Hola a todos, Carlos te respondo a tu último mensaje.
A)
Carlos te repito por última vez, aplicando lo básico de la teoría de la gravedad que crea una partícula puntual en un punto dado P'. La gravedad generada en ese punto siempre es un vector que tiene como módulo \( g=\frac{GM}{r^2} \) ,donde r es la distancia que los separa y como dirección y sentido la línea que une el punto P' con la masa puntual, en sentido hacia la partícula puntual. Y sabiendo que una esfera hueca la podemos considerar como formada de infinitas partículas puntuales repartidas por toda la superficie.
En cualquier punto del eje x de la esfera incluido los de la superficie, según lo que acabo de decir en las líneas de arriba, para cada masa elemental dm, existe otra simétrica, d'm, en la otra semiesfera que hace que las componentes \( E_y \), \( E_z \)se anulen. Por lo tanto a nivel total igualmente, tanto la componente \( E_y \) como la \( E_z \) se anularán. Esto es consecuencia de la simetría esférica que tiene el objeto másico creador de la gravedad y de las propiedades de las fuerzas gravitatorias que crean las infinitas partículas que forman la esfera.
Esto es así desde el punto de vista físico y esto es irrefutable.
Como he dicho en mi anterior mensaje si existe algún físico que no esté de acuerdo con esto que lo diga ahora, explicando el motivo.
Por lo tanto, sólo tenemos una componente de la gravedad, \( E_x \), sobre la que discutir, si es que no estuvieras de acuerdo con el resultado que he obtenido.
Realmente Carlos tienes un problema y es que este resultado , \( E_y=E_z=0 \), que fácil sale de la Física , tú dices que no estás de acuerdo, y esto conlleva a replantearte qué es lo que está mal en tus argumentos matemáticos sobre integración.
Yo voy a hacer un último intento para que entendáis como se puede armonizar este resultado de la Física y la integración matemática, en el punto siguiente lo explico.
B) Lo primero es recordar que es la integral de una función, para tenerlo siempre presente:Dada una función f(x), de un variable real x , y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano XY, limitada entre gráfica de f(x), el eje x y las líneas verticales x=a y x=b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
Y un poco de historia sobre la integración para entender lo que viene (por favor descargar el fichero para poder leer correctamente):
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Carlos te explico lo que pasa
Tú estás demostrando todo creyendo que estás trabajando con la integral de Lebesgue pero esto no es el entorno donde estamos hablando sino es con integrales de HK y lo demuestro a continuación.
El concepto de la integral de Lebesgue está definida para una función \( f(x) \) con dominio en un intervalo finito [a,b] y cuya imagen está acotada.
Esto último es debido a que en su definición se crean las particiones en la imagen de la función f(x) y no en la variable x como en el caso de Riemann o en HK.
Con esta definición, toda función integrable en Lebesgue tiene como consecuencia que su integral es finita siempre y de igual forma la integral del valor absoluto de la función es finita.
Es decir si una función es integrable en Lebesgue su integral y la de su valor absoluto tiene un valor finito.
Bien cuando se dice que una función es integrable en Lebesgue indica que puede hacerse las particiones en la imagen (por eso la función f(x) debe ser acotada) y se puede aplicar la regla de Barrow para calcular la integral.
Si una función no es acotada, entonces no es integrable en Lebesgue y no se puede utilizar la regla de Barrow para integrar la función y no se puede dar ningún valor de la integral como resultado.
Supongamos los supuestos siguientes:
1) ¿Qué ocurre si una función ,f(x), tiene primitiva ,F(x), pero al aplicar la regla de Barrow, su integral y la de su valor absoluto sale infinita?.
Esto implica que está función no es integrable en Lebesgue y no puede dar ningún valor como resultado para la integral. ¿ Por qué es esto?
El razonamiento es el siguiente, supongo que es integrable, y por lo tanto puede utilizarse la regla de Barrow, por lo tanto la integral debe ser finita si es de Lebesgue integrable, pero como la integral es infinita, eso indica que la premisa inicial supuesta (que la función es integrable Lebesgue) no es cierta y por lo tanto esta función no es Lebesgue integrable, por lo tanto, no es posible dar ningún valor resultado para la integral.
El resultado de la integral no es que sea infinito sino que no se puede dar ningún valor de la integral debido a que esta función no está permitido integrar como Lebesgue. 2) Supongamos que tengo una resta de 2 integrales de 2 funciones que tienen primitiva las dos y una de esas integrales al realizar la regla de Barrow, sale infinita.
En este caso está claro que esta función que su integral diverge no es integrable en Lebesgue y por lo tanto no se puede dar ningún valor resultado para esa integral. Por lo tanto si hay alguna de las integrales que no sabemos calcular la integral, esto hace que la resta de ambas funciones tampoco se pueda integrar y por tanto la resta de estas integrales no es integrable en Lebesgue.
3) Supongamos que tengo una función \( f(x,y)= g(x) h(y) \) está definida en un rectángulo y las funciones \( g(x) \) y \( h(y) \) ambas tienen primitivas en todo R, pero alguna de estas 2 funciones el cálculo con la regla de Barrow, sale infinita. ¿Qué pasa si intentamos integrar la función en un rectángulo mayor que incluya a éste?
En este caso como en el primer rectángulo la función es no integrable en Lebesgue, es decir, no se puede calcular su integral. Entonces cualquier integral que contenga a este rectángulo tampoco se podrá calcular la integrar y diremos que la función es no integrable en Lebesgue para el rectángulo mayor.
Carlos todo lo que estás demostrando hasta aquí en tus mensajes sería correcto si estuviéramos hablando de funciones integrables en Lebesgue, pero la realidad es que no es el entorno en el que estamos inmerso, sino que estamos en el entorno de integración HK.
Con la integración HK todo cambia, pues no exige que la función a integrar sea acotada y ya no exige ninguna condición de integrabilidad de la función encadenada al resultado de su integral. Existe un teorema en integración HK que dice: Que si una función tiene primitiva entonces esa función es integrable HK.
Fíjaros que no dice nada sobre si el la integral sea un número finito o infinito.
Entonces si una función tiene primitiva, entonces es integrable en HK y podemos utilizar la regla de Barrow . La integral nos da el valor del área de la función, si el área es infinita entonces la integral sale infinita, pero no hay ningún problema sobre la integrabilidad en HK. Veamos como cambia los 3 supuestos anteriores:
1) ¿Qué ocurre si una función ,f(x), tiene primitiva ,F(x), pero al aplicar la regla de Barrow, su integral y la de su valor absoluto sale infinita?.
En HK al tener la función f(x) su primitiva, la función es integrable en HK y podemos utilizar la regla de Barrow y el valor de la integral ahora sí podemos decir que es infinita. Es decir que el área que representa esta integral es infinita.
2) Supongamos que tengo una resta de 2 integrales de 2 funciones que tienen primitiva y una de esas integrales al realizar la regla de Barrow, sale infinita.
En este caso las 2 funciones a restar sus integrales, son integrables en HK y por tanto podemos utilizar la regla de Barrow para ambas, de forma que \( \int_a^b f(x) dx -\int_c^d g(x) dx \) tendrá 2 posibles resultados:
a) El resultado de la integral divergente en todos los casos menos en uno (caso b).
b) El resultado de la integral es cero cuando f(x) = g(x),, a=c,, b=d. pues en este caso tendríamos que \( \int_a^b f(x) dx -\int_c^d g(x) dx= F(b)-F(a) -( F(b) - F(a))= 0. \)
3) Supongamos que tengo una función \( f(x,y)= g(x) h(y) \) está definida en un rectángulo y las funciones \( g(x) \) y \( h(y) \) ambas tienen primitivas en todo R, pero alguna de estas 2 funciones el cálculo con la regla de Barrow, sale infinita. ¿Qué pasa si intentamos integrar la función en un rectángulo mayor que incluya a éste?
En este caso las funciones \( g(x) \), \( h(y) \) son integrable en HK en todo el rectángulo y podemos utilizar la regla de Barrow y se puede demostrar para este tipo de funciones, que el Teorema de Fubini se cumple siempre y por lo tanto la función \( f(x,y) \) es integrable en HK,.
Tenemos 2 posibles resultados para esta integral de \( f(x,y) \), suponiendo que \( \int_a^b g(x) dx = G(b) - G(a) = infinito \):
a) El resultado de la integral diverge en todos los casos menos en uno (caso b).
b) El resultado de la integral sale 0 cuando \( \int_c^d h(y) dy = H(c) - H(d)= 0 \). pues en este caso tendremos siempre
\( \int_c^d \int_a^b g(x) h(y) dx dy = (G(b) - G(a)) (H(c) - H(d)) = (G(b) - G(a))· 0= 0 \)
\( \int_a^b \int_c^d g(x) h(y) dy dx = (H(c) - H(d)) (G(b) - G(a)) = 0 · (G(b) - G(a)) = 0 \).
Resaltar que no hay ninguna indeterminación, pues el número 0 multiplicado por cualquier número es 0.
En definitiva las funciones que tenemos que integrar para calcular las componentes \( E_z \) y \( E_y \)son funciones del tipo\( f(x,y)= g(x) h(y) \), con las funciones \( g(x) \) y \( h(y) \) ambas tienen primitivas en todo R y además estamos en el caso b) con lo que el resultado para \( E_y=E_z= 0 \).
El cálculo de la integral para la semiesfera en HK da como resultado que la función es integrable en HK debido a que tiene primitiva y al aplicar la regla de Barrow el resultado de la integral diverge, es decir el área de la función es infinita.
En definitiva la integrabilidad de las funciones en HK no depende del valor de la integral y para el caso de funciones que tienen primitiva todas las funciones son integrables en HK.
Con esto he tratado de explicar que lo que explica Carlos no es correcto en HK. Sí sería correcto en la integración Lebesgue.
Es curioso que después de cientos de años de formalización de la integral se vuelva a los inicios de donde partió todo, Newton-Leibniz.
Todo lo que dice Masacroso es correcto, lo cual no apoya nada de lo que dices tú. Él calcula una integral que sí que existe (al quitar el entorno \( U_\epsilon \)) y calcula un límite que sí que existe y da lo que él dice. Pero el problema de que el integrando no sea integrable es que, cambiando los entornos \( U_\epsilon \) por otros entornos elegidos con mala idea, puedes hacer que el mismo límite de casi cualquier resultado. En particular, puedes hacer que las componentes \( E_y, E_z \) no sean nulas y valgan lo que tú quieras a priori. Por eso el límite que calcula no tiene ningún significado matemático (más allá de lo que literalmente significa, un límite de ciertas integrales) ni mucho menos físico.
Por otro lado decirte que no me creo que esta integral salga otra cosa que lo que resultó a Masacroso y a mí. Por ello sería conveniente que dieras un ejemplo de cómo sale otra cosa distinta a esto. Pero por favor, utilizando la integración de esferas huecas superficiales y no partiendo de esferas huecas de espesor finito.
c) Está claro que las esferas huecas de espesor infinitesimales llevaban siglos existiendo antes de nosotros y tú querías hacer ver que esto no existía y era una invención mía. Bueno su existencia ha quedado bien clara.
Decirte que si revisas mis mensajes puedes ver que se obtienen los mismos resultados con esferas huecas con espesor cero que con espesor infinitesimales.
Ya por el mes de agosto/23 te lo mostré:
6) Si utilizamos el teorema de Gauss sobre esta esfera, con 2 superficies esféricas con el mismo centro de la esfera hueca, de radios R+\( \varepsilon \) y R-\( \varepsilon \), y hacemos \( \varepsilon=10^{-1000} \) por ejemplo, pero que estén interconectadas ambas superficies por un orificio de diámetro \( R1=10^{-1000} \) por ejemplo.
Aplicando el teorema de Gauss y partiendo de la base que la gravedad en el punto \( r=R+\varepsilon \), podemos suponer que es igual a \( g=\frac{GM}{2R^2} \), aunque sería menor a ese valor, pero por la cercanía a la superficie despreciamos esa diferencia.
También despreciamos la diferencia entre los valores de \( R+\varepsilon \)y \( R-\varepsilon \) y R, a nivel de cálculo matemático.
\( 4\pi G M= 4\pi R^2 \frac{GM}{2R^2}+g_{int} 4\pi R^2 \)
\( GM= \frac{GM}{2}+g_{int} R^2 \) esto implica que
\( g_{int} = \frac{GM}{2R^2} \)
Es decir que en el interior de la esfera hueca la gravedad no es cero y en puntos muy cercanos a la superficie (R- \( 10^{-1000} \)) de la esfera la gravedad podemos considerarla igual a la gravedad que hay en su superficie.
Esto ya os lo he mostrado en el mensaje anterior donde se ha visto que existe flujo de campo gravitatorio tanto a través de la superficie exterior como la interior de la superficie gaussiana que generé, semejante a la que aquí he descrito.
Para obtener los resultados que expongo aquí no es necesario hablar de esferas huecas con espesor infinitesimales.
A mí me gusta más utilizar el modelo de esferas huecas de espesor infinitesimal pues es más cercano a la realidad de esferas huecas de espesor finito que la esferas huecas de espesor cero, que es un modelo más simple y alejado.
Un saludo.