Vayamos a los ejemplos.
- Ejemplo 2. Consideramos el plano coordenado \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) con el orden de diccionario:
\( {\color{blue}(}a_1,a_2{\color{blue})} < {\color{blue}(}b_1,b_2{\color{blue})}\textsf{\ sii\ }a_1 < b_1 \) ó \( a_1=b_1, a_2 < b_2. \)
Se deja como ejercicio comprobar que con esta relación de orden, el conjunto \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) no tiene elementos que sean ni el primero (o sea un mínimo) ni el último (o sea un máximo).
Ya está probado en la respuesta 116.
Un intervalo abierto tiene ahora la forma:
\( ({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}c, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}x, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}x, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}c, d{\color{blue})}\} \)
Dejamos el ejercicio de "intentar" graficar ejemplos de estos intervalos.
Por la definición de la relación del orden del diccionario, existe dos posibilidades
i) a<c.
Aca no nos dan datos sobre b y d, puede suceder que b=d, b<d, b>d, la gráfica muestra el caso, b>d, las demás son análogas.
ii) a=c y b>d
Las gráficas son como muestra la figura adjunta.
Ya sabemos que la colección \( \mathcal{B} \) formada por todos estos intervalos abiertos respecto el orden lexicográfico en \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) tienen que formar una base para una topología de \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \).
¿Alguna intuición de cómo son los conjuntos abiertos en esta topología?
Observemos el caso especial de los intervalos que tienen la primer coordenada fija, o sea, los de la forma:
\( ({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}a, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}\} \)
Es un sencillo ejercicio verificar que la colección \( \mathcal{B} \) de este tipo de intervalos con una coordenada fija, también es una base para una topología de \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \).
Sea \( \mathcal{B}=\left\{{({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) :a,b,d\in{\mathbb{R}}}\right\} \), la colección de los intervalos con una coordenada fija. Para probar que \( B \) es una base para una topología de \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \), debemos probar que:
1) Para cada \( (x,y)\in{\mathbb{R}\times\mathbb{R}} \), existe un elemento \( ({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})})\in{\mathcal{B}} \), tal que
\( x\in{({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})})} \).
2) Si \( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})\cap{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})}} \), entonces, existe un \( ({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}} \), tal que
\( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}}}\subseteq{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})\cap{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})}} \)
En efecto.
1) Para cada \( (x,y)\in{\mathbb{R}\times\mathbb{R}} \), sabemos que \( x=x=x \), y \( \displaystyle\frac{y}{2}<y<2y \), entonces existe
\( ({\color{blue}(}x, \displaystyle\frac{y}{2}{\color{blue})}, {\color{blue}(}x, 2y{\color{blue})})\in{\mathcal{B}} \) tal que
\( (x,y)\in{({\color{blue}(}x, \displaystyle\frac{y}{2}{\color{blue})}, {\color{blue}(}x, 2y{\color{blue})}) \).
2) Si \( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})\cap{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})}} \), entonces
\( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})} \) y
Si \( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})} \), de aquí,
\( x=a_1=a_2 \), \( b_1<y<d_1 \) y \( b_2<y<d_2 \), es decir
Sean \( a_3=x \), \( b_3=max\{b_1,b_2\} \), \( d_3=min\{d_1,d_2\} \), entonces
\( x=a_3 \) y \( b_3<y<d3 \), es decir, existe un \( ({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}} \) tal que
\( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}}} \).
De (1) y (2), la colección de intervalos con una coordenada fija, forma una base para una topología de \( \mathbb{R}\times{\mathbb{R}} \).
Más aún esta topología es la misma que la topología del orden en \( \mathbb{R}\times{\mathbb{R}} \)
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