La pregunta es: ¿podría definir la suma en \( \mathbb{N} \), aplicando paso a paso lo que dice en el párrafo citado?; ¿ en qué momento se echa mano de \( G \) y de qué forma?; ¿por qué hace falta \( G \)?; ¿cuál es la naturaleza de \( G \)?; ¿es una función que a un par de números asigna un único número?.
Un saludo. 
Hola Marcos.
Estos son temas que me gustan bastante, así que siempre me hago un tiempo para esto.
Intentaré ayudarte lo más que pueda.
Tu pregunta sobre la función G es importante.
Por un lado, expliquemos la "idea" de la definición por recurrencia.
La "idea" es que uno quiere definir una función con dominio \( \mathbb{N} \),
a partir de una
regla de recurrencia.
Esa
regla se suele colocar en los textos matemáticos de un modo
informal.
Por ejemplo, para definir la
potenciación con exponente natural, se hace así:
\( a^0=1, a^{n+1}=a^n\cdot a \).
Ahí, la regla de recurrencia indica que uno "ya supone definida" la potencia de exponente n, y la aprovecha para definir la de exponente n+1.
Ahora bien, en matemática uno necesita ser preciso, utilizando correctamente el formato de la lógica y la teoría de conjuntos. Esto es lo que entendemos por
formalización.
La formalización, o escritura formal, se requiere para evitar ambigüedades, imprecisiones, circularidades, y toda serie de "pecados matemáticos".
Así que lo que se requiere es "formalizar" la regla de recurrencia de un modo que sea "preciso", usando la teoría de conjuntos estándar, por ejemplo.
Hay dos posibilidades para definir formalmente una "regla": usar una
relación o usar una
función.
Lo adecuado en este caso es usar una
función, porque las funciones asignan valores de
forma unívoca, y esto nos aseguraría que la
regla de recurrencia está dada de forma también
unívoca, vale decir, sin
ambigüedades.
Así que \( G \) será nuestra
regla de recurrencia que, formalizada, tomará forma de una cierta
función.
El inconveniente acá es que, ya que hablamos de
funciones, la \( G \) tiene que estar bien definida como tal.
Para ello debemos respetar el aspecto formal de toda función: una función bien definida tiene un
dominio y un
codominio, que son
ciertos conjuntos previamente especificados.
Es decir que, para definir la regla de recurrencia, necesitamos que previamente haya estos conjuntos bien concretos y previamente establecidos con los cuales definir la regla.
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¿Cuáles serían ese dominio y ese codominio?
En general, si la función de recurrencia \( f \) que se desea definir, es \( f:\mathbb{N}\to X \), para un conjunto dado \( X \), la regla de recurrencia \( G \) "haría" más o menos esto:
\( f(n+1)=G(...algo....) \)
(aún no he explicado qué es el "algo" que va en el argumento de la G).
Si te fijás con cuidado, sin importar qué hace la \( G \), ni qué es el "algo" a lo cual se aplica,
es claro que el valor que se obtiene ha de asignarse a \( f(n+1) \), que a su vez es una función con valores en \( X \).
Eso muestra claramente que lo "sensato" es que \( G \) sea una función con codominio \( X \), ya que allí han de "caer" sus valores.
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En cuanto al "algo", lo que vemos en toda regla de recurrencia (sencilla) es que al valor \( f(n+1) \) se lo hace depender del número natural \( n \), y también del valor que \( f \) toma en \( n \), es decir \( f(n) \). Pero \( f(n) \) es elemento de \( X \).
Así que el "algo" tiene que tener en cuenta números naturales \( n \) así como valores de \( X \).
Por otra parte, no hay manera de que la
regla de recurrencia sea capaz de predecir la relación entre \( n \) y \( f(n) \) antes de definir la función de recurrencia \( f \).
Por lo tanto, la regla \( G \) tiene que depender "libremente" tanto de \( n\in\mathbb N \) como de \( x\in X \).
Así, \( G(n,x) \) tiene que estar definida con claridad para todo \( n\in\mathbb N \) y todo \( x\in X \).
Por ello, el dominio de \( G \) termina siendo \( \mathbb{N}\times X \).
O sea que \( G \) es ahora una función \( G:\mathbb N\times X\to X \).
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La
regla \( G \) ha de ser independiente en su declaración de la "futura"
función de recurrencia \( f \).
Es decir, por una lado se indica la
regla, y por otro lado se hace la definición por
recurrencia a través del uso de la regla indicada.
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Con respecto a la
suma de números naturales, como el resultado será de nuevo un número natural, tenemos que el conjunto \( X \) coincide ahora con el mismo \( \mathbb N \).
Además, yo no usaría una sola recurrencia, sino muchas, para definir la suma.
Veamos.
Supongamos que \( m\in\mathbb N \) es un número natural prefijado.
Voy a definir una función \( f_m:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \) por
recurrencia, de la siguiente manera:
La
regla de recurrencia \( G \) sería:
\( G:\mathbb{N}\times{\mathbb{N}}\to\mathbb{N},\qquad G(n,x)=S(x). \)
\( f_m(1)=S(m) \), es decir, el
siguiente de \( m \).
\( f_m(n+1)=G(n,f_m(n))=S(f_m(n)) \)
Como se ve, la regla de recurrencia \( G \) es sencilla en este caso, ya que no aparece una dependencia explícita de \( n \).
Ahora, para cada \( m \) fijo hemos definido una función \( f_m \).
La
suma de números naturales puede definirse ahora así:
\( m+n=f_m(n). \)
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De manera algo más formal, lo que hemos hecho es definir una sucesión de funciones
\( \{f_m\}_{m\in\mathbb{N}} \), con dominio y codominio \( \mathbb{N} \)
cada una con su propia relación de recurrencia.
En realidad la regla de recurrencia usada para todas ellas es la misma (\( G(n,x)= S(x) \)), y sólo ha cambiado el
valor inicial dado a cada una. (\( f_m(1) \)).
