Autor Tema: Bases de una topología

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03 Noviembre, 2012, 08:41 pm
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kevinsteven

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Demuestre que si \( A \) es una base para la topología sobre \( X \) entonces la topología generada por \( A \) es igual la intersección de todas las topologías sobre \( X \) que contienen a \( A \).

Respuesta: dada una colección de elementos de \( A \), se tiene que dichas elementos tan bien pertenecen a \( X  \), ya que por hipótesis  \( A \) es una base para \( X \) y por ende la intersección de de \( A \) pertenece a \( X \).

¿Está bien mi respuesta?. Gracias.    :banghead:


topologia    --> topología
Mensaje corregido desde la administración.

05 Noviembre, 2012, 10:54 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Debes de ser paciente.

 Debes además de cuidar la ortografía.

 Debes además de escribir con más cuidado, te "comes" palabras o de repente las repites, dificultando la comprensión de lo que escribes.

 Por ejemplo el enunciado está mal escrito. Sería:

 "Demuestre que si \( A \) es una base para una topología de un espacio \( X \) entonces la topología generada por \( A \) es la intersección de todas las toplogías de \( X \) que contienen a \( A \)".

 Te habías comido la parte en rojo.

 En cuanto a tu demostración francamente no entiendo bien lo que has escrito.
 
Citar
Respuesta: dada una colección de elementos de \( A \), se tiene que dichas elementos tan bien pertenecen a \( X  \), ya que por hipótesis  \( A \) es una base para \( X \) y por ende la intersección de de \( A \) pertenece a \( X \).


 No sé que quiere decir "la intersección de de A". Tampoco sé exactamente que pretendes concluir ahí.

 Tampoco entiendo la otra parte. No sé que es \( U \) ni \( Ax \).

 La prueba podría ser así. Sea \( \tau_0 \) la topología generada por \( A \).

 - Dado que \( \tau_0 \) es una toplogía que contiene a A es obvio que:

\(  \displaystyle\bigcap_{A\subset \tau, \,\tau\in Top(X)}\tau\subset \tau_0 \)

 - Para el otro contenido. Sea una topología \( \tau \) tal que \( A\subset \tau \). Sea \( U\in \tau_0 \); dado \( x\in U \) existe \( V\in A\subset \tau \) tal que \( x\in V\subset U \). Por tanto \( U \) es abierto de \( \tau \).

Saludos.

26 Enero, 2022, 10:29 pm
Respuesta #2

blnrcc

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Hola! Estoy intentando demostrar la misma proposición. Me falta demostrar que \( \tau\subset \tau_0 \).
No me queda clara la siguiente parte:
Citar
Para el otro contenido. Sea una topología \( \tau \) tal que \( A\subset \tau \). Sea \( U\in \tau_0 \); dado \( x\in U \) existe \( V\in A\subset \tau \) tal que \( x\in V\subset U \).

Gracias!

27 Enero, 2022, 09:01 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola! Estoy intentando demostrar la misma proposición. Me falta demostrar que \( \tau\subset \tau_0 \).
No me queda clara la siguiente parte:
Citar
Para el otro contenido. Sea una topología \( \tau \) tal que \( A\subset \tau \). Sea \( U\in \tau_0 \); dado \( x\in U \) existe \( V\in A\subset \tau \) tal que \( x\in V\subset U \).

Tenemos que probar que dada una topología \( \tau \) que contiene a \( A \), \( \tau_0\subset \tau. \)

Sea \( U\in \tau_0 \):

1) Como \( A \) es una base de \( \tau_0 \) para todo \( x\in U \) existe un \( V_x\in A \) tal que  \( x\in V_x\subset U \).

2) Como \( A\subset \tau \) los elementos \( V_x\in A \) de (1) también pertenecen a \( \tau \), es decir, para todo \( x\in U \) existe un \( V\in \tau \) tal que  \( x\in V_x\subset U \).

3) Entonces \( U=\displaystyle\bigcup_{x\in U}V_x \) es abierto de \( \tau \) por ser unión de abiertos de \( \tau \).

Si sigues sin entender indica exactamente donde está tu duda.

Saludos.

27 Enero, 2022, 03:20 pm
Respuesta #4

blnrcc

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Ahora sí entendí, gracias!