Hola, ¿me pueden ayudar con este problema de espacios de Banach? ¡Muchas gracias!
Sea \( (E, \left\|{}\right\|) \) un espacio de Banach. Demostrar que si \( (x_n) \) converge débilmente a \( x \) en \( E \), entonces la sucesión \( ( \left\|{x_n}\right\|) \) es acotada.
Definición de convergencia débil:
Sea \( (E, \left\|{}\right\|) \) un espacio normado, sea \( (x_n) \subset{E} \) y sea \( x\in{E} \). La sucesión \( (x_n) \) se dice débilmente convergente a \( x \) en \( E \) si para cada \( f\in{E`} \)se tiene que \( f(x_n)\longrightarrow{f(x)} \) en \( \mathbb{K} \)
