[Isa_78]

Hola a tod@s y a ver si me podeis ayudar

el primer ejercicio que estoy bloqueada es, "Considerando dos funciones f i g positivas y crecientes, mostrar que el producto de fg también es positiva y creciente.

Y otro con el que no puedo es el siguiente; considerando el conjunto de los números naturales N dentro de los números reales R, decir si es un conjunto abierto o cerrado y si es un conjunto compacto.

Muchas gracias a tod@s

[Karl]

Saludos:

1) Si f y g son crecientes, entonces f ' y g '  nunca toman valores negativos. Así:

    (fg) ' = f ' g + fg'   sólo toma valores positivos y por tanto es creciente y por supuesto

    positiva por ser producto de dos funciones positivas.

2) Este ejercicio de Topología es sencillo, verás:

    Primeramente veamos que cada natural es un cerrado de R con la topología usual.
    Dado x un número natural cualquiera, R-{x} = (-inf,x) U (x, +inf) que es la unión de dos abiertos, con lo que R- {x} es abierto y por lo tanto {x} es cerrado.

Así, N es la unión infinito-numerable de todos sus elementos, por lo tanto, la unión infinito-numerable de conjuntos cerrados y por lo tanto cerrado.

Sin embargo, N no es compacto, porque de serlo habría de ser cerrado, que lo es, pero además acotado y no es así como podemos ver:

Para cualquier número real r, la Propiedad Arquimediana de los Números Naturales me asegura la existencia de un número natural n tal que r<n. Así, para cada real siempre me queda un natural por encima, con lo que N no puede estar acotado.

Espero que te haya servido de ayuda.

Saludos.

[argentinator]

La respuesta anterior presupone que las funciones considerads son derivables, pero esto no necesariamente es cierto.

En primer lugar, si f y g son positivas, su producto también lo es, lo cual es fácil.

Ahora bien, sea x, y dos números tales que \( x<y \).

Como f y g son crecientes, resulta que \( f(x)< f(y) \) y que \( g(x)<g(y) \).
Por último se debe usar la propiedad de monotonía de la multiplicación respecto números positivos.
En efecto, por hipótesis f(x), f(y), g(x), g(y)  son todos números positivos, y ahora obtenemos que \( f(x)g(x)<f(y)g(y) \), por monotonia del producto.

En resumen el producto \( f\cdot g \) es una función positiva y creciente.

[argentinator]

Lo que ha dicho karl está equivocado.

Por definición, la familia de cerrados se mantiene por intersecciones de cardinal arbitrario, pero sólo por uniones finitas, porque son los complementos de los conjuntos abiertos, cuya familia se mantiene tras uniones arbitrarias de sus elementos e intersecciones finitas.

Por ejemplo, el conjunto Q de los racionales es una unión numerable de puntos, que son cerrados, pero Q no es cerrado, porque no coincide con sus puntos limite, formado por todo R (la recta real).

Para demostrar que N es cerrado se procede de la siguiente manera.
Se escribe N como complemento de un conjunto abierto, lo cual prueba que N es cerrado.
Dicho conjunto complementario es la unión de los intervalos (n, n+1), para todo n natural, y el intervalo infinito (- \( \infty \),0)

En resumen, tenemos el conjunto

C=(-\( \infty \),0) U [ Un\in N In]

donde In =  (n, n+1).


Se observa claramente que \( C \) es unión de abiertos, y por lo tanto \( C \) es abierto. (No importa si la unión es numerable o no).

Además, el conjunto complementario de \( C \) es R - C= N,
lo cual muestra que N era cerrado.

Ahora hay que probar que N no es compacto.

Se sabe que todo conjunto compacto en la recta real es cerrado y acotado. Pero N, aunque es cerrado, no es acotado, porque si lo fuera, existiría un numero real \( r \)mayor que \( 0 \) mayor que todo número natural. Pero esto contradice la propiedad arquimediana de los números reales.