Autor Tema: Diagonalización

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03 Julio, 2022, 05:14 pm
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

Cierto, lo de mostrar que es \( \gamma \) base de \( V \) está muy bien.
El problema es que efectivamente los representantes de las clases no necesariamente son vectores propios y para mostrar que \( T \) es diagonalizable debo encontrar una base formada por vectores propios de \( V \), entonces si la base \( \gamma \) no es una base formada por vectores propios, ¿Cómo puedo construir una base de \( V \) formada por vectores propios?, eso necesitaría para mostrar que \( T \) es diagonalizable de acuerdo a la definición general de diagonalizabilidad.

Si \( [v] \) es autovector de \( \bar T \) asociado a \( \lambda \) puedes escoger un representante que también sea autovector de \( T \).

Fíjate que tienes que \( [T(v)]=[\lambda v] \) o lo que es lo mismo:

\( T(v)=\lambda v+w \) con \( w\in W \) (*)

Entonces \( w \) puede escribirse en función de la base de autovectores de \( T|_W \);

\( w=x_1w_{i_1}+\ldots+x_nw_{i_n} \) con \( T(w_{k})=\lambda_k w_k \) (**)

Vamos a modificar el representante \( v \) como \( v'=v+a_1w_{i_1}+\ldots+a_nw_{i_n} \).

Queremos que \( T(v')=\lambda v' \), es decir que:

\( T(v)+a_1T(w_{i_1})+\ldots+a_nT(w_{i_n})=\lambda v+\lambda a_1w_{i_1}+\ldots+\lambda a_nw_{i_n} \)

Usando (*) y (**) equivale a:

\( \lambda v+x_1w_{i_1}+\ldots+x_nw_{i_n}+a_1\lambda_1w_{i_1}+\ldots+a_n\lambda_nw_{i_n}=\lambda v+\lambda a_1w_{i_1}+\ldots+\lambda a_nw_{i_n} \)

es decir:

\( \lambda v+(x_1+a_1\lambda_1)w_{i_1}+\ldots+(x_n+a_n\lambda_n)=\lambda v+\lambda a_1w_{i_1}+\ldots+\lambda a_nw_{i_n} \)

Entonces basta escoger los \( a_i \) de manera que:

\( x_i+a_i\lambda_i=\lambda a_i \)

es decir:

\( a_i=\dfrac{x_i}{\lambda-\lambda_i} \)

Puede hacerse porque por hipótesis los autovalores de \( \bar T \) y de \( T|_W \) son distintos.

Esa es la forma de escoger representantes de las clases de autovectores de \( \bar T \) que también lo sean de \( T \).

Para terminar la prueba hay una sutileza consecuencia de trabajar con espacios de dimensión infinita; para que lo anterior te permita construir tu base de autovectores aplicándolo a las (posiblemente) infinitas clases de autovectores de \( \bar T \) necesitas aplicar el Lema de Zorn. Inténtalo.

Saludos.

03 Julio, 2022, 08:59 pm
Respuesta #11

JesusSaez

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Cierto, construyendo los nuevos representantes de las clases ya son vectores propios. Ahora, ¿aquí como podría usar el Lema de Zorn?, generalmente el Lema de Zorn se aplica teniendo una familia de subconjuntos no vacía y mostrando que toda cadena no vacía tiene una cota superior en la familia, de hecho así es como se demuestra que todo espacio vectorial tiene base.
¿No se podría solo tomar los diferentes valores propios del operador cociente, construir el representante con el procedimiento que se hizo y ese conjunto unirlo con la base del subespacio \( W \) y ese ya sería una base de \( V \) formada por vectores propios?

04 Julio, 2022, 08:50 am
Respuesta #12

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Cierto, construyendo los nuevos representantes de las clases ya son vectores propios. Ahora, ¿aquí como podría usar el Lema de Zorn?, generalmente el Lema de Zorn se aplica teniendo una familia de subconjuntos no vacía y mostrando que toda cadena no vacía tiene una cota superior en la familia, de hecho así es como se demuestra que todo espacio vectorial tiene base.
¿No se podría solo tomar los diferentes valores propios del operador cociente, construir el representante con el procedimiento que se hizo y ese conjunto unirlo con la base del subespacio \( W \) y ese ya sería una base de \( V \) formada por vectores propios?

Fíjate que \( \bar T \) sea diagonalizable significa que existe una base de autovectores, es decir una colección de clases de equivalencia \( \{U_i\} \) donde \( U_i\in V/W  \).

Pero si pretendes tomar un representante de cada clase eso ya supone usar el axioma de elección (que es equivalente al lema de Zorn). Después si llamamos \( V_i\subset U_i \) al conjunto de representantes de cada clase que son también autovectores de \( T \), el argumento que te mostré en mi anterior mensaje muestra que cada \( V_i \) es no vacío. Finalmente usando de nuevo el axioma de elección, pruebas que puedes elegir un elemento en cada \( V_i \) y ahora si tienes tu familia de representantes de los autovectores de \( \bar T \) que son  autovectores de \( T \).

Saludos.

04 Julio, 2022, 09:09 am
Respuesta #13

JesusSaez

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Excelente, entiendo que el Axioma de elección se usa valga la redundancia, para elegir los representantes.
Muchas gracias, me ha quedado claro.