[7up]

Hola, estoy tratando de resolver un problema combinatorio.

Calcula los números enteros que hay entre \( 1000 \) y \( 9999 \) que cumplan :
La suma de sus dígitos es exactamente \( 9 \).

Para ello, he "modelado" algo el problema.
Paso a considerar 4 cajas, donde la primera son las unidades de millar de dicho número, la segunda las centenas, la tercera las decenas y la cuarta las unidades.
Ahora tengo que estudiar, las formas de repartir 9 bolas entre 4 cajas, de forma que en la primera caja siempre haya una bola al menos (ya que el número no puede empezar por cero).

Pero no sé exactamente qué hacer. Podrían ser combinaciones con repetición, pero tengo el problema de que en la primera caja debe haber al menos una bola.
Alguna pista...
Saludos.

[EnRlquE]

Hola.

 En tu modelo puedes considerar que una bola ya esta desde el principio en la primera caja, luego el problema se reduce a determinar el número de formas de repartir ocho bolas en las cuatro cajas que es equivalente a encontrar el número de formas de que cuatro enteros no negativos sumen \( 8 \).

 Otro modelamiento que tal vez te puede resultar más sencillo para encontrar el número de formas de que cuatro enteros no negativos sumen \( 8 \) es el siguiente: Considera 11 espacios vacíos y 3 bolas rojas (en cada espacio puede entrar una sola bola), luego el número de formas de que cuatro enteros no negativos sumen \( 8 \) es igual al número de formas de repartir las tres bolas en los 11 espacios. Por ejemplo en la figura

 Tenemos el caso \( 1+3+0+4=8 \) que corresponde al número \( 2\;304 \) (hemos aumentado una unidad a las unidades de millar ¿por qué?).

 Ahora es fácil darse cuenta que el número de posibilidades buscadas es igual a \( C^{11}_{3}=165 \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo que ha hecho Braguildur (que está muy bien por cierto) es demostrar la fórmula de las combinaciones con repeteción de 4 tipos de elementos tomados de 8 en 8.

Saludos.

[7up]

Hola
Entiendo tu otra propuesta, es más, me lo han demostrado de esa forma, pero no sé responder a tu pregunta:

(hemos aumentado una unidad a las unidades de millar ¿por qué?).

Quiero suponer que en realidad lo del dibujo era el número 1304, pero que dado el ejercicio, y la forma de plantearlo, consideramos que es el 2304 (como si fuera su correspondiente en el modelo real), pero no veo porque esto se puede hacer.

Otra pregunta:
¿Por qué esto mismo no me sirve para determinar el número de enteros que suman 9 entre 10 y 99?
Haciendolo como antes saldría que hay CR(8,2)=36, pero si los cuento a mano, no sale lo mismo :S


¡Muchas gracias!
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Dado un número \( abcd \) entre \( 1000 \) y \( 9999 \) cuyas cifras suman 9 le asignas un dibujito como ese de la siguiente forma: pones tantos ceros como indique \( a-1 \), luego un 1, luego tantos ceros como indique \( b \), luego un 1, leugo tantos ceros como indique \( c \), luego un 1 y luego tantos ceros como indique \( d \).

 Por ejemplo:

 3321 -> 00100010010
 4005 -> 00011100000
 1242 -> 10010000100

 Y recíprocamente dado un conjunto ordenado de 8 ceros y tres unos le puedes asignar un número entre 0000 y 9999 cuyas cifras suman 9. ¿Cómo?. Pues la cifra de los millares es el número de ceros que aparece al principio más 1; la de centenas los ceros que hay entre los 2 primeros unos; la de las decenas los ceros que hay entre los dos últimos unos; la de las unidades los ceros finales.

 Como esta correspondencia funciona bien en los dos sentidos contar una cosa equivale a contar la otra y el método funciona.

 En el caso de números cuyas cifras suman 9, entre 10 y 99, la cadena de unos y ceros tendría 1 uno y 8 ceros. Sería por tanto \( C^9_1=9 \) o si prefieres \( CR(2,8)=\displaystyle\binom{2+8-1}{8}=9 \) (combinaciones con repetición de 2 tipos de elementos tomados de 8 en 8).

 Fíjate que cuando lo "piensas" directamente como combinaciones con repetición los 2 tipos de elementos son unidades de decenas; al menos tienes que tomar una unidad (porque empiezas en 10) y las 8 restantes pueden ser de uno u otro tipo.

Saludos.

[7up]

Aham, ahora lo entiendo bien.
Tal vez si hubiera entendido bien la demostración desde un principio no os hubiera robado tiempo 

De la misma forma, si quisiera encontrar los numeros entre 1000 y 9999 donde sus cifras sumen 9, y que ningún dígito sea cero sería:
CR(4,5)=C(8,5)=56

Saludos.

[EnRlquE]

Hola.

 Con respecto a esto

Entiendo tu otra propuesta, es más, me lo han demostrado de esa forma, pero no sé responder a tu pregunta:

(hemos aumentado una unidad a las unidades de millar ¿por qué?).

Quiero suponer que en realidad lo del dibujo era el número 1304, pero que dado el ejercicio, y la forma de plantearlo, consideramos que es el 2304 (como si fuera su correspondiente en el modelo real), pero no veo porque esto se puede hacer.

 Recuerda que queremos que las cifras de los números contados sumen 9, se nos reserva el uno que agragamos al final (por eso contamos las formas de sumar 8) para asegurar que los números contados tengan la primera cifra mayor o igual que uno, por ejemplo, con el razonamiento que hicimos en mi anterior mensaje, cabe la posibilidad de encontrarse con el caso 0+1+2+5=8 al que le correspondería el número 0125 y agragandole el uno a la primera cifra obtenemos 1125 que es un número como los que buscamos (que sus cifras sumen nueve).

Saludos.