Buenas, estoy estudiando el libro de Goebel y Kirk, "Topics in metric fixed point theory", y estoy tratando de probar la implicación de izquierda a derecha del lema 4.1 del mismo, que ellos dan de una forma vaga. Dice que si un subconjunto acotado y convexo \( K \) de un espacio de Banach tiene estructura normal entonces no contiene ninguna sucesión diametral.
He razonado como sigue, intentando probar el contrarrecíproco:
Supongamos que existe \( \{x_n\}\subset K \) una sucesión diametral. Sea \( S=\overline{\operatorname{conv}} \{x_n\} \).Sea \( x\in S \). Entonces, existe \( \bar{x}=\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i\in S \), con \( \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1, \alpha_i\geq 0 \), tal que \( \lVert \bar{x}-x \rVert \leq \varepsilon/2 \), para todo \( \varepsilon >0 \).
Por otra parte, como \( \{x_n\} \) es diametral, para todo \( \varepsilon > 0 \) existe \( N_0\in \mathbb{N} \) tal que si \( N\geq N_0 \) entonces \( d(x_{N+1},\operatorname{conv}\{x_1,\dots, x_N\})\geq \operatorname{diam}\{x_n\}-\varepsilon/2=\operatorname{diam}(S)-\varepsilon/2 \).
Tomamos ahora \( N_1>\max\{N_0,n\} \). Entonces para todo \( z\in \operatorname{conv}\{x_1,\dots,x_{N_1}\} \) se tiene que \( \lVert x_{N_1+1}-z\rVert \geq \operatorname{diam}(S)-\varepsilon/2 \). En particular, como \( N_1> n \) se tiene la desigualdad anterior para \( \bar{x} \).
Por tanto, concluimos que \( \lVert x_{N_1+1}-x\rVert \geq \lVert x_{N_1+1}-\bar{x}\rVert - \lVert \bar{x}-x\rVert \geq \operatorname{diam}(S)-\varepsilon \), para todo \( \varepsilon > 0 \). Luego, \( \lVert x_{N_1+1}-x\rVert = \operatorname{diam}(S) \). Hasta aquí bien, pero a partir de esto no veo como concluir exactamente que \( S \) es un conjunto diametral, esto es, que todos sus puntos son diametrales.
Agradecería mucho vuestra ayuda. ¡¡Muchas gracias!!
P.D: Un conjunto convexo tiene estructura normal si todo subconjunto acotado y convexo con diámetro estrictamente positivo tiene al menos un punto no diametral. Una sucesión acotada \( \{x_n\} \) se dice diametral si no es constante a partir de un término y se verifica \( \lim_{n\to\infty} \operatorname{dist}(x_{n+1},\operatorname{conv}\{x_1,\dots, x_n\})=\operatorname{diam}\{x_1,x_2,\dots\} \). También he asumido por sabido que \( \operatorname{diam}(\{x_n\})=\operatorname{diam}(\operatorname{conv}\{x_n\}) \).
