Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: Marcos Castillo en 29 Junio, 2022, 12:27 pm

Título: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Marcos Castillo en 29 Junio, 2022, 12:27 pm
Hola, estimado Rincón

Vuelvo una y otra vez sobre el mismo cuerpo de texto que ya he planteado con anterioridad, y dado erróneamente por resuelto. Haré una cita ingente  :-[ y en parte redundante (perdón), y seguido preguntas; mis intentos por resolverlas no los reflejo, porque no me parece que aportaría nada. Ahí va:

Citar

Notación \( O \)

DEFINICIÓN 9

Se escribe \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si

\( |f(x)|\leq{k|u(x)|} \)


se cumple para alguna constante \( k \) en algún intervalo abierto que contiene a \( x=a \).

De forma similar \( f(x)=g(x)+O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si \( f(x)-g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), es decir, si

\( |f(x)-g(x)|\leq{k|u(x)|} \) cerca de \( a \)

Por ejemplo, \( \sin{\;x}=O(x) \) cuando \( x\rightarrow{0} \) porque \( |\sin{\;x}|\leq{|x|} \) cerca de 0.

A partir de la definición se pueden deducir las siguientes propiedades de la notación \( O \):

(i) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( Cf(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( C \).

(ii) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) y \( g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)\pm{g(x)}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \).

(iii) Si \( f(x)=O(x-a)^{k}u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)/(x-a)^{k}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( k \).

El Teorema de Taylor dice que si \( f^{(n+1)}(t) \) existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n} \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), entonces, cuando \( x\rightarrow{a} \),

\( f(x)=P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)

Esto es una afirmación sobre la rapidez con que la gráfica del polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) se acerca a la de \( f(x) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). La distancia vertical entre las gráficas disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \). El siguiente teorema demuestra que el polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) es el único polinomio de grado máximo \( n \) cuya gráfica se aproxima a la gráfica de \( f(x) \) con esa rapidez.

TEOREMA 11

Si \( f(x)=Q_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), siendo \( Q_{n} \) un polinomio de grado máximo \( n \), entonces \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \), es decir, \( Q_{n} \) es el polinomio de Taylor para \( f(x) \) en \( x=a \).

DEMOSTRACIÓN Sea \( P_{n} \) el polinomio de Taylor. Entonces las propiedades (i) y (ii) de la notación \( O \) implican que \( R_{n}(x)=Q_{n}(x)-P_{n}(x)=O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero de forma que \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \). Sustituyendo \( x \) por \( a+(x-a) \) y desarrollando las potencias, podemos escribir \( R_{n}(x) \) en la forma

\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)

Si \( R_{n}(x) \) no es idénticamente nulo, entonces existe un mínimo coeficiente \( c_k(k\leq{n}) \) tal que \( c_k\neq{0} \), pero \( c_j=0 \) para \( 0\leq{j}\leq{k-1} \). Por tanto,

\( R_{n}(x)=\color{Red}(x-a)^k(c_k+c_{k+1}(x-a)+\ldots{+c_n(x-a)^{n-k}}) \)

Por lo tanto \( \lim_{x\rightarrow\color{Red}{a}}\color{Black}R_{n}(x)/(x-a)^k\color{Red}=c_k\color{Black}\neq{0} \). Sin embargo, por la propiedad (iii) anterior tenemos que \( R_{n}(x)/(x-a)^k=O((x-a)^{n+1-k}) \). Como \( n+1-k>0 \), esto indica que \( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Esta contradicción demuestra que \( R_{n}(x) \) debe ser idénticamente nulo. Por lo tanto \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \).


Preguntas:

- La distancia vertical entre las gráficas de \( f(x) \) y las aproximaciones sucesivas del polinomio de Taylor disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \): ¿por qué?; lo que he leído de la notación Gran O es que se trata de un reflejo del error en la estimación.

- Cómo llega en el Teorema 11 a escribir

Citar

Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero.


Cómo, o dónde, sustituyendo \( x \) por \( a+(x-a) \) y desarrollando potencias, (puede) escribir \( R_{n}(x) \) en esta forma:

\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)

¡Un saludo!

Editado el 02/07/2022, a las 15:45, a las 15:55, y a las 16:00

Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Junio, 2022, 04:33 pm
Hola

- La distancia vertical entre las gráficas de \( f(x) \) y las aproximaciones sucesivas del polinomio de Taylor disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \): ¿por qué?; lo que he leído de la notación Gran O es que se trata de un reflejo del error en la estimación.

 Pues tienes por una parte que:

\(  f(x)-p_n(x)=O(|x-a|^{n+1}) \) (*)

 Por otra parte tienes la definición de la notación O grande:

Citar
Se escribe \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si

\( |f(x)|\leq{k|u(x)|} \)


se cumple para alguna constante \( k \) en algún intervalo abierto que contiene a \( x=a \).

 Según la cuál (*) significa que existe una constante \( k \) tal que:

\(  |f(x)-p_n(x)|\leq k|x-a|^{n+1} \)

 es decir la distancia entre la función y el polinomio de Taylor está acotada por un múltiplo de la función \( |x-a|^{n+1} \). Ese es el significado preciso de la cita sobre la cuál preguntabas:

Citar
- Cómo llega en el Teorema 11 a escribir

Citar
Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero.

No se si entiendo la pregunta. Si el teorema quiere demostrar que los polinomios \( Q_n(x) \) y \( P_n(x) \) coinciden pues obviamente eso equivale a demostrar que la diferencia entre ambos \( R_n(x)=Q_n(x)-P_n(x) \) es nula.

Citar
Cómo, o dónde, sustituyendo \( x \) por \( a+(x-a) \) y desarrollando potencias, (puede) escribir \( R_{n}(x) \) en esta forma:

\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)

Pues por ejemplo si tienes el polinomio \( R_n(x)=1-2x+x^2 \) poniendo \( x=a+(x-a) \) te queda:

\( R_n(x)=1-2(a+(x-a))+(a+(x-a))^2=1-2a-2(x-a)+a^2+2a(x-a)+(x-a)^2=1-2a+a^2+(2a-2)(x-a)+(x-a)^2 \)

y ya lo tienes escrito en potencias de \( (x-a) \).

Saludos.
Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Marcos Castillo en 01 Julio, 2022, 02:37 pm
¡Por fin, por fin lo entiendo! Gracias, en serio.
¡Un saludo!
Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Marcos Castillo en 01 Septiembre, 2022, 02:39 pm
Hola, qué tal, Rincón

He dado un par de vueltas a este teorema, por un ejercicio práctico al final del capítulo, que me ha hecho retroceder. 

Hago uso del cuerpo de texto, e intercalo "lo nuevo" en verde.



Hola, estimado Rincón

Vuelvo una y otra vez sobre el mismo cuerpo de texto que ya he planteado con anterioridad, y dado erróneamente por resuelto. Haré una cita ingente  :-[ y en parte redundante (perdón), y seguido preguntas; reflejomis intentos por resolverlas. Ahí va:

Citar


Notación \( O \)

DEFINICIÓN 9

Se escribe \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si

\( |f(x)|\leq{k|u(x)|} \)
 

se cumple para alguna constante \( \color{green}\;k\;\mbox{tal que}\;k\in{\mathbb{R}^+} \) en algún intervalo abierto que contiene a \( x=a \).

De forma similar \( f(x)=g(x)+O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si \( f(x)-g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), es decir, si

\( |f(x)-g(x)|\leq{k|u(x)|} \) cerca de \( a \)


Por ejemplo, \( \sin{\;x}=O(x) \) cuando \( x\rightarrow{0} \) porque \( |\sin{\;x}|\leq{|x|} \) cerca de 0.

A partir de la definición se pueden deducir las siguientes propiedades de la notación \( O \):

(i) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( Cf(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( C \). (\( Cf(x)=O(u(x))\Rightarrow{|Cf(x)|\leq{k|u(x)|}}\Rightarrow{|f(x)|\leq{\displaystyle\frac{k}{C}}|u(x)|}\Rightarrow{\displaystyle\frac{k}{C}>0} \))

(ii) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) y \( g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)\pm{g(x)}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \).¿Por qué tanto la suma como la resta están acotadas? 

(iii) Si \( f(x)=O(x-a)^{k}u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)/(x-a)^{k}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( k \).

El Teorema de Taylor dice que si \( f^{(n+1)}(t) \) existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n} \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), entonces, cuando \( x\rightarrow{a} \),

 
\( f(x)=P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)


 
Esto es una afirmación sobre la rapidez con que la gráfica del polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) se acerca a la de \( f(x) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). La distancia vertical entre las gráficas disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \). El siguiente teorema demuestra que el polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) es el único polinomio de grado máximo \( n \) cuya gráfica se aproxima a la gráfica de \( f(x) \) con esa rapidez.

TEOREMA 11

Si \( f(x)=Q_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), siendo \( Q_{n} \) un polinomio de grado máximo \( n \), entonces \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \), es decir, \( Q_{n} \) es el polinomio de Taylor para \( f(x) \) en \( x=a \).

DEMOSTRACIÓN Sea \( P_{n} \) el polinomio de Taylor. Entonces las propiedades (i) y (ii) de la notación \( O \) implican que \( R_{n}(x)=Q_{n}(x)-P_{n}(x)=O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) ¿Por qué?;mi intento: los polinomios no dejan de ser funciones. Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero de forma que \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \). Sustituyendo \( x \) por \( a+(x-a) \) y desarrollando las potencias, podemos escribir \( R_{n}(x) \) en la forma

 
\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)


 
Si \( R_{n}(x) \) no es idénticamente nulo, entonces existe un mínimo coeficiente \( c_k(k\leq{n}) \) tal que \( c_k\neq{0} \), pero \( c_j=0 \) para \( 0\leq{j}\leq{k-1} \): es decir, que si hay un \( c=0 \), lógicamente habrá un \( c\neq 0 \), dado que \( \color{blue}k \) es menor o igual que \( \color{blue}n \); ¿pero todo este artificio tiene como objetivo factorizar \( R_{n}(x) \), sacando una nueva letra (k), de la manga?. Por tanto,

\( R_{n}(x)=\color{Red}(x-a)^k(c_k+c_{k+1}(x-a)+\ldots{+c_n(x-a)^{n-k}}) \)


Por lo tanto \( \lim_{x\rightarrow\color{Red}{a}}\color{Black}R_{n}(x)/(x-a)^k\color{Red}=c_k\color{Black}\neq{0} \). Sin embargo, por la propiedad (iii) anterior tenemos que \( R_{n}(x)/(x-a)^k=O((x-a)^{n+1-k}) \). Como \( n+1-k>0 \), esto indica que \( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Esta contradicción demuestra que \( R_{n}(x) \) debe ser idénticamente nulo. Por lo tanto \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \).

 

Editado el 02/07/2022, a las 15:45, a las 15:55, y a las 16:00



Editado el 01/09/2022, a las 14:39 hora de España

 Editado el 01/09/2022, a las 18:00 hora de España
Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Septiembre, 2022, 06:44 pm
Hola

(ii) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) y \( g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)\pm{g(x)}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \).¿Por qué tanto la suma como la resta están acotadas?

Si \( |f(x)|\leq k|u(x)| \) y  \( |g(x)|\leq k'|u(x)| \) entonces por las propiedades del valor absoluto:

\( ||f(x)|\pm |g(x)||\leq |f(x)|+|g(x)|\leq (k+k')|u(x)| \)

Citar
DEMOSTRACIÓN Sea \( P_{n} \) el polinomio de Taylor. Entonces las propiedades (i) y (ii) de la notación \( O \) implican que \( R_{n}(x)=Q_{n}(x)-P_{n}(x)=O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) ¿Por qué?;mi intento: los polinomios no dejan de ser funciones. 

Tienes por hipótesis:

\( f(x)=P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)
\( f(x)=Q_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)

Resta y aplica las propiedades mencionadas.

Citar
\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)


Si \( R_{n}(x) \) no es idénticamente nulo, entonces existe un mínimo coeficiente \( c_k(k\leq{n}) \) tal que \( c_k\neq{0} \), pero \( c_j=0 \) para \( 0\leq{j}\leq{k-1} \): es decir, que si hay un \( c=0 \), lógicamente habrá un \( c\neq 0 \), dado que \( \color{blue}k \) es menor o igual que \( \color{blue}n \); ¿pero todo este artificio tiene como objetivo factorizar \( R_{n}(x) \), sacando una nueva letra (k), de la manga?. Por tanto,

\( R_{n}(x)=\color{Red}(x-a)^k(c_k+c_{k+1}(x-a)+\ldots{+c_n(x-a)^{n-k}}) \)

 

Loa quiere probar ahí es que si un polinomio de grado \( R_n \) es \( O((x-a)^{n+1}) \) necesariamente tiene que ser cero, porque si tuviese un término no nulo de grado \( k\leq n \) entonces NO sería \( O((x-a)^{n+1}) \).

Saludos.

Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Marcos Castillo en 04 Septiembre, 2022, 03:34 pm
Estimado RM



Si \( |f(x)|\leq k|u(x)| \) y  \( |g(x)|\leq k'|u(x)| \) entonces por las propiedades del valor absoluto:

\( ||f(x)|\pm |g(x)||\leq |f(x)|+|g(x)|\leq (k+k')|u(x)| \)


Perfecto, mágico. Yo sólo añadiría \( \color{red}|f(x)\pm g(x)|=\color{black}||f(x)|\pm |g(x)||\leq |f(x)|+|g(x)|\leq (k+k')|u(x)| \)



Tienes por hipótesis:

\( f(x)=P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)
\( f(x)=Q_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)

Resta y aplica las propiedades mencionadas.


Resta

\( P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big)=Q_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)

Aplicamos (ii)

\( P_{n}(x)\pm{Q_{n}(x)}=O\Big((x-a)^{n+1}\Big)\Rightarrow{P_{n}(x)-{Q_{n}(x)}=O\Big((x-a)^{n+1}\Big)} \)

Aplicamos (i)

\( P_{n}(x)-{Q_{n}(x)}=O\Big((x-a)^{n+1}\Big)\Rightarrow{\dfrac{L_{n}(x)}{C}=R_{n}(x)=P_{n}(x)-{Q_{n}(x)}=O\Big((x-a)^{n+1}\Big)} \)


Lo que quiere probar ahí es que si un polinomio de grado \( R_n \) es \( O((x-a)^{n+1}) \) necesariamente tiene que ser cero, porque si no tuviese un término no nulo de grado \( k\leq n \) entonces NO sería \( O((x-a)^{n+1}) \).


¿Podría ser así?

¡Un saludo!
Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Septiembre, 2022, 08:42 pm
Hola

Perfecto, mágico. Yo sólo añadiría \( \color{red}|f(x)\pm g(x)|=\color{black}||f(x)|\pm |g(x)||\leq |f(x)|+|g(x)|\leq (k+k')|u(x)| \)

En realidad esa igualdad que pones no es cierta. Pero es que sobraban los valores absolutos interiores que puse al principio. Es decir sería:

\( \color{red}|f(x)\pm g(x)|\leq \color{black}|f(x)|+|g(x)|\leq (k+k')|u(x)| \)

Citar

Lo que quiere probar ahí es que si un polinomio de grado \( R_n \) es \( O((x-a)^{n+1}) \) necesariamente tiene que ser cero, porque si no tuviese un término no nulo de grado \( k\leq n \) entonces NO sería \( O((x-a)^{n+1}) \).


¿Podría ser así?

El "lo que" si. Era una errata. Pero el "no" sobra. Es:

Citar
Lo que quiere probar ahí es que si un polinomio de grado \( \color{red}n\color{black} \) es \( O((x-a)^{n+1}) \) necesariamente tiene que ser cero, porque si tuviese un término no nulo de grado \( k\leq n \) entonces NO sería \( O((x-a)^{n+1}) \).

Ten en cuenta que estamos probando que como \( P_n(x)-Q_n(x)=O((x-a)^{n+1}) \), entonces ha de ser el polinomio nulo.

Saludos.
Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Marcos Castillo en 06 Septiembre, 2022, 01:52 pm

Citar
Lo que quiere probar ahí es que si un polinomio de grado \( \color{red}n\color{black} \) es \( O((x-a)^{n+1}) \) necesariamente tiene que ser cero, porque si tuviese un término no nulo de grado \( k\leq n \) entonces NO sería \( O((x-a)^{n+1}) \).

Ten en cuenta que estamos probando que como \( P_n(x)-Q_n(x)=O((x-a)^{n+1}) \), entonces ha de ser el polinomio nulo.


\( |(c_0-c'_0)+(c_1-c'_1)x+(c_2-c'_2)x^2|\leq{k|(x-a)^3|}, \mbox{cuando}\;x\rightarrow{a}\Leftrightarrow{(c_0-c'_0)=(c_1-c'_1)=(c_2-c'_2)=0} \).

Muy intuitivo, pero, ¿por qué?

Mi intento: partimos de un \( a\neq 0 \):

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{\dfrac{|(c_0-c'_0)+(c_1-c'_1)x+(c_2-c'_2)x^2|}{|(x-a)^3|}} \)...¿o \( a\in{\mathbb{R}} \)? Sí, pertenece a los reales; \( |(c_0-c'_0)+(c_1-c'_1)x+(c_2-c'_2)x^2| \) debe ser cero, creo. Ahora igual toca mencionar a L'hopital...

Sigo luego, tengo que salir,

¡Un saludo!


Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Septiembre, 2022, 04:12 pm
Hola

\( |(c_0-c'_0)+(c_1-c'_1)x+(c_2-c'_2)x^2|\leq{k|(x-a)^3|}, \mbox{cuando}\;x\rightarrow{a}\Leftrightarrow{(c_0-c'_0)=(c_1-c'_1)=(c_2-c'_2)=0} \).

Muy intuitivo, pero, ¿por qué?

Mi intento: partimos de un \( a\neq 0 \):

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{\dfrac{|(c_0-c'_0)+(c_1-c'_1)x+(c_2-c'_2)x^2|}{|(x-a)^3|}} \)...¿o \( a\in{\mathbb{R}} \)? Sí, pertenece a los reales; \( |(c_0-c'_0)+(c_1-c'_1)x+(c_2-c'_2)x^2| \) debe ser cero, creo. Ahora igual toca mencionar a L'hopital...

Sigo luego, tengo que salir,

En primer lugar no hace falta que uses restas de dos coeficientes. Considera el polinomio resta \( R(x)=P(x)-Q(X) \) y así escribes (siguiendo tu ejemplo), como:

\( R(x)=d_0+d_1x+d_2x^2 \) (donde \( d_i=c_i-c_i' \))

¡Es más cómodo!

Por otra parte todo polinomio de grado \( n \) se puede escribir en potencias de \( (x-a) \). Eso es algo que ya vimos en su momento. Es decir en realidad puedes suponer:

\( R(x)=d_0+d_1(x-a)+d_2(x-a)^2 \)

Ahora si supones que cuando \( x\to a \),

\( |d_0+d_1(x-a)+d_2(x-a)^2|\leq k|(x-a)|^3 \)   (*)

tienes tomando límites cuando \( x\to a \) tienes que:

\( |d_0|\leq k\to 0 \)

y por tanto \( d_0=0 \). Pero entonces si en (*) divides por \( |x-a| \) se tiene:

\( |d_1+d_2(x-a)|\leq k|(x-a)|^2 \) 

y al tomar límites análogamente obtienes \( d_1=0 \). Y lo mismo para \( d_2 \).

Esa es la idea que subyace a este razonamiento:

Si \( R_{n}(x) \) no es idénticamente nulo, entonces existe un mínimo coeficiente \( c_k(k\leq{n}) \) tal que \( c_k\neq{0} \), pero \( c_j=0 \) para \( 0\leq{j}\leq{k-1} \). Por tanto,

\( R_{n}(x)=\color{Red}(x-a)^k(c_k+c_{k+1}(x-a)+\ldots{+c_n(x-a)^{n-k}}) \)

Por lo tanto \( \lim_{x\rightarrow\color{Red}{a}}\color{Black}R_{n}(x)/(x-a)^k\color{Red}=c_k\color{Black}\neq{0} \). Sin embargo, por la propiedad (iii) anterior tenemos que \( R_{n}(x)/(x-a)^k=O((x-a)^{n+1-k}) \). Como \( n+1-k>0 \), esto indica que \( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Esta contradicción demuestra que \( R_{n}(x) \) debe ser idénticamente nulo. Por lo tanto \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \).

Saludos.
Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Marcos Castillo en 08 Septiembre, 2022, 09:38 am
¡Hola, Rincón! Voy a intercalar en la cita mi punto de vista sobre la prueba del libro de texto

Citar
Hipótesis
Si \( R_{n}(x) \) no es idénticamente nulo, entonces existe un mínimo coeficiente \( c_k(k\leq{n}) \) tal que \( c_k\neq{0} \), pero \( c_j=0 \) para \( 0\leq{j}\leq{k-1} \). Por tanto,

\( \color{red}R_{n}(x)=(x-a)^k(c_k+c_{k+1}(x-a)+\ldots{+c_n(x-a)^{n-k}}) \)

Por lo tanto \( \lim_{x\rightarrow{a}}R_{n}(x)/(x-a)^k=c_k\neq{0} \).

 Propiedad de la notación Gran O

Sin embargo, por la propiedad (iii) anterior tenemos que \( R_{n}(x)/(x-a)^k=O((x-a)^{n+1-k}) \). Como \( n+1-k>0 \), esto indica que \( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Esta contradicción demuestra que \( R_{n}(x) \) debe ser idénticamente nulo. Por lo tanto \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \).


Dudo que sea una contradicción, es decir, una exposición de dos proposiciones que se contradicen; lo veo como una hipótesis rebatida. Lo verde es, siempre según criterio a su vez subjetivo, la prueba en contra de la hipótesis.

La última frase del párrafo en verde, sería el corolario.

¡Un saludo!
Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Septiembre, 2022, 10:46 am
Hola

¡Hola, Rincón! Voy a intercalar en la cita mi punto de vista sobre la prueba del libro de texto

Citar
Hipótesis
Si \( R_{n}(x) \) no es idénticamente nulo, entonces existe un mínimo coeficiente \( c_k(k\leq{n}) \) tal que \( c_k\neq{0} \), pero \( c_j=0 \) para \( 0\leq{j}\leq{k-1} \). Por tanto,

\( \color{red}R_{n}(x)=(x-a)^k(c_k+c_{k+1}(x-a)+\ldots{+c_n(x-a)^{n-k}}) \)

Por lo tanto \( \lim_{x\rightarrow{a}}R_{n}(x)/(x-a)^k=c_k\neq{0} \).

 Propiedad de la notación Gran O

Sin embargo, por la propiedad (iii) anterior tenemos que \( R_{n}(x)/(x-a)^k=O((x-a)^{n+1-k}) \). Como \( n+1-k>0 \), esto indica que \( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Esta contradicción demuestra que \( R_{n}(x) \) debe ser idénticamente nulo. Por lo tanto \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \).


Dudo que sea una contradicción, es decir, una exposición de dos proposiciones que se contradicen; lo veo como una hipótesis rebatida. Lo verde es, siempre según criterio a su vez subjetivo, la prueba en contra de la hipótesis.

La última frase del párrafo en verde, sería el corolario.

¡Un saludo!

 Sinceramente no entiendo el matiz que haces. Es el típico razonamiento por reducción al absurdo en el que se llega a una contradicción, es decir, a dos hechos que son incompatibles al mismo tiempo. En este caso:

\( \lim_{x\rightarrow{a}}R_{n}(x)/(x-a)^k=c_k\neq{0} \)

y

\( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \)

 No se puede dar al mismo tiempo. Ha sido bajo el supuesto de que el polinomio \( R_n(x) \) NO era el polinomio cero. Conclusión: ese polinomio SI es cero.

Saludos.
Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Marcos Castillo en 11 Septiembre, 2022, 03:34 am

Es el típico razonamiento por reducción al absurdo en el que se llega a una contradicción, es decir, a dos hechos que son incompatibles al mismo tiempo. En este caso:

\( \lim_{x\rightarrow{a}}R_{n}(x)/(x-a)^k=c_k\neq{0} \)

y

\( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \)

 No se puede dar al mismo tiempo. Ha sido bajo el supuesto de que el polinomio \( R_n(x) \) NO era el polinomio cero. Conclusión: ese polinomio SI es cero.


¡Perfecto! Por redundar un poco:

Es que no entendía el conjunto, la estructura de la demostración; y como siempre, he empezado por el tejado:

Concepto de Idénticamente cero

\( x^2-2x+1=0 \) es una proposición-afirmación verdadera sólo cuando \( x=1 \);

\( x^2-2x+1-(x-1)^2=0 \) es verdadera para todo \( x\in{\mathbb {R}}\Rightarrow{x^2-2x+1-(x-1)^2} \) es idénticamente cero

Prueba por contradicción

En la prueba por contradicción, también conocida por la expresión latina reductio ad absurdum, se muestra que si una afirmación se asume verdadera, y esto conduce a una contradicción, la afirmación es falsa; es decir, su negación es verdadera. Y así se llega a la idea de idénticamente cero. Guapamente, como decimos los que vivimos y disfrutamos los años ochenta >:D

¡Un saludo!
Título: Re: Notación Gran O, escollos nuevos (y antiguos)
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Septiembre, 2022, 07:31 pm
Hola

Concepto de Idénticamente cero

\( x^2-2x+1=0 \) es una proposición-afirmación verdadera sólo cuando \( x=1 \);

\( x^2-2x+1-(x-1)^2=0 \) es verdadera para todo \( x\in{\mathbb {R}}\Rightarrow{x^2-2x+1-(x-1)^2} \) es idénticamente cero

Si; cuando hablamos del polinomio cero, o el polinomio o función idénticamente cero, es aquella que toma el valor cero en todo punto.

Saludos.