De donde \[ x, y \] son soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado en \[ t \]:

\[ t^2-  \displaystyle\frac{364}{d}\cdot{t}  +\displaystyle\frac{1196}{d}-1=0\;\;(3) \]

Para que esta ecuación tenga soluciones enteras su discriminante \[ \left(\displaystyle\frac{364}{d}\right)^2-4\cdot{\left(\displaystyle\frac{1196}{d}-1\right)} \] debe ser un cuadrado perfecto. Y aquí probando con los posibles valores de \[ d \] el único que cumple es \[ d=26 \].

Substituyendo este valor en (3) y resolviendo la ecuación se obtienen \[ x \] e \[ y \].

Un saludo.

20
Triángulos / Re: Semejanza de Triángulos
« en: 22 Agosto, 2022, 10:26 pm »
Hola.

Hola.

Sobre tu dibujo considera la simetría con respecto al punto medio de \[ BC \] de manera que:

\[ MN+RS=MN+NR'=AB+BD'=AB+CD \].

Donde \[ X' \] indica el simétrico del punto \[ X \].

Un saludo.


Lo intenté así ... ¿sería correcto?

Trazando la base media de ZW del trapecio ABCD tendremos:

\( WZ =r= \frac{4+13}{2}=\frac{17}{2}\\
pero~WZ=base~media~RMNS\implies r = \frac{p+q}{2} \therefore p+q=2.\frac{17}{2}=\boxed{17} \)



Sí. Creo que viene a ser lo mismo que decía.

Un saludo.

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