[RDC]

Imaginemos que tenemos una máquina que es similar a un bombo de lotería. Este bombo está lleno de bolas con números. Desde un inicio hay infinitas bolas con un número exclusivo y único para cada una de ellas.

En cada tirada cae una bola del bombo y se coloca ordenadamente en un tablero. Pero al colocar esta bola emerge, del propio tablero, otra bola nueva que tiene un número que ninguna otra bola tiene (ni lo tienen las bolas que están aún en el bombo ni las bolas que están ya colocadas en el tablero).

Entonces, la máquina automáticamente coge esta bola nueva y la coloca dentro del bombo, con lo cual puede salir en cualquier tirada futura.

La pregunta es: ¿existen bolas con números que jamás podrán salir del bombo y colocarse en el tablero?

[feriva]

Imaginemos que tenemos una máquina que es similar a un bombo de lotería. Este bombo está lleno de bolas con números. Desde un inicio hay infinitas bolas con un número exclusivo y único para cada una de ellas.

En cada tirada cae una bola del bombo y se coloca ordenadamente en un tablero. Pero al colocar esta bola emerge, del propio tablero, otra bola nueva que tiene un número que ninguna otra bola tiene (ni lo tienen las bolas que están aún en el bombo ni las bolas que están ya colocadas en el tablero).

Entonces, la máquina automáticamente coge esta bola nueva y la coloca dentro del bombo, con lo cual puede salir en cualquier tirada futura.

La pregunta es: ¿existen bolas con números que jamás podrán salir del bombo y colocarse en el tablero?

Hola, RDC.

Sí, porque vas contando una cantidad finita de bolas cada vez.

Tú imagina cualquier número racional tan largo como quieras, así, por ejemplo, \( 4,56609123...7 \). Al tener última cifra, ¿cuántos números distintos puedes formar añadiendo cifras sin fin detrás? Pues infinitos, y ese infinito es el cardinal de \( \mathbb{N} \), porque en un solo número puedes ir numerando las cifras de izquierda a derecha. Así, por cada número racional que aparezca en cada tirada del bombo (donde se entiende que las tiradas van unas detrás de otras, es decir, son numerables) tendrían que aparecer infinitos números en el tablero para que esutvieran todos los reales, si aparece uno más, dos más, tres... no van a estar todos nunca.

Saludos.

[Richard R Richard]

Si el bombo tenía infinitas bolas, nunca la podrás sacar todas y reemplazarlas con diferentes, ni siquiera es cuestión sobre si se mezclarán, ni sacando de a millones de millones por vez, tratar de contar al infinito uno por vez es tarea de nunca acabar, es decir nunca pasarás todas las bolas.

[RDC]

Le he propuesto el problema a Chatgpt4 y me dice los siguiente:

Spoiler

Para abordar este problema, vamos a reflexionar sobre el funcionamiento del bombo y el proceso mediante el cual las bolas son seleccionadas y nuevas bolas son generadas. La clave para resolver este problema radica en entender cómo la infinidad y los procesos iterativos afectan las posibilidades de que cada número sea seleccionado.

Paso 1: Definición del sistema

- Bombo inicial: Contiene una cantidad infinita de bolas numeradas de forma única.
- Proceso de selección: En cada tirada, una bola es seleccionada al azar y retirada del bombo.
- Generación de nueva bola: Una vez una bola es colocada en el tablero, inmediatamente se genera una nueva bola con un número único (que no ha sido utilizado anteriormente ni en el bombo ni en el tablero).
- Inserción de la nueva bola: La nueva bola generada se inserta de vuelta en el bombo.

Paso 2: Análisis de la infinitud y probabilidad

1. Infinitud del Bombo:
   - El bombo siempre contiene una cantidad infinita de bolas, aunque las bolas concretas dentro del bombo cambian con cada tirada.
   
2. Probabilidad de Selección de Cualquier Bola Específica:
   - En cada tirada, la probabilidad de que salga una bola específica es extremadamente baja pero nunca cero, dado que hay infinitas bolas.
   - La probabilidad nunca es cero porque cada bola es accesible para ser seleccionada eventualmente.

Paso 3: Consideraciones sobre la dinámica de reemplazo

- Cada número tiene una oportunidad de salir:
  - Cuando una bola es seleccionada y se coloca en el tablero, el número de la nueva bola generada también es único y se añade al bombo.
  - Por lo tanto, a lo largo de un número infinito de tiradas, cada bola (y número) eventualmente tiene la posibilidad de ser seleccionada.
 
- No hay números permanentemente inaccesibles:
  - Dado que cada número generado es único y el proceso permite la inclusión continua de nuevos números únicos, no existe un número que sea permanentemente excluido de la posibilidad de ser seleccionado.
  - Importante: aunque algunos números podrían tardar significativamente en ser seleccionados, la teoría de infinitos en matemáticas sugiere que dado tiempo o tiradas infinitas, cada número será eventualmente seleccionado.

Conclusión

En este sistema, no existen bolas con números que jamás puedan salir del bombo. Cada número, por el principio de la infinitud y la generación continua de nuevos números únicos, posee una probabilidad no nula de ser seleccionado, lo que significa que con un número infinito de tiradas, todas las bolas serán eventualmente seleccionadas.

Este resultado utiliza el concepto matemático de infinitos, donde el proceso iterativo garantiza que no hay exclusión permanente de ningún número en un sistema infinitamente operativo y regenerativo como el descrito.

[cerrar]

¿Donde consideráis que se equivoca chatgpt?

[RDC]

Si el bombo tenía infinitas bolas, nunca la podrás sacar todas y reemplazarlas con diferentes, ni siquiera es cuestión sobre si se mezclarán, ni sacando de a millones de millones por vez, tratar de contar al infinito uno por vez es tarea de nunca acabar, es decir nunca pasarás todas las bolas.

Hola Richard,

Lo que dice el Chatgpt sobre la probabilidad de sacar una bola con número concreto del bombo de infinitas bolas:

Spoiler

La cuestión de por qué la probabilidad de que salga una bola concreta, de entre las infinitas bolas en el bombo, no es cero es una excelente exploración de conceptos fundamentales en matemáticas, especialmente probabilidad y teoría de conjuntos infinitos. Veamos esto en detalle:

Conceptos básicos de probabilidad y conjuntos infinitos

1. Probabilidad en conjuntos finitos:
   - Si tienes un conjunto finito, por ejemplo, un bombo con 100 bolas numeradas del 1 al 100, la probabilidad de sacar cualquier bola específica (digamos la bola número 50) en una tirada es \( \frac{1}{100} \) o 1%.

2. Extensión a conjuntos infinitos:
   - En un conjunto infinito, intuitivamente podríamos pensar que la probabilidad de seleccionar un elemento específico (dada una distribución uniforme y aleatoria entre todos los elementos) se vuelve tan pequeña que se aproxima a cero, pero crucialmente, **no es cero**. Este es un punto sutil y se basa en la definición de probabilidad y la naturaleza del infinito.

Profundización en la probabilidad infinitesimal

La probabilidad de que una bola específica salga se define como el límite de la probabilidad de que la bola salga cuando el número de bolas tiende a infinito. Es decir, para un bombo con \( n \) bolas, la probabilidad \( P \) de que la bola con número específico \( k \) salga es \( \frac{1}{n} \). Si dejamos que \( n \) tienda a infinito:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]

Esto sugiere que la probabilidad se acerca a cero. Sin embargo, cada bola sigue siendo elegible para ser seleccionada porque:

- Principio de selección: En cada tirada, se selecciona una bola. La selección es uniforme y aleatoria, lo que implica que cada bola, no importa su número, tiene la posibilidad de ser elegida en esa tirada.

El principio de la cardinalidad infinita

- Hipótesis del infinito actual: En matemáticas, particularmente en la teoría de conjuntos de Cantor, se acepta que un conjunto infinito (como los números naturales, \( \mathbb{N} \)) tiene una cantidad infinita de elementos, denominada "cardinalidad".
 
- Equipotencia y probabilidad no nula: Aunque el cálculo anterior sugiere una probabilidad límite de cero, cada elemento del conjunto infinito (cada bola en nuestro bombo) tiene la misma capacidad de ser elegido que cualquier otro. En este sentido, en teoría y práctica matemática, se asume que esta probabilidad es infinitesimal pero no exactamente cero—cada número tiene una "oportunidad" de salir.

Conclusión lógica y matemática

- Probabilidad Infinitesimal: La probabilidad de que salga una bola específica de un conjunto infinito en una tirada específica es infinitesimal, una idea que se maneja en teorías de probabilidad avanzadas como la "medida" en espacios infinitos.

- Posibilidad de selección continua: En un sistema donde se repone y añade constantemente (como el bombo que siempre recibe una nueva bola única), cada número, aunque tiene una probabilidad individual infinitesimal de ser seleccionado, **eventualmente será seleccionado** dado un número infinito de tiradas.

Por lo tanto, en un bombo infinito con repuesto constante de elementos únicos y selección aleatoria uniforme, cada bola tiene una probabilidad no cero de ser seleccionada, explicado por la naturaleza de los conjuntos infinitos y la definición operativa de probabilidad en dichos conjuntos.

[cerrar]

[RDC]

Imaginemos que tenemos una máquina que es similar a un bombo de lotería. Este bombo está lleno de bolas con números. Desde un inicio hay infinitas bolas con un número exclusivo y único para cada una de ellas.

En cada tirada cae una bola del bombo y se coloca ordenadamente en un tablero. Pero al colocar esta bola emerge, del propio tablero, otra bola nueva que tiene un número que ninguna otra bola tiene (ni lo tienen las bolas que están aún en el bombo ni las bolas que están ya colocadas en el tablero).

Entonces, la máquina automáticamente coge esta bola nueva y la coloca dentro del bombo, con lo cual puede salir en cualquier tirada futura.

La pregunta es: ¿existen bolas con números que jamás podrán salir del bombo y colocarse en el tablero?

Hola, RDC.

Sí, porque vas contando una cantidad finita de bolas cada vez.

Tú imagina cualquier número racional tan largo como quieras, así, por ejemplo, \( 4,56609123...7 \). Al tener última cifra, ¿cuántos números distintos puedes formar añadiendo cifras sin fin detrás? Pues infinitos, y ese infinito es el cardinal de \( \mathbb{N} \), porque en un solo número puedes ir numerando las cifras de izquierda a derecha. Así, por cada número racional que aparezca en cada tirada del bombo (donde se entiende que las tiradas van unas detrás de otras, es decir, son numerables) tendrían que aparecer infinitos números en el tablero para que esutvieran todos los reales, si aparece uno más, dos más, tres... no van a estar todos nunca.

Saludos.

Hoal Feriva, esto me contesta el chatgpt a tu respuesta:

Spoiler

Para responder adecuadamente a la objeción planteada y aclarar cualquier confusión, es crucial primero entender correctamente los detalles y las implicaciones del argumento proporcionado por la persona que discrepa con la explicación inicial. Vamos a desglosarlo y responder utilizando principios lógico-matemáticos claros:

### Clarificación del Problema

**Premisa del Bombo:**
- Tenemos un bombo con infinitas bolas, cada una con un número único.
- Cada vez que se extrae una bola, se coloca en un tablero y **emerge una nueva bola con un número único** que se añade al bombo.

**Objeción Planteada:**
- La objeción usa el concepto de números racionales y su capacidad de formar "infinitos nuevos números" por extensión, aplicando esta idea al problema del bombo.
- Sugiere que debido a la estructura numerable de las tiradas (cada tirada sigue a la anterior en una secuencia ordenada), nunca se podrán cubrir "todos los reales" porque se pueden generar infinitos números adicionales a partir de cualquier número racional dado.

### Análisis de la Objeción

1. **Malentendido entre Racionales y Reales**:
   - La objeción parece confundir los conjuntos de números racionales (que son numerables) con los números reales (que son no numerables). El bombo y el tablero en el problema no necesitan cubrir "todos los reales" porque solo se mencionan números únicos sin especificar que deben ser reales o abarcar todo el conjunto de los números reales.
   
2. **Infinitud Numerable vs. Infinitud No Numerable**:
   - Los números racionales, como los enteros, son infinitos pero **numerables**, lo que significa que podemos listarlos en una secuencia (1, 2, 3, …, etc.).
   - Los números reales incluyen irracionalidades y tienen una infinitud **no numerable**, lo que implica que no pueden listarse en una secuencia completa sin dejar "huecos".

3. **Aplicación al Problema del Bombo**:
   - Cada bola que cae del bombo y se coloca en el tablero tiene un número único y genera otro número único que se añade al bombo.
   - Este proceso asegura que cada número único eventualmente tiene la posibilidad de ser seleccionado, no importa cuán grande sea el número, porque la secuencia de tiradas es infinita y cada número único eventualmente aparecerá en una tirada.

### Conclusión Lógica

- **Numerabilidad de las Tiradas**:
  - Cada tirada es un evento en una secuencia numerable de eventos (1ª tirada, 2ª tirada, …, n-ésima tirada, etc.).
  - Aunque cada número racional puede extenderse para formar infinitos nuevos números, cada bola generada es distinta y única, por lo tanto, cada número posible está asegurado de ser eventualmente seleccionado debido a la naturaleza infinita y continua del proceso.

- **Respuesta a la Objeción**:
  - La preocupación de que "no van a estar todos nunca" se basa en una interpretación errónea de los tipos de infinitos involucrados. En este problema, estamos tratando con un conjunto numerable de números únicos (como los números naturales), y cada uno tiene una oportunidad garantizada de ser seleccionado, sin importar cómo se extiendan los números.
  - La generación de "infinitos números" a partir de un número dado (por extensión de dígitos) no es relevante aquí porque el problema no requiere cubrir un espectro continuo de números reales, sino simplemente asegurar que cada número único que existe o se crea pueda ser seleccionado.

### Conclusión Final

En resumen, la objeción confunde la necesidad de cubrir un conjunto continuo de números (como los reales) con la tarea de seleccionar cada número de un conjunto infinito pero numerable de números únicos. El sistema del bombo, tal como está configurado, garantiza que cada número único (racional o no, bajo la suposición de que cada bola tiene un número único de cualquier tipo) será eventualmente seleccionado en el proceso infinito de tiradas, refutando la preocupación de que algún número pueda ser permanentemente excluido.

[cerrar]

[RDC]

Feriva, a raíz de tu propuesta le he dicho al chatgpt que las bolas tienen números reales. Entonces él ha supuesto que al inicio tenemos infinitas bolas en el bombo con todos los reales posibles y de ello ya sí deduce que para un cierto subconjunto infinito de bolas del bombo su posibilidad de salir del bombo será 0, dado que el número de tiradas posibles es numerable mientras el conjunto de bolas no es numerable.

Por tanto, es imposible coger todas las bolas del bombo y listarlas, es decir, ordenarlas tipo 1º bola, 2º bola, etc. es decir, resulta imposible identificarlas una a una.

También, supongo, es imposible obtener infinitos reales empleando métodos naturales (operando de forma que nos dé números reales uno a uno).

saludos

[Richard R Richard]

Si me nombras esa máquina innombrable conmigo vas frito . Si supones que algo que es mas inteligente que yo y no alguíen para dar respuestas....


que sea mas rápido y con mas memoria, será hasta que nazcamos con chips incorporados...


Cuanto gana su diseñador como startup, ha compartido sus ganancias contigo?, le vas a permitir que una respuesta mía, que te la doy gratis y de buena onda a tí aquí, la tome en su algoritmo para hacer supuestamente mejor su próxima respuesta, tu ganas "conocimiento" , yo nada, ellos dinero., reconocimiento.....
Por eso trato de que no se nutra un proyecto dedicado a ganar plata de mi obra altruista. Solo es un comentario que hago cada vez que nombran lo innombrable, que solo puede darte una respuesta certera si alguien se la puso allí colaborando, o bien robando derechos de autor como se sabe ha pasado, es una posición mía tomada, quizá me arrepienta a futuro, hoy no sirve para nada , mas que para enriquecer a alguien que no soy yo.


Así que responderé a tus dudas no a las de la máquina.


Aver , si tu puedes escribir un número sobre la bola, debe ser un entero o un racional expresado en forma fraccional, o marcando un periodo, es claro que no puedes escribir a ningun real mas que los que abarcan esos dos conjunto previos.
La probabilidad de sacar una determinada bola no es nula, lo mismo aunque no repongas el bombo. Una vez que hayas quitado infinitas bolas del bombo seguirá habiendo infinitas más dentro aún,(imagina que quitaste de casualidad todas las pares, y son infinitas las que quedan impares) no puedes quitarlas todas de una en una, pero si puedes quitar todo el conjunto, las sacas todas juntas  del mismo modo que las haya puesto y listo , para valerme de tus abstracciones.


Primero te digo una objeción a tu problema, si tu tienes todas las bolas numeradas en el bombo, no podrías numerar las bolas del tablero con otros números que no sean repetidos, por lo que allí hay una incongruencia. Aunque me puedes plantear una objeción en el bombo eran todas bolas pares y del tablero comienzan a salir todas bolas impares.


Cual es mi objeción para tu máquina, es que el concepto de probabilidad está basado en calcular casos exitosas de ocurrencia sobre casos totales, la máquina falla al contestarte que las puede sacar todas, porque no puede establecer cuando tendrá un caso exitoso.  Yo le preguntaría cuánto tiempo le llevaría extraer la bola numerada con 178236888 por poner un ejemplo. Si el tiempo que te dice es infinito , es el mismo tiempo que pasará cuando un evento no sucede , entonces esa bola no saldrá nunca o que debo esperar una eternidad es equivalente, ergo su respuesta es incorrecta.


Y son incorrectas como todas las que vengo leyendo, por mas que la máquina me escriba con lo que sabe 10000000000 de libros son todos de cuento, historietas o copie y pega de otro traducido  de algún país donde las leyes de derecho de autor hacen aguas... y ya me enrosco de nuevo.

[feriva]

Feriva, a raíz de tu propuesta le he dicho al chatgpt que las bolas tienen números reales. Entonces él ha supuesto que al inicio tenemos infinitas bolas en el bombo con todos los reales posibles y de ello ya sí deduce que para un cierto subconjunto infinito de bolas del bombo su posibilidad de salir del bombo será 0, dado que el número de tiradas posibles es numerable mientras el conjunto de bolas no es numerable.

Por tanto, es imposible coger todas las bolas del bombo y listarlas, es decir, ordenarlas tipo 1º bola, 2º bola, etc. es decir, resulta imposible identificarlas una a una.

También, supongo, es imposible obtener infinitos reales empleando métodos naturales (operando de forma que nos dé números reales uno a uno).

saludos

Sí, yo he supuesto que te referías a reales.

De todas formas no sé si he interpretado bien lo querías decir:

En cada tirada cae una bola del bombo y se coloca ordenadamente en un tablero. Pero al colocar esta bola emerge, del propio tablero, otra bola nueva que tiene un número que ninguna otra bola tiene (ni lo tienen las bolas que están aún en el bombo ni las bolas que están ya colocadas en el tablero).

Ahí entiendo que si el número no lo tiene el bombo, puede ser, por ejemplo, un irracional, de manera que el bombo sólo tenga racionales.
Pero cuando preguntas si existen bolas que no pueden salir jamás del bombo, me refiero a los reales que faltan como números en general, no como números obligados a estar en el bombo.

Para ser más claro:

Entendí que tenías un conjunto numerable en el bombo, que seguirá siendo numerable aunque parezca 1 o 100 bolas en el tablero (tendrían que aparecer infinitas distintas cada vez para no serlo). Por tanto, existirán números reales que no salgan del bombo nunca ni aparezcan en el tablero nunca.


Saludos.

[RDC]

Si me nombras esa máquina innombrable conmigo vas frito . Si supones que algo que es mas inteligente que yo y no alguíen para dar respuestas....


que sea mas rápido y con mas memoria, será hasta que nazcamos con chips incorporados...


Cuanto gana su diseñador como startup, ha compartido sus ganancias contigo?, le vas a permitir que una respuesta mía, que te la doy gratis y de buena onda a tí aquí, la tome en su algoritmo para hacer supuestamente mejor su próxima respuesta, tu ganas "conocimiento" , yo nada, ellos dinero., reconocimiento.....
Por eso trato de que no se nutra un proyecto dedicado a ganar plata de mi obra altruista. Solo es un comentario que hago cada vez que nombran lo innombrable, que solo puede darte una respuesta certera si alguien se la puso allí colaborando, o bien robando derechos de autor como se sabe ha pasado, es una posición mía tomada, quizá me arrepienta a futuro, hoy no sirve para nada , mas que para enriquecer a alguien que no soy yo.

Ok, no se repetirá con tus comentarios.

A mi me hace gracia el chat y me ayuda en ciertas cosas. Intento sacarle jugo. Además esta semana lo han mejorado.

Así que responderé a tus dudas no a las de la máquina.


Aver , si tu puedes escribir un número sobre la bola, debe ser un entero o un racional expresado en forma fraccional, o marcando un periodo, es claro que no puedes escribir a ningun real mas que los que abarcan esos dos conjunto previos.
La probabilidad de sacar una determinada bola no es nula, lo mismo aunque no repongas el bombo. Una vez que hayas quitado infinitas bolas del bombo seguirá habiendo infinitas más dentro aún,(imagina que quitaste de casualidad todas las pares, y son infinitas las que quedan impares) no puedes quitarlas todas de una en una, pero si puedes quitar todo el conjunto, las sacas todas juntas  del mismo modo que las haya puesto y listo , para valerme de tus abstracciones.

De hecho, para ser más preciso, se puede escribir cualquier algebraico sobre una bola. Lo que no se puede escribir es todos los transcendentales; solo algunos. Esto según la idea de que los algebraicos son listables y los transcendentales no se pueden listar.

Esto es bastante curioso: es imposible describir de forma finita (usando una cadena finita de símbolos, como $$\sqrt[ ]{},+,sin(), log_a()$$, etc) todos y cada uno de los trascendentales. ¿Significa eso que no se pueden obtener mediante ninguna operación? Pero si no se pueden obtener mediante ninguna operación ¿Acaso existen? No sé, muy raro.

Primero te digo una objeción a tu problema, si tu tienes todas las bolas numeradas en el bombo, no podrías numerar las bolas del tablero con otros números que no sean repetidos, por lo que allí hay una incongruencia. Aunque me puedes plantear una objeción en el bombo eran todas bolas pares y del tablero comienzan a salir todas bolas impares.

En efecto, esta es una opción. O en el bombo todo son primos y en el tablero salen todo compuestos.

Cual es mi objeción para tu máquina, es que el concepto de probabilidad está basado en calcular casos exitosas de ocurrencia sobre casos totales, la máquina falla al contestarte que las puede sacar todas, porque no puede establecer cuando tendrá un caso exitoso.  Yo le preguntaría cuánto tiempo le llevaría extraer la bola numerada con 178236888 por poner un ejemplo. Si el tiempo que te dice es infinito , es el mismo tiempo que pasará cuando un evento no sucede , entonces esa bola no saldrá nunca o que debo esperar una eternidad es equivalente, ergo su respuesta es incorrecta.

Bueno, diría que no puede pasar un tiempo infinito. Pero si puede ser que el tiempo tienda a infinito, que no es lo mismo.

Y son incorrectas como todas las que vengo leyendo, por mas que la máquina me escriba con lo que sabe 10000000000 de libros son todos de cuento, historietas o copie y pega de otro traducido  de algún país donde las leyes de derecho de autor hacen aguas... y ya me enrosco de nuevo.

No entiendo qué quieres decir.

En todo caso, cabe interpretar este problema imaginario del siguiente modo:

Tenemos un bombo con infinitas bolas, cada una con un número concreto y exclusivo. La probabilidad que salga una bola con un número concreto tiende a 0, pero nunca es cero. De modo, que basta un nº de tiradas suficientemente grande como para que salga.

saludos