[nktclau]

Hola GENTE!!! tengo que calcular el siguiente límite.

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{3+(-1)^x} \) Supongamos que \( x \in{\mathbb{R}} \)

Si \( x \in{\mathbb{Z}} \) y \( n \) es par entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{3+(-1)^x}=4 \)


Si \( x \in{\mathbb{Z}} \) y \( n \) es impar entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{3+(-1)^x}=2 \)

Ahí ya puedo ver que el límite no existe pues si existe es unico. Con una tendencia hacia \( +\infty \) si supongo que existe, o me puede dar diferente para pares e impares.

Personalmente creo que es suficiente para justificar matemáticamente que este límite. ¿Es así?

Y segunda pregunta.

¿De donde puedo sacar teoría respecto a casos como \( (-1)^\pi  \) que no existe? quiero ver porque no existe ¿para todos los irracionales es así y porque?

Desde ya muchísimas gracias!!!

Saludos

[ciberalfil]

Lo primero que debes saber es que la función exponencial solo se define para base positiva.

En matemáticas no existe la función \( a^x \) en la que \( a \) es un número negativo y \( x \) es un número real. No puede calcularse para valores de \( x \) irracionales. Es exactamente lo mismo que la división por 0, no puede realizarse porque no esta definida.

Si \( x \in{\mathbb{Z}} \) entonces hablamos de la función potencial y sí puede calcularse su valor con la base negativa, pero cuando \( x \) es irracional la cosa cambia bastante. No es posible realizar el cálculo.

Fíjate que cuando \( x\in{\mathbb{Q}} \) entonces puedes obtener hasta valores complejos, como es el conocidísimo caso de la unidad imaginaria:

\( \sqrt[ ]{-1}=(-1)^{1/2}=i \)

Por lo tanto debes empezar por explicar (definir) que entiendes por \( (-1)^x \) con \( x\in{\mathbb{R}} \)

Una vez expliques eso podemos empezar a trabajar en el límite que quieres resolver. De otra forma solo te puedo contestar que el límite no existe pero porque la función tampoco existe. Te la has inventado tu.

Busca en Internet por función exponencial y encontrarás mucha información.

Salu2

[Samir M.]

Hola.

Como ya te han comentado, debes tener claro cómo interpretas a \( a^x \) cuando \( x\in \mathbb{R} \). Supongamos que \( a<0 \) y \( x\in \mathbb{R} \). Entonces puedes definir la función \( f(x) = a^x  \) como \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} \) tal que \( a^x\mapsto |a|^xe^{i\pi x} \). En ese caso, \( (-1)^x = (e^{\pi i})^x = e^{i \pi x} = \cos(\pi x) + i \sin(\pi x) \) que simplemente oscila. Si suponemos que \( a<0 \) y restringimos \( x\in \mathbb{N} \), fíjate que si \( a_x = 3 + (-1)^x \) entonces \( a_{2x} = 4 \) y \( a_{2x+1} = 2 \).  Como las subsucesiones tienen límites distintos, \( a_x \) no converge. También puedes analizar el caso \( x = \dfrac{a}{b} \) con \( b \) impar.

Respecto a tu segunda pregunta, creo que queda respondida en la primera. Como curiosidad, también puedes mirar este resultado.

Saludos.

[nktclau]

MUCHÍSIMAS GRACIAS A AMBOS!!! ciberalfil y Samir M.


Ambas explicaciones me han servido MUCHO

Saludos