Porque dices que si $$f(0)=f(1)=0$$ entonces se concluye??

Pero si :
\( f(0) = 0 \) entonces \( \sum_{k=1}^n |0-x_k| = \dfrac{n}{2} \).
\( f(1) = 0 \) entonces \( \sum_{k=1}^n |1-x_k| = \dfrac{n}{2} \).
ani_pascual editó el mensaje, entonces nada, lo que puso ani_pascual

Sea \( f(x) = \displaystyle \sum_{k=1}^n |x-x_k| - \dfrac{n}{2} \)
\( f(0) = \displaystyle \sum_{k=1}^n x_k - \dfrac{n}{2} \)
\( f(1) = \displaystyle \sum_{k=1}^n (1-x_k) - \dfrac{n}{2} = n-\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k - \dfrac{n}{2} = -f(0)  \)

Si.

\( \dfrac{x+4}{x} = 1+ \dfrac{4}{x} > 1  \) para todo \( x \in [1+\infty[  \).
Dado \( \epsilon > 0 \) sea \( 1+\epsilon \) sólo hay que tomar \( x > \dfrac{4}{\epsilon}  \)

Pero la función \( \sen(x) \) es uniformemente continua en \( \mathbb{R} \) en particular en \( [0,\dfrac{\pi}{2}] \)
Lo siguiente no lo entiendo muy bien:

Si, pero para mi caso me gustaria tener:

$$|f(x_{n})-f(y_{n})|= \mbox{ sen } (\frac{\pi}{2n}) \geq{  \mbox{ sen } (\frac{\pi }{2})}$$
 pero esa ultima desigualdad es falsa .

La primera pregunta iba sobre una desigualdad y ahora cambia para ir sobre continuidad uniforme.

Dado \( 1 > \epsilon > 0  \) tenemos que como \( \displaystyle \lim_{h \to 0} \sen(h) = 0 \) existe \( h_{\epsilon}  \) con \( |\sen(h_{\epsilon})| < \dfrac{\epsilon}{2}  \) luego si \( |x-y| < |h_{\epsilon}|  \)
Tenemos \(  |\sen(y) - \sen(x)|  \) podemos suponer \(  y > x \) luego \(  y = x + h'  \) con \( h' < |h_{\epsilon}| < \epsilon  \)
\(  |\sen(y) - \sen(x)| = |\sen(x+h') - \sen(x)| = |\sen(x) \cdot \cos(h') + \sen(h') \cdot \cos(x) - \sen(x)| \leq \\\qquad \leq|\sen(x) \cdot (1-\cos(h'))| + |\sen(h')| \cdot |\cos(x)| \leq |1-\cos(h')| + |\sen(h')|= \\\qquad=\dfrac{\sen^2(h')}{1+\cos(h)} + |\sen(h')| < \dfrac{\epsilon^2}{4 \cdot (1+\cos(h'))} + \dfrac{\epsilon}{2}  \)

Ver video:

Sea \( f \) continua definida en \( [a,b] \) con \( f(a) < 0 < f(b)  \) (o \( f(a) > 0 > f(b) \) , sea \( A = \{x \in [a,b] | f([a,x]) < 0 \}  \) tienes:
\( a \in A  \) luego \( A \neq \emptyset  \) y \( b \notin A \) luego esta acotada y tiene supremo \( \alpha \) con \( a < \alpha < b \) intenta seguir.

Bienvenido al foro Mathhis
Si haces el cambio que propones  te queda:
\( \displaystyle \lim_{z \to 0} (1-\dfrac{\log^2(1+z)}{\sen(z)})^{\dfrac{2}{z^3}}  \) que es del tipo \( 1^{+\infty} \), luego sabiendo que es de este tipo:
Sea \( a(z) =  1-\dfrac{\log^2(1+z)}{\sen(z)}  \) y \( b(z) = \dfrac{2}{z^3}  \) tenemos:
\( \displaystyle \lim_{z \to 0} a(z)^{b(z)} = \lim_{z \to 0} e^{b(z) \cdot \log(a(z))} = \lim_{z \to 0} e^{b(z) \cdot (a(z) - 1)}  \)
Te queda:
\( b(z) \cdot (a(z)-1) = -\dfrac{2}{z^3} \cdot \dfrac{\log(1+z) \cdot \log(1+z)}{\sen(z)} = -\dfrac{2}{z^2} \cdot \dfrac{\log(1+z)}{z} \cdot \dfrac{\log(1+z)}{z} \cdot \dfrac{z}{\sen(z)}  \)

Si tomas \( A_n = \{q_1 ,q_2 , \cdots , q_n \}  \), dado \( \epsilon > 0 \)  puedes tomar los puntos:
\( x_{q_{i_max}} = min \{ q_i + \dfrac{\epsilon}{2n} , 1 \} \)
\( x_{q_{i_min}} = max\{q_i - \dfrac{\epsilon}{2n}  , 0 \} \)
Con estos puntos formas una partición, tienes que la suma superior es menor o igual a \( \epsilon \) y teniendo en cuenta que al añadir más puntos la suma supeior es no creciente, lo tenemos.

Para el primero mira si \( 1 \) cumple lo pedido.

Para el siguiente tienes que ver que \( \dfrac{1}{2^n}  \) siempre es positivo luego cualquier número negativo es cota inferior del conjunto, y para todo \( x \) positivo existe \( n_x \in \mathbb{N} \) con \(  \dfrac{1}{2^{n_x}} < x \) luego ningún número positivo es cota inferior del conjunto \( A \)