Autor Tema: Averiguar la ecuación de una curva tangente...

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13 Octubre, 2012, 03:18 pm
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skan

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Se me ha ocurrido un problema , perdonad si no me explico bien.

Quiero averiguar la forma o ecuación de una curva (todo en un plano).
Esa curva puede rotar (sin deformarse) en torno a uno de sus extremos.
De modo que en el punto de intersección con una recta (fija en el espacio) siempre sean perpendiculares.

En el dibujo adjunto represento la curva en tres posiciones diferentes para que veáis a que me refiero.




Y no sé cual es el método adecuado para resolverlo.
a) Despejando de la ecuación de la tangente, usando coordenadas polares,
\( \frac{dR}{dx}=0 \)       (R es la distancia del punto de rotación al de intersección).
b) Despejando de la ecuación de la tangente, usando
\( \frac{dy}{dx}=0 \)       (creo que es la ec del gradiente).
c) con la formula que se suele usar para dibujar campos equipotenciales
\( \frac{dx}{dy}=-\displaystyle\frac{Fy}{Fx} \)
Pero no sé que sería aquí Fy y Fx.

saludos

13 Octubre, 2012, 03:35 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Mi sugerencia es que consideres que es la recta que la que gira y la curva queda fija.

 Entonces se trata de calcular una tayectoria ortogonal a la familia de rectas tangentes de una circunferencia.

Saludos.

13 Octubre, 2012, 04:47 pm
Respuesta #2

skan

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Si lo había pensado pero no me resulta fácil pensar como hacerlo.
Y en las ecuaciones de antes no sé si hay que derivar respecto a x, respecto a y, o respecto al ángulo. Supongo que es \( \frac{dx}{dy}=0 \) porque quiero la tangente vertical.
No sé si también puedo decir que   \( \frac{dx}{dR}=0 \)  y  \( \frac{dx}{dR}=0 \)

De todos modos como se calcula "la tayectoria ortogonal a la familia de rectas tangentes de una circunferencia"?

14 Octubre, 2012, 09:43 pm
Respuesta #3

skan

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ya tengo claro el método pero de momento consigo ecuaciones gigantescas para  \( y^{\prime} \) de la ecuación final, una fracción con raices. Con lo que resolver la ec. diferencial sería complicado.

14 Octubre, 2012, 10:31 pm
Respuesta #4

feriva

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Se me ha ocurrido un problema , perdonad si no me explico bien.



Hola. No sé si lo entiendo bien, pero parece complicado. Una ecuación normal daría todos los puntos por los que pasa la curva, sería como un sólido de rotación pero en el plano en vez de en el espacio; con lo cual muchas curvas distintas darían esa ecuación, que sería la ecuación del área de una especie de arandela. Supongo que para que la curva en particular quedara caracterizada, haría falta algo así como una función en la que interviniera el tiempo, que indicaría qué puntos intersectan antes o después con otras familias de puntos.

 De todas formas, era sólo por comentar algo, yo no sería capaz de solucionarlo.

Saludos.

14 Octubre, 2012, 11:23 pm
Respuesta #5

skan

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Hola

Mi problema originalmente no era el que arriba expongo, sino uno equivalente.

Quería saber que forma debe tener una pieza metálica, que puede rotar en torno a un eje, para que siempre sea perpendicular (en el punto de contacto) a otra pieza, recta y que se puede desplazar verticalmente para empujarla.


Esperaba obtener una parábola o un logaritmo o algo simple.

15 Octubre, 2012, 12:31 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 Una forma cómoda de resolverlo es la siguiente. Sin pérdida de generalidad considera la circunferencia de centro el origen y radio cero (luego la mueves y escalas como quieras).

 Su ecuación paramétrica es \( \alpha(t)=(cos(t),sin(t)) \).

 La curva que buscamos corta a cada tangente de la circunferencia, es decir, es de la forma:

\(  \beta(t)=\alpha(t)+f(t)\alpha'(t) \)

 Queremos que sea perpendicular a las tangentes de la circunferencia; por tanto su derivada ha de ser paralela a \( \alpha(t): \)

\(  \beta'(t)=\alpha'(t)+f'(t)\alpha'(t)-f(t)\alpha(t) \)

 Por tanto \( f'(t)=-1 \) y así \( f(t)=-t+c \). La ecuación paramétrica de las curvas buscadas quedan:

\(  \beta(t)=\alpha(t)+(c-t)\alpha'(t) \)

Saludos.

15 Octubre, 2012, 01:40 pm
Respuesta #7

skan

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Hola

 Una forma cómoda de resolverlo es la siguiente. Sin pérdida de generalidad considera la circunferencia de centro el origen y radio cero (luego la mueves y escalas como quieras).

 Su ecuación paramétrica es \( \alpha(t)=(cos(t),sin(t)) \).

 La curva que buscamos corta a cada tangente de la circunferencia, es decir, es de la forma:

\(  \beta(t)=\alpha(t)+f(t)\alpha'(t) \)

 Queremos que sea perpendicular a las tangentes de la circunferencia; por tanto su derivada ha de ser paralela a \( \alpha(t): \)

\(  \beta'(t)=\alpha'(t)+f'(t)\alpha'(t)-f(t)\alpha(t) \)

 Por tanto \( f'(t)=-1 \) y así \( f(t)=-t+c \). La ecuación paramétrica de las curvas buscadas quedan:

\(  \beta(t)=\alpha(t)+(c-t)\alpha'(t) \)

Saludos.

Hola.

Gracias. No entiendo porque del otro modo se hacía tan complicado.
Tal como dices ahora tiene un aspecto parecido a otra manera en la que quise intentarlo, realizando un giro de coordenadas sobre una función desconocida. Pero entonces no sabía si derivar con respecto a la variable no girada o a la no girada ni como aplicar ciertas condiciones.

Ahora tengo que hacer un recado pero luego miro tu ejercicio más a fondo.

saludos

15 Octubre, 2012, 03:46 pm
Respuesta #8

skan

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La verdad es que no acabo de comprender todos los pasos.

La primera ecuación es la del circulo de radio unidad.

La siguiente, la beta, la recta tangente... debería tener forma de y(t)=mx(t)+n.
...si f(t) es la pendiente no sé que es \( alfa^{\prime}(t) \) ¿supongo que la derivada?. Y si por el contrario \( alfa^{\prime}(t) \) es la pendiente no sé que es f(t), que dices que es constante.

En el siguiente paso supongo que hay una errata al escribir las derivadas.

15 Octubre, 2012, 04:10 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

 Veamos;

 1) Esto es la ecuación paramétrica de la circunferencia unidad.

\(  \alpha(t)=(cos(t),sin(t)) \)

 Esto significa que dando valores a \( t \) obtenemos las coordenadas de los puntos de la circunferencia.

 2) Ahora fijado uno de esos puntos \( \alpha(t) \), el vector director de la tangente en ese punto es la derivada de la función paramétrica, es decir:

\(  \alpha'(t)=(-sin(t),cos(t)) \)

 Por tanto la ecuación vectorial de la recta tangente a la circunferencia en ese punto \( \alpha(t) \) fijado es:

\(  (x,y)=\alpha(t)+\lambda \alpha'(t) \)  (*)

 Dando valores a \( \alpha \) obtenemos diferentes puntos de la recta.

 3) Nuestra curva ha de estar en esas rectas tangentes. Luego para cada \( t \) habrá un valor de \( \lambda \) que llamo \( f(t) \) que en la ecuación (*) marque donde está el punto de la curva que buscamos. Por tanto la ecuación paramétrica de nuestra curva es de la forma:
 
\(  \beta(t)=\alpha(t)+f(t)\alpha'(t) \) (**)

 4) El vector director de la tangente a esa curva en cada punto viene dada por su derivada:

\(  \beta'(t)=\alpha'(t)+f'(t)\alpha'(t)+f(t)\alpha''(t)=\alpha'(t)+f'(t)\alpha'(t)-f(t)\alpha(t) \)

 donde uso que \( \alpha''(t)=(-cos(t),-sin(t))=-\alpha(t). \)

 5) Queremos que nuestra curva sea perpendicular a las tangentes. Por tanto sus vectores directores han der ser perpendiculares a \( \alpha'(t) \); equivalentemente paralelos a \( \alpha(t). \)

 6) Lo anterior (5) equivale a que en la expresión:

\(  \beta'(t)=\alpha'(t)+f'(t)\alpha'(t)-f(t)\alpha(t) \)

 los coeficientes de \( \alpha'(t) \) se anulen, es decir:

 \( 1+f'(t)=0 \)

 7) Resolviendo esa sencilla ecuación diferencial obtenemos;

 \( f(t)=-t+c \)

 y sustiyuendo en (**):

\(  \beta(t)=\alpha(t)+(-t+c)\alpha'(t) \)

 Si lo dibujas salen una especie de espirales.

Saludos.