Autor Tema: Demostración conjunto linealmente independiente.

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03 Julio, 2022, 09:25 pm
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mafr

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Hola buenas, como demostrarían esto ?

Sea \( S=\left\{{\vec{v}_1,\vec{v}_2,...,\vec{v}_n}\right\} \) un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial \( V \). Demostrar que si \( \vec{v} \) es un vector en \( V \) que no está en \( gen\left\{{S}\right\} \), entonces \( C=\left\{{\vec{v}_1,\vec{v}_2,...,\vec{v}_n},\vec{v}\right\} \) también es linealmente independiente.

Gracias.

03 Julio, 2022, 10:42 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Si es dependiente tenemos  \( \displaystyle 0 = \varepsilon_1 \cdot \vec{v_1} + \varepsilon_2 \cdot \vec{v_2} + \cdots +  \varepsilon_n \cdot \vec{v_n} + \varepsilon_{n+1} \cdot \vec{v}   \) con no todos los \( \varepsilon_i = 0 \)
Luego:
\( \varepsilon_{n+1} \cdot \vec{v} = \displaystyle \sum_{i=1}^n \varepsilon_i \cdot \vec{v_i}  \)
Si \( \varepsilon_{n+1} = 0  \) tenemos que \( S \) es dependiente en contra de las hipótesis.
Si \( \varepsilon_{n+1} \neq 0  \) tenemos que \( v \in gen\{S\}  \) en contra de las hipótesis.

03 Julio, 2022, 10:50 pm
Respuesta #2

mafr

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había escrito mal el enunciado, ya lo corregi.

03 Julio, 2022, 11:37 pm
Respuesta #3

mafr

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Si es dependiente tenemos  \( \displaystyle 0 = \varepsilon_1 \cdot \vec{v_1} + \varepsilon_2 \cdot \vec{v_2} + \cdots +  \varepsilon_n \cdot \vec{v_n} + \varepsilon_{n+1} \cdot \vec{v}   \) con no todos los \( \varepsilon_i = 0 \)
Luego:
\( \varepsilon_{n+1} \cdot \vec{v} = \displaystyle \sum_{i=1}^n \varepsilon_i \cdot \vec{v_i}  \)
Si \( \varepsilon_{n+1} = 0  \) tenemos que \( S \) es dependiente en contra de las hipótesis.
Si \( \varepsilon_{n+1} \neq 0  \) tenemos que \( v \in gen\{S\}  \) en contra de las hipótesis.


La sólucion que planteo a continuación, es válida?...

El conjunto \( S \) sabemos que es linealmente independiente, es decir que...

\( \alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+...+\alpha_n\vec{v}_n = \vec{0} \)

acepta únicamente la solución trivial \( \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0 \)

Como \( \vec{v} \) no pertenece a \( gen\left\{{S}\right\} \), no puede escribirse como combinación lineal de los vectores de \( S \).

Entonces, si planteamos para el conjunto \( C \)...

\( \alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+...+\alpha_n\vec{v}_n+\alpha_{n+1}\vec{v} = \vec{0} \)
 
sólo aceptará la solución tirivial, es decir que tambien es linealmente independiente.

04 Julio, 2022, 02:19 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

La sólucion que planteo a continuación, es válida?...

El conjunto \( S \) sabemos que es linealmente independiente, es decir que...

\( \alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+...+\alpha_n\vec{v}_n = \vec{0} \)

acepta únicamente la solución trivial \( \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0 \)

Como \( \vec{v} \) no pertenece a \( gen\left\{{S}\right\} \), no puede escribirse como combinación lineal de los vectores de \( S \).

Entonces, si planteamos para el conjunto \( C \)...

\( \alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+...+\alpha_n\vec{v}_n+\alpha_{n+1}\vec{v} = \vec{0} \)  (*)

sólo aceptará la solución tirivial, es decir que tambien es linealmente independiente.

La idea es correcta. Pero quizá podrías precisar un poco más las afirmaciones, como sugiere Juan Pablo. En (*):

- Si \( \alpha_{n+1}\neq 0 \) entonces \( \vec v \) se podría expresar como combinación lineal de los otro vectores lo cual contradice que \( \vec v\not\in gen(S) \).

- Si \( \alpha_{n+1}=0 \) entonces queda simplemente:

\( \alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+...+\alpha_n\vec{v}_n= \vec{0} \)

y por ser los vectores de \( S \) independientes la única solución es la trivial.

Saludos.