Autor Tema: Problemas de extensión

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13 Mayo, 2009, 01:49 am
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rangel

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Esta es la continuación de mi post anterior Topología general  pero como estos problemas se tratan de extensión los quise poner en otro post.

Espero que puedan ayudarme.

1: Como demuestro el lema de Jone utilizando el problema de extensión de Tietze.

2: Alguien sabe donde puedo encontrar la demostración del teorema de extensión de Urysohns.

Muchas gracias.

13 Mayo, 2009, 11:15 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

1) Tienes que probar que si \( X \) es normal, \( C \) cerrado y discreto en \( X \) y \( D \) denso infinito en \( X \) entonces \( card(P(C))\leq card(P(D)) \).

 Dado un subconjunto \( A \) tienes que la función \( f:C\longrightarrow{}R \) que lleva \( f(A)=0 \) y \( f(C/A)=1 \) es continua (¿por qué?), por el teorema de extensión de Tietze, la puedes extender a una función \( F \) continua en todo \( R \). Si consideras la restricción de \( fF \) a \( D \) tenemos una aplicación continua de \( D \) a \( R \).

 Esto nos definie una aplicación del conjunto de subconjuntos de \( C \) a al conjunto de aplicaciones continuas de \( D \) en \( R \). Esta aplicación es inyectiva (¿por qué?... utiliza que \( D \) es denso).

 Por tanto:

\(  card(C)\leq card(R^D)\leq card((2^N)^D)\leq card(2^{N\times D})=2^D=card(P(D)) \)

2) Prueba del lema de Uryson :

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001005/lecciones/cap5/cap5lec6.pdf

Saludos.