Hola
Quisiera saber si existe algún método para hallar una parametrización de la intersección de una esfera con un plano. Dicho con otras palabras, cómo poder hallar una función \( \alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^3 \) tal que \( Im(\alpha) = \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : ax+by+cz=d }\right\} \cap \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=\color{red}r\color{black} }\right\} \)
Entiendo que quisiste poner: \( \left\{{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=\color{red}r^2\color{black} }\right\} \).
Un procedimiento para hallar una posibilidad puede ser:
1) El radio \( \rho \) de la circunferencia intersección cumple:
\( \rho^2=r^2-d(plano,origen)=r^2-\dfrac{d^2}{a^2+b^2+c^2} \)
- Si \( \rho^2<0 \) el plano no corta a la esfera.
- Si \( \rho^2=0 \) el plano corta en un punto: es tangente a la esfera.
- Si \( \rho^2>0 \) el plano corta en una circunferencia a la esfera. Supondremos en lo que sigue que estamos en este caso.
2) Interseca la recta perpendicular al plano que pasa por el centro de la esfera con el propio plano. Eso te da el centro de la circunferencia intersección. Será:
\( C=\lambda(a,b,c) \) donde \( \lambda=\dfrac{d}{a^2+b^2+c^2} \)
3) Escoge dos vectores \( \vec u,\vec v \) ortogonales al vector \( (a,b,c) \), ortogonales entre si y de norma \( 1 \).
- Escoges un vector no nulo \( \vec u' \) cumpliendo \( \vec u'\cdot (a,b,c)=0 \).
- Escoges un vector no nulo \( \vec v' \) cumpliendo \( \vec v'\cdot (a,b,c)=0 \) y \( \vec v'\cdot \vec u'=0 \).
- Normaliza ambos: \( \vec u=\dfrac{\vec u'}{\|\vec u'\|} \) y \( \vec v=\dfrac{\vec v'}{\|\vec v'\|} \)
4) Entonces una posible parametrización es:
\( (x,y,z)=C+cos(\theta)\vec u+sin(\theta)\vec v,\qquad \theta\in [0,2\pi) \)
Saludos.
P.D. No he leído el documento de Fernando. Quizá alguna idea se intersequé con lo que he expuesto aquí.