[juancarlos1]

                                    GEOMETRIA
Problema 1:

Por el vértice A de un paralelegramo ABCD se traza una secante
a BD en E y a los lados CD y CB en G y F respectivamente.
Calcular AE si EG=9 y EF=4

a)9      b)4     c)3      d)6      e)2

Problema 2:

Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden 4 y 6 respectivamente.
Calcular el radio de la circunferencia circunscrita si la altura relativa al lado AC mide 3 unidades

a)1      b)2     c)3      d)4      e)5

[Krizalid]

  Mira, te ayudo con el 2do. ya que el 1ero. no supe interpretarlo o bien no supe hacerlo.

\(

Como tienes al altura, y el valor de las respectivas hipotenusas de los tri\'angulos rect\'angulos que determina \'esta, puedes f\'acilmente calcular cu\'anto vale $\overline {AC}$. Por otra parte, como ya conoces los tres lados del $\Delta ABC$, aplica la F\'ormula de Her\'on para poder hallar el \'area. No obstante, el \'area de un tri\'angulo en funci\'on de sus lados y del radio de la circunferencia circunscrita est\'a dada por la f\'ormula:

$$A = \dfrac{{abc}}{{4r}}$$\\
\\
Por \'ultimo, previamente a haber obtenido el \'area por Her\'on, sustit\'uyela en la f\'ormula que te acabo de mostrar anteriormente, y de esa forma hallar\'as el radio. \)

  Saludos.

[sebasuy]

Bien Krizalid, pero tu método puede ser simplificado fuertemente. Quizás juancarlos NO conozca la bella fórmula de Herón, así que propongo unas alternativas.

(1) Siguiendo tu método, observa que NO es necesaria la fórmula de Herón, puesto que si calculaste CA y tienes la altura relativa a ESE lado, el área se calcula...

(2) Por el Teorema del Seno es sabido que \( \dfrac{BC}{\sen A}=2R \), donde R es el radio de la cfa. circunscripta. Pero \( \sen A=\dfrac{h_b}{AB} \). En consecuencia,

\( R=\dfrac{BC\cdot AB}{2h_b}=4 \)

[Krizalid]

  Sí pero yo a veces dejo de lado la trigonometría, ya que se reduce mucho la dificultad del problema.

  En fin, juancarlos tiene para elegir.

  Saludos.

[sebasuy]

¿Qué hay respecto del primer problema?

Hay una imprecisión o abuso de lenguaje, en la forma que se emplea el término "lado", pues tal como está redactado, el asunto es imposible (Pasch o alguna formulación equivalente).

Agrego una figura con la respuesta.

Se pueden construir infinitos paralelogramos que verifiquen las condiciones impuestas.

Para la demostración, es necesario aplicar semejanza de triángulos.

Spoiler

En efecto, por el Teorema de Thales (o de la Semejanza básica) \( \triangle AGD\sim\triangle FGC \) y por otra parte \( \triangle AEB\sim \triangle GED \) (¿porqué?). Sea, para simplificar, x=AE. Resulta,

\( \dfrac{x}{9}=\dfrac{AB}{GD}=\dfrac{CD}{GD}\qquad\text{y}\qquad\dfrac{5}{x+9}=\dfrac{GC}{GD} \)

¿Y ahora? 

[cerrar]

Spoiler

Sumando, simplificando y despejando resulta x=6.

[cerrar]

Saludos.