[lowea]

¡Buenas!

Un objeto que se arroja desde el borde de un acantilado de \( 100 \) pies sigue la trayectoria dada por \( y=-\dfrac{x^{2}}{10}+x+100 \). Un observador se encuentra parado a \( 2 \) pies del fondo del acantilado.

a) Encuentre la posición del objeto cuando está más cerca del observador.
b) Encuentre la posición del objeto cuando está más lejos del observador.

¡Saludos!

[Richard R Richard]

¡Buenas!

Un objeto que se arroja desde el borde de un acantilado de \( 100 \) pies sigue la trayectoria dada por \( y=-\dfrac{x^{2}}{10}+x+100 \). Un observador se encuentra parado a \( 2 \) pies del fondo del acantilado.

a) Encuentre la posición del objeto cuando está más cerca del observador.
b) Encuentre la posición del objeto cuando está más lejos del observador.

¡Saludos!

aclaro

2 pies del fondo lo interpreto en altura de ordenadas, no en una supuesta abscisa a nivel de suelo. Para otra interpretación necesitaría un grafico que lo ejemplifique , es decir interpretar que el observador esta en posición $$(x,y)=(2,0)$$  y luego maximizar y minimizar la distancia a la parábola  no es lo que he considerado

[cerrar]

La distancia mas corta existirá cuando el objeto atraviese el plano a 2 pies del suelo es decir, como no te dan la coordenada $$x$$ a la que se puede colocar el observador tu la supones cuando x resuelve la ecuación

$$y=2=-\dfrac{x^{2}}{10}+x+100$$  que da por resultado positivo $$x=36.702$$ así si el objeto pasará a distancia cero cuando pase por $$(x,y)=(36.702,2)$$

y la más lejana respecto de un observador paralelo al suelo  sucede cuando el objeto alcance la máxima altura , para ello derivas la ecuación de la trayectoria , igualas a cero la ecuación de la pendiente, verificas que la segunda derivada sea negativa en el punto donde se anula la primera y si esto es posible, esa posición será el punto de máxima distancia.

$$\dfrac{\partial y}{\partial x}=0=-\dfrac{1}{5}x+1=0  \quad\to\quad x=5$$ además $$\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-\dfrac{1}{5}<0$$ entonces hay un máximo

la máxima estará en $$(x,y)=(5,2)$$

Saludos.

[lowea]

¡Buenas!

Un objeto que se arroja desde el borde de un acantilado de \( 100 \) pies sigue la trayectoria dada por \( y=-\dfrac{x^{2}}{10}+x+100 \). Un observador se encuentra parado a \( 2 \) pies del fondo del acantilado.

a) Encuentre la posición del objeto cuando está más cerca del observador.
b) Encuentre la posición del objeto cuando está más lejos del observador.

¡Saludos!

aclaro

2 pies del fondo lo interpreto en altura de ordenadas, no en una supuesta abscisa a nivel de suelo. Para otra interpretación necesitaría un grafico que lo ejemplifique , es decir interpretar que el observador esta en posición $$(x,y)=(2,0)$$  y luego maximizar y minimizar la distancia a la parábola  no es lo que he considerado

[cerrar]

La distancia mas corta existirá cuando el objeto atraviese el plano a 2 pies del suelo es decir, como no te dan la coordenada $$x$$ a la que se puede colocar el observador tu la supones cuando x resuelve la ecuación


$$y=2=-\dfrac{x^{2}}{10}+x+100$$  que da por resultado positivo $$x=36.702$$ así si el objeto pasará a distancia cero cuando pase por $$(x,y)=(36.702,2)$$


y la mas lejana respecto de un observador paralelo al suelo  sucede cuando el objeto alcance la máxima altura , para ello derivas la ecuación de la trayectoria , igualas a cero la ecuación de la pendiente, verificas que la segunda derivada sea negativa en el punto donde se anula la primera y si esto es posible, esa posición será el punto de máxima distancia.


$$\dfrac{\partial y}{\partial x}=0=-\dfrac{1}{5}x+1=0  \quad\to\quad x=5$$ además $$\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-\dfrac{1}{5}<0$$ entonces hay un máximo


la máxima estará en $$(x,y)=(5,2)$$



Saludos

Buenas, Richard

¡Gracias! Creo que se considera la distancia del observador a \( 2 \) pies de la base del acantilado sobre el eje \( x \) de acuerdo con el solucionario, es decir, en la coordenada \( (2,0) \):

Solución:

Estamos interesados ​​en encontrar los extremos globales para la distancia del objeto desde el observador. Obtendremos este resultado considerando en su lugar la distancia al cuadrado. El cuadrado de la distancia puede ser expresado como:

\( D(x)=(x-2)^{2}+(100+x-\dfrac{x^{2}}{10})^{2} \)

La primera y segunda derivada están dadas por:

\( D'(x)=\dfrac{1}{25}x^{3}-\dfrac{3}{5}x^{2}-36x+196 \)

\( D''(x)=\dfrac{3}{25}(x^{2}-10x-300) \)

Usando un paquete de computadora, podemos resolver esta ecuación \( D'(x)=0 \) para encontrar los puntos críticos. Los puntos críticos son \( x\approx{5.1538} \), \( x\approx{36.148} \). Usando la segunda derivada vemos que

\( D''(5.1538)\approx{-38.9972} \) (máximo) y

\( D''(36.148)\approx{77.4237} \) (mínimo)

Por lo tanto, la posición del objeto más cercana al observador es \( \approx{(36.148,5.48)} \) mientras que la posición del objeto más lejana de la persona es \( \approx{(5.1538,102.5)} \).

Mi duda es, ¿por qué se considera el cuadrado de la distancia del observador al objeto para llegar a la solución? Creía que era para simplificar los pasos ya que al derivar

\( D(x)=\sqrt{(x-2)^{2}+(100+x-\dfrac{x^{2}}{10})^{2}} \)

la cosa se complica un poco, pero revisando esa opción en graficadora veo que la curva de la primera derivada no tiene raíces:

\( D'(x)=(\dfrac{1}{100}x^{4}-\dfrac{1}{5}x^{3}-18x^{2}+196x+10004)^{-\dfrac{3}{2}}(\dfrac{1}{50}x^{3}-\dfrac{3}{10}x^{2}-18x+98) \)

¡Saludos!

[delmar]

Hola

Se considera el cuadrado de la distancia, por que el x que minmiza o maximiza la distancia, es el mismo que el x que minimiza o maximiza el cuadrado de la distancia. Y se lo prefiere por que  el proceso es más sencillo.


Saludos

[ancape]

......

......

Hola
Tal como expones en la figura, la trayectoria es un trozo de parábola contenido en el primer cuadrante y el observador está en el punto \( (2,0) \). El problema es equivalente al de hallar los extremos de la distancia de un punto fijo a un arco de curva finito.

Cuando se tiene este tipo de problemas, los extremos los dan puntos internos al arco en cuyo caso son también extremos relativos o son bordes del arco en cuyo caso no son relativos y por tanto no se buscan haciendo la derivada cero. En resumen, para buscar las distancias máxima y mínima de un punto a un arco, debemos encontrar los puntos en que se hace la derivada cero. Se calcula el valor en dichos puntos y se calcular las distancias a los extremos del arco. El número mas grande da el máximo y el más pequeño el mínimo.

En este caso la derivada de la función distancia de \( (2,0) \) a los puntos del arco de parábola, no tiene raíces como has dicho (yo creo que sí y posiblemente esto nos dé un máximo), así (si D' no tuviese raíces) las distancias máxima y mínima serían respectivamente la distancia de \( (2,0) \) a \( (0,100) \) y distancia de \( (2,0) \) a \( (5+5\sqrt[ ]{41},0) \). (El dibujo no está a escala, el punto en vertical está más lejos que en horizontal, pero el resultado es geométricamente compatible con la figura salvo por la horizontalidad de la trayectoria).

Saludos

[ancape]

Hola

Acabo de hacer las cuentas con Maple y tal como preveía existen puntos en que la derivada de la función distancia tiene raíces. Estos valores de \( x \) son -26,3016; 5.1538; 36,1477.
El primero y el último no valen pues los puntos de la parábola que asocian quedan fuera del primer cuadrante. El valor de la distancia de \( (2,0) \) al segundo es 102.5461. Así tenemos para comparar los números \( 100,5+5\sqrt[ ]{41},102.5461 \) y por tanto la mínima distancia se alcanza en \( (5+5\sqrt[ ]{41},0) \) y la máxima en \( (5.1348,0) \). El objeto que se lanza, primero se eleva y luego cae.

Saludos

[lowea]

¡Gracias por sus respuestas!