3. INDEPENDENCIA DE LOS AXIOMAS DE ESPACIO MÉTRICO.3.1. Independencia de los Axiomas de Diagonal Nula y de Distancia Nula.El
Axioma A5, de
Distancia Nula,
cuando se cumple junto al
Axioma A4, de
diagonal nula,
sirve para distinguir elementos del conjunto \(X\).
ya que en tal caso \(d(x,y) \neq 0\) si, y sólo si \(x\neq y\).
Si sabemos que vale A4, entonces \(d(x,y)\neq 0\) implica que \(x\neq y\).
Sin embargo, no podemos saber si \(x\neq y\) cuando \(d(x,y) = 0\).
Un ejemplo de esta situación es el siguiente:
\(X=\{a,b\}\); \(d:X\times X\mapsto \mathbb R\):
\(d(a,a) = d(b,b) = d(a,b) = 0\).
En este caso valen todos los
Axiomas de Espacio Métrico, excepto
A5.
Si sabemos que vale
A5, entonces \(x\neq y\) implica que \(d(x,y)\neq 0\).
Sin embargo, no podemos saber si \(d(x,y) \neq 0\) cuando \(x=y\).
Un ejemplo sería el siguiente:
\(X=\{a\}\); \(d:X\times X\mapsto \mathbb R\):
\(d(a,a) = 1\).
En este caso valen todos los
Axiomas de Espacio Métrico, excepto el
A4.
Sigamos especulando con las posibilidades,
y mostremos un caso en el que valen todos los
Axiomas de Espacio Métrico,
excepto el
A4 y el
A5:
\(X=\{a,b\}\); \(d:X\times X\mapsto\mathbb R\):
\(d(a,a) = d(b,b) = 1\);
\(d(a,b) = d(b,a) = 2\).
Analizando los distintos casos, apreciamos que valen
A6 y
A6 bis.
También ocurre lo propio con
A6 inverso y
A6 Inverso bis.
Finalmente, mostramos un caso trivial con la virtud de cumplir al mismo tiempo
A4 y
A5, junto con todos los demás Axiomas:
\(X=\{a\}\); \(d:X\times X\mapsto \mathbb R\): \(d(a,a) = 0\).
Así que podemos apreciar que los Axiomas
A4 y
A5 son independientes entre sí, y de los demás Axiomas.
_________________________
3.2. Independencia del Axioma de Simetría.Ya hemos estudiado bastante al
Axioma A3 de Simetría en la
Sección 2.4.
Vimos que
A3 se deduce de los demás
Axiomas de Espacio Métrico,
cuando la
Desigualdad Triangular tiene la forma
A6 bis o
A6 Inverso bis.
Así que para lograr independencia de
A3, debemos hacerlo respecto las versiones
A6 ó
A6 Inverso de la
Desigualdad Triangular.
Con el siguiente ejemplo se cumplen todos los Axiomas excepto
A3,
y la
Desigualdad Triangular vale en sus formas
A6 ó
A6 Inverso:
\(X=\{a,b\}\); \(d:X\times X\mapsto \mathbb R\):
\(d(a,a) = d(b,b) = 0\); \(d(a,b) = 1\); \(d(b,a) = 2\).
_________________________________________
3.3. Independencia de los Axiomas de la Desigualdad Triangular.Para el ejemplo trivial:
\(X=\{a\}\); \(d:X\times X\mapsto\mathbb R\), \(d(a,a)=0\),
obtenemos que valen todos los
Axiomas de Espacio Métrico,
y más aún, valen todas las formas de
Desigualdad Triangular.
Veamos ejemplos donde valen todos los
Axiomas de Espacio Métrico, excepto las formas de la
Desigualdad Triangular.
Por el
Teorema 2.3.2, tenemos que buscar conjuntos \(X\) de más de dos elementos.
Consideremos \(X=\{a,b,c\}\), con \(d:X\times X\mapsto\mathbb R\), dada por:
\begin{array}{c|ccc}
d(x,y)& a & b & c\\
\hline
a& 0 & 8 & 4 \\
b& 8 & 0 & 2 \\
c& 4 & 2 & 0 \\
\hline
\end{array}
\(d(a,b) = 8 > 6 = d(a,c) + d(c,b)\). No vale
A6.
\(d(a,b) = 8 > 6 = d(a,c) + d(b,c)\). No vale
A6 bis.
\(|d(b,a) - d(c,a)| = 6 > 2 = d(b,c)\). No vale
A6 Inverso.
\(|d(b,a) - d(a,c)| = 6 > 2 = d(b,c)\). No vale
A6 Inverso bis.
Así que la
Desigualdad Triangular es independiente de los demás
Axiomas de Espacio Métrico.
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3.4. Independencia del Axioma de Distancia.Ahora vamos a estudiar el
Axioma A1, el que indica el formato de la función distancia \(d\).
Para invocar la negación de dicho Axioma, lo haremos pensando en una función de dominio \(X\times X\), pero que su codominio no es \(\mathbb R\).
En primer lugar, si el codominio de \(d\) es un conjunto \(S\subset \mathbb R\),
los demás Axiomas (del
A2 al
A6) aún pueden formularse, pues tienen sentido, por el mero hecho de que las distancias tomarán, a fin de cuentas, valores en \(\mathbb R\).
Lo relevante de \(\mathbb R\) que se usa en los Axiomas de Espacio Métrico son estas propiedades:
(R0) \(\mathbb R\) es no vacío, y hay dos elementos especiales denotados \(0,1\).
(R1) \(\mathbb R\) tiene una relación de orden total \(\leq \). Estipulamos que \(0<1\).
(R2) \(\mathbb R\) tiene una operación unaria (un operando) \(-\).
(R3) \(\mathbb R\) tiene una operación binaria (dos operandos) \(+\).
(R4) La operación \(-\) cambia el sentido de la desigualdad:
\[ \forall x,y\in \mathbb R\,:\, x\leq y \Longleftrightarrow -y \leq -x. \]
(R5) La operación \(+\) respeta las desigualdades:
\[ \forall x,y,p\in\mathbb R\,:\, x < y \Longleftrightarrow x+p < y+p. \]
(R6) La operación (+) tiene elemento neutro 0:
\[\forall x \in \mathbb R\,:\, x+0 = x = 0+x.\]
(R7) La operación \(+\) es cancelativa:
\[ \forall x\in \mathbb R\,:\, x + (-x) = (-x) + x = 0. \]
(R8) La operación \(+\) es conmutativa:
\[ \forall x,y\in \mathbb R\,:\, x+y=y+x. \]
En la discusión de los
Axiomas de las Secciones anteriores no parece que hayamos usado otras propiedades de la suma, como por ejemplo la
Ley Asociativa.
Cuando hemos usado la
resta, simplemente estamos invocando la existencia de opuestos (
ley cancelativa), y definiendo:
\(x - y = x + (-y).\)
Al usar valores absolutos, lo podemos hacer mediante esta definición:
\[
|x| = \begin{cases}
x,&\qquad \text{si \(x\geq 0\)};\\
-x,&\qquad \text{si \(x\leq 0\)}.\\
\end{cases}
\]
Cuando hemos usado que \(0\leq 2d(x,y)\) para concluir que \(d(x,y)\geq 0\),
veamos que eso no depende de haber multiplicado por 2.
De hecho, lo que teníamos era que \(d(x,y) + d(x,y) \geq 0\), digamos.
Si fuese \(d(x,y) < 0\), entonces, por (R5), tendríamos que:
\(d(x,y) + d(x,y) \leq d(x,y) + 0 = d(x,y) < 0\), contradicción.
Por lo tanto, necesariamente \(d(x,y) \geq 0\).
Y hemos probado esto sin necesidad de dividir por 2.
Agreguemos a \(\mathbb R\) un par de elementos especiales, denotados \(-\infty,+\infty\), con las siguientes especificaciones:
\(\forall x\in \mathbb R\,:\,-\infty < x < +\infty\).
\(\forall x\in \mathbb R\,:\, (-\infty) + x = -\infty = x + (-\infty)\).
\(\forall x\in \mathbb R\,:\, (+\infty) + x = +\infty = x + (+\infty)\).
\(-(- \infty) = +\infty\).
\(-(+\infty) = -\infty\).
\((-\infty) + (-\infty) = -\infty\).
\((+\infty) + (+\infty) =+\infty\).
\((-\infty) + (+\infty) = 0 = (+\infty) + (-\infty)\).
(Haciendo el mal, jeje).
Soy conciente de que esta última igualdad causará urticaria a cualquiera que haya visto un curso de Análisis o de Teoría Abstracta de la Medida, pero creo que ya se han visto las plumas: vendería a mi madre con tal de construirme un contraejemplo de este asunto.
Si denotamos \(\tilde{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}\),
observamos que \((\tilde{\mathbb R},0,\leq,-,+)\) sigue cumpliendo las propiedades
(R0) a
(R8).
Como espacio de trabajo podríamos tomar también al mismo \(\tilde{\mathbb R}\), pero para separar un poco las aguas, hagamos que \(X\) y el codominio de \(d\) sean diferentes.
Tomamos \(X = \mathbb N \cup \{+\infty\}\), considerándolo como subconjunto de \( \tilde{\mathbb R}\), donde \(\mathbb N\) es el conjunto de
Números Naturales.
Para evitar usar toda la estructura de los números reales, y apelar solamente a las propiedades
(R0) a
(R8), podemos definir \(\mathbb N\) como la intersección de todos los subconjuntos de \(\mathbb R\) que contienen a \(1\),
y tales que si contienen a \(x\), entonces también contienen a \(x+1\).
Como \(\mathbb R\) es uno de tales conjuntos, la mencionada intersección está bien definida (
siempre hay que tener cuidado de no intersectar una familia vacía de conjuntos).
Definimos ahora \(d:X\times X\mapsto \tilde{\mathbb R}\), mediante:
\[
\forall x,y\in X\,:\, d(x,y) =
\begin{cases}
x-y, & \qquad \text{si \(y\leq x\)}; \\
y-x, & \qquad \text{si \(x\leq y\)}.
\end{cases}
\]
Damos la fórmula definida a trozos, para tener algo de consideración a la estructura del
dominio \(X\), que no tiene valores negativos.
De una manera más suscinta, podemos escribir:
\[d(x,y) = |x-y|,\]
lo cual tiene sentido en el
codominio de \(d\): \(\tilde{\mathbb R}\).
Se puede comprobar con relativa facilidad que valen los Axiomas
A2,
A3,
A4 y
A5.
Para probar cualquiera de las versiones de la
Desigualdad Triangular vamos a necesitar la
Propiedad Asociativa de la suma.
Quizás el lector espera que yo me tome el trabajo de editar las propiedades de más arriba, y la agregue.
El problema es que sólo puede aceptarse una
ley asociativa parcial, para todos aquellos valores que no sean infinitos.
Concretamente, no vale la
Ley Asociativa para los valores infinitos:
\(\Big( (-\infty) + (-\infty) \Big) + (+\infty) = (-\infty)+(+\infty) = 0 \neq -\infty = -\infty + 0 = (-\infty) + \Big((-\infty) + (+\infty)\Big)\).
Lo importante es que vale
A6, y por
Simetría también vale
A6 bis.
En los casos finitos, esto es obvio, apelando a la
Desigualdad Triangular que vale para los valores finitos.
Hay que mirar con atención, como caso aparte, lo que sucede con valores infinitos. Tenemos, para \(x,y,p\in\mathbb N\):
\(d(+\infty, y) = +\infty = +\infty + d(p,y) = d(+\infty,p) + d(p,y) = d(+\infty,p) + d(y,p)\).
\(d(x,+\infty) = +\infty = d(x,p) +(+\infty) = d(x,p) + d(p,+\infty) = d(x,p) + d(+\infty,p)\).
\(d(+\infty, +\infty) = 0 \leq +\infty = d(+\infty,p) + d(p,+\infty) = d(+\infty,p) + d(+\infty,p)\).
\(d(+\infty,+\infty) = 0 \leq 0 + 0 = d(+\infty,+\infty) + d(+\infty,+\infty)\).
Así que valen
A6 y
A6 bis.
También podríamos probar manualmente que valen
A6 Inverso y
A6 Inverso bis.
Pero si observamos con cuidado, sólo necesitamos
A3 y
A4, junto con
A6 ó
A6 bis para ello, y al momento en que hemos invocado
A1, en realidad hemos usado solamente las propiedades
(R0) a
(R8).
Por si alguien no me cree
voy a hacer a mano
la comprobación de
A6 Inverso y
A6 Inverso bis. Y lo voy a hacer sin ganas, pero lo voy a hacer. Y sepan que cada caracter de los que vienen a continuación están escritos sin ganas y con fastidio, porque es innecesario.
Los casos en que los elementos de \(X\) son finitos no hace falta considerarlos, porque de ellos ya sabemos de sobra que cumplen las
Desigualdades Triangulares Inversas. Consideremos sólo los casos en que uno de los términos es infinito. Sean \(x,y,p\in X\):
\(|d(+\infty, p) - d(y,p)| = +\infty = d(+\infty,y)\).
\(|d(+\infty, p) - d(p,y)| = +\infty = d(+\infty,y)\).
\(|d(+\infty, p) - d(+\infty,p)| = 0 = d(+\infty,+\infty)\).
\(|d(+\infty, p) - d(p,+\infty)| = +\infty = d(+\infty,+\infty)\).
\(|d(+\infty, +\infty) - d(+\infty,+\infty)| = 0 = d(+\infty,+\infty)\).
Así que valen
A6 Inverso y
A6 Inverso bis.
A fin de cuentas, ¿qué es lo que hemos hecho?
Hemos construido un ejemplo que no satisface (A1), porque el codominio de \(d\) no es \(\mathbb R\), mientras que sí se satisfacen los demás
Axiomas de Espacio Métrico.
Quizás podría haber construido algún ejemplo más simple.
De hecho, bastaría tomar \(X=\{0,+\infty\}\), y reproducir todo lo anterior.
Sería mucho más rápido así.
Pero también pretendía mostrar un ejemplo que no sea tan trivial.
En el caso del ejemplo \(X=\{0,+\infty\}\) hay una sutileza involucrada,
y es que el elemento "infinito" no lo es tanto.
De hecho, en ese caso sería una mera cuestión de símbolos,
ya que uno obtendría una
desigualdad ultramétrica (tema para debatir luego):
\(d(x,y) \leq \max\{d(x,p),d(y,p)\}\).
Si uno lleva a cabo una correspondencia que conserve el orden entre \(\{0,+\infty\}\) y \(\{0,1\}\), todo se seguiría cumpliendo tal cual, pero ahora habríamos conseguido valores numéricos, con lo cual
\(\max(\alpha,\beta)\leq \alpha+\beta\),
que implicaría la
Desigualdad Triangular.
Así que no es cuestión meramente de llamar "infinito" a un símbolo, sino además observar qué significa esto desde un punto de vista ordinal y aritmético.
Moraleja: Las cuestiones aritméticas sólo "suceden" en el
Axioma A6 (o sus equivalentes).
Otro ejemplo no trivial de este asunto surge de manera natural en Teoría de Conjuntos.
Sea \(X\) un conjunto no vacío cuyos elementos son, a su vez, conjuntos finitos, y además un conjunto especial \(J\) de cardinal infinito.
Si un conjunto finito \(F\) tiene \(n\) elementos, denotamos \(\#F = n\),
y en cambio denotamos \(\#J = +\infty\).
Ahora definimos \(d:X\times X\mapsto \tilde{\mathbb R}\) mediante:
\[ \forall E,F\in X\,:\, d(E,F) = \#(E \underline\cup F), \]
donde \(\underline\cup\) denota la
unión disjunta o
diferencia simétrica de \(E\) y \(F\):
\[ E \underline\cup F = E\Delta F = (E\setminus F)\cup (F\setminus E). \]
Claramente la función \(d\) no satisface el
Axioma A1, porque el codominio no es \(\mathbb R\). Más aún, hay valores de \(X\) para los cuales la función \(d\) toma específicamente el valor \(+\infty\) (cuando alguno de los conjuntos \(E\) ó \(F\) es finito, y el otro es el conjunto infinito \(J\)).
Sin embargo, los demás axiomas se satisfacen sin mayores problemas:
¿A2? Claramente \(d(E,F)\geq 0\) para cualesquiera \(E,F\in X\), porque el cardinal de un conjunto es no negativo.
¿A3? Además, la simetría de la
diferencia simétrica implica la de
Simetría de \(d\):
\(d(E,F) = d(F,E)\), para cualesquiera \(E,F\in X\).
¿A4? Como \(E\underline\cup E=\emptyset\), es claro que \(d(E,E) = 0\), todo \(E\in X\).
¿A5? Si \(d(E,F) = 0\), significa que \(E\underline\cup F = \emptyset\), con lo cual \((E\setminus F)\cup (F\setminus E)=\emptyset\), por lo tanto \(E\setminus F=\emptyset =F\setminus E\), y en consecuencia \(F\subset E\) y \(E\subset F\). De esto se deduce que \(E=F\).
¿A6? Dados \(E,F,G\in X\), tenemos:
\[
\begin{align*}
E\underline\cup F
&= (E\setminus F)\cup (F\setminus E)
\\
&= (E\setminus G\setminus F)\cup (E\cap G\setminus F)
\cup (F\cap G\setminus E) \cup (F\setminus G\setminus E)
\\
&\subset (E\setminus G) \cup (G\setminus F)
\cup (G\setminus E) \cup (F\setminus G)
\\
& = (E\underline\cup G) \cup (G\underline\cup F).
\end{align*}
\]
Luego, obtenemos:
\[d(E,F)
= \#(E,F)\leq \#( (E\underline\cup G) \cup (G\underline\cup F))
\leq \#( E\underline\cup G) + \#(G\underline\cup F)
= d(E,G) + d(G,F).
\]
¿A6 bis? Se obtiene de lo ya probado para
A6 y
A3.
¿A6 Inverso? Para los elementos finitos de \(X\), se deduce de
A6,
A4 y
A3, como ya sabemos hacer.
Cuando \(E\) es infinito y \(F\) no, tenemos:
\(|d(E,G) - d(F,G)| = +\infty = d(E,F) \), para cualquier \(G\) finito; y
\(|d(E,G) - d(F,G)| = +\infty = d(E,F) \), si \(G\) es infinito.
¿A6 Inverso bis? Se obtiene de
A6 Inverso y de
A3.
Este ejemplo puede generalizarse a
Álgebras de Conjuntos Medibles, pero lo dejamos aquí.
Si queremos construir otros tipos de ejemplos que contradigan el
Axioma A1, mientras se satisfagan los demás, notemos que en los
Axiomas A2 y
A6 se necesita una relación de orden total.
Así que el codominio de \(d\) tendría que ser un
conjunto totalmente ordenado, y además tienen que valer al menos las propiedades
(R0) a
(R8), o algo por el estilo.
Una manera de relajar esta condición vendría tras estipular que el codominio de \(d\) sea un
conjunto parcialmente ordenado.
En tal caso, podríamos hallar alguna estructura que satisfaga
(R0) a
(R8), aunque ahora con una relación de orden parcial.
En la práctica, se hará necesaria agregar la propiedad "fantasma"
(R9): la Ley Asociativa, que no la he escrito en ninguna parte.
Mostremos un ejemplo de este tipo de cosas.
Tomamos \(S=\mathbb R^n\) con el orden parcial \(\preceq\) dado por:
\((x_1,...,x_n)\preceq (y_1,...,y_n)\) si \(x_1\leq y_1,...,x_n\leq y_n\).
Sea ahora \(X=\mathbb C^n\), con la función "distancia" \(d:X\times X\mapsto S\), dada por:
\(d((z_1,...,z_n),(w_1,...,w_n)) = (|z_1-w_1|,...,|z_n-w_n|)\).
Vale la
No Negatividad, ya que \(d(\vec z,\vec w)\geq \vec 0\).
La
Simetría vale de forma obvia.
También es cierto que \(d(\vec z, \vec z) = \vec 0\), para todo \(\vec z\in X\).
Es obvio que lo recíproco también vale,
ya que la definición de \(d\) se ha hecho
componente a componente,
por lo tanto: \(d(\vec z,\vec w)=\vec 0\) implica \(\vec z = \vec w\).
La
Desigualdad Triangular también se cumple ahora,
también debido a que hemos definido \(d\)
componente a componente.
Esto parece dar lugar a una generalización más útil de
Espacio Métrico, que la mera idea de agregar elementos infinitos en el codominio de \(X\).
_____________________________________________
3.5. Recobrando la capacidad de distinguir puntos.Un par \((X,d)\) que satisface los Axiomas
A1,
A2,
A3,
A4 y
A6 (o cualquiera de sus formas alternativas) se llama
Espacio Pseudométrico.
Lo que estamos diciendo es que el
Axioma A5 puede cumplirse o no.
Como consecuencia, obtenemos automáticamente mutitud de ejemplos,
ya que todo
Espacio Métrico es también
Pseudométrico.
Un caso interesante es que, dado un conjunto \(X\) cualquiera (no vacío),
con función distancia \(d:X\times X\mapsto\mathbb R\) dada por:
\(\forall x,y\in X\,:\, d(x,y) = 0\);
es un
Espacio Métrico si, y sólo si, \(X\) tiene un único elemento.
Sin embargo, para cualquier \(X\),
el par \((X,d)\) será un
Espacio Pseudométrico.
Se le llama la
Pseudométrica Trivial.
Lo que nos interesa del
Axioma A5 es su fuerza para ayudarnos a
distinguir puntos.
No es necesario forzar las cosas para lograr
que una
Pseudométrica se adapte a nuestras necesidades,
y martillarla hasta que se cumpla
A5.
La manera de lograr distinguir puntos en un conjunto
puede venir por medio de estrategias mejor pensadas.
Decimos que una familia de
pseudo-distancias \(\mathcal D=\{d_j; j\in J\}\)
en un conjunto \(X\) es
separadora,
o que
distingue puntos, si:
para todo par de puntos \(x,y \in X\) tales que \(x\neq y\),
existe \(j\in J\), tal que la pseudo-distancia \(d_j\) distingue \(x\) é \(y\),
o sea, tal que \(d_j(x,y)\neq 0\). En símbolos:
\(\forall x,y\in X\,:\,\exists j\in J\,:\, d_j(x,y)\neq 0.\).
Un ejemplo preclaro de esto estaría dado
por el conjunto \(X\) de las funciones reales continuas de variable real,
y las pseudométricas \(d_t\) dadas
por el máximo de las diferencias entre elementos de \(X\) en el intervalo \([-t,t]\), para \(t>0\). En símbolos:
\(X=\mathcal C(\mathbb R)\);
\(\mathcal D=\{d_t; t>0\}\); \(d_t:X\times X\mapsto \mathbb R\):
\(\forall f,g\in X\,:\,d_t(f,g) = \max\{|f(x)-g(x)|;\, x\in[-t,t]\}\).
Aquí el inconveniente principal es que
las funciones continuas no tienen necesariamente un máximo en \(\mathbb R\),
y aún así sería interesante estudiarlas mediante herramientas de la teoría de
Espacios Métricos o similares.
Uno puede aprovechar que, restringiéndonos a un intervalo cerrado y acotado,
toda función continua de \(\mathbb R\) alcanzará un máximo y un mínimo,y entonces cada función \(d_t\) estará bien definida.
Más aún, como los valores de \(d_t\) depeden sólo
del comportamiento de las funciones en el intervalo \([-t,t]\),
la información de las funciones fuera de ese intervalo se pierde,
y por lo tanto no es posible distinguirlas del todo con \(d_t\).
O sea, cada \(d_t\) por separado será una pseudo-distancia,
pero no satisfará el
Axioma A5.
Sin embargo, no es difícil comprobar que \(\mathcal D=\{d_t; t>0\}\)
es una familia de pseudo-métricas que distingue elementos de \(X\).
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