[nico]

Hola a todos consulto acerca del siguiente problema.

MNL es un triángulo equilátero cuyo baricentro es K. Las rectas MK y NL se cortan en A y las rectas LK y MN se cortan en B.
 c es la circunferencia determinada por M,B,A y c´ es la determinada por M,K,N

c\( \cap{} \)c´={M,D}

\( \omega \) es la circunferencia de centro D y que pasa por L. M´ y N´ son los inversos de M y N (respectivamente) respecto de \( \omega \)

1. Prueba que el ángulo LM´N´es recto.

2. Prueba que las circunferencias c y c´ son ortogonales.

3. Sea la circunferencia determinad por N´ , D y L. Prueba que esta circunferencia y la recta LN , son inversas respecto de omega.

4. A´B´ \( \cap{} \)c ={E,F} , (con E en el segmento M´N´) ; la bisectriz del ángulo FM´L corta a omega en G. Prueba que la circunferencia determinada por M, D y G es una circunferencia media entre c y c´.

Adjunto figura realizada en Geogebra.


1) En esta parte no me doy cuenta como probarlo.
Em esta parte estuve pensando de deteriminar que LN´es diametro de la circunferencia determinada por LM´N´pero no me doy cuenta cómo. Otro camino que pensé es por potencia y luego tratar de porbar que cumplen la relación de pitágoras para probar que el triángulos LM´N´es rectángulo. Ambos caminos son solo ideas.

2) En esta parte cómo LM´ es la inversa de c respecto de omega y M´N¨es el inverso de c' respecto de omega. Ya que ambas circunferencias pasan por el centro de inversión. Por parte anterior los inversos son perpendiculares, se tiene en c y c´ tienen que ser ortogonales.

Saludos

[martiniano]

Hola.

Yo lo que haría es responder primero a la parte 2 y luego a la 1. Voy a llamar \( O' \) al centro de \( c' \) y \( O \) al centro de \( c \). Para ello ten en cuenta que:

\( BD=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}NL \)

Y que por semejanza de los triángulos \( O'NL \) y \( NBL \):

\( \displaystyle\frac{O'N}{NL}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}NL}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}NL} \)

De donde:

\( OD=ON=NL\cdot{}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3} \)

Por otra parte:

\( O'B=BK=\displaystyle\frac{1}{3}BL=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}}NL=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{}}{6}NL \)

Y también:

\( O'L=O'B+BL=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot{\sqrt[ ]{3}}NL \)

Por tanto:

\( O'B\cdot{}O'L=\displaystyle\frac{1}{3}NL^2=O'D^2 \)

Y por potencia de \( O' \) sobre \( c \) el segmento \( O'D \) es tangente en \( D \) a \( c \) y las circunferencias \( c' \) y \( c \) son ortogonales.

Y luego para el apartado \( 1 \), creo que ya has visto que \( LM' \) y \( M'N' \) son los respectivos inversos de \( c' \) y \( c \) con respecto a \( \omega \), luego también serán ortogonales.

AÑADIDO:
Espero que esté todo correcto y que te sirva. Faltaría por demostrar algún detalle inicial y bastante sencillo. Si te quedan dudas cuéntalo.

Un saludo.