[five]

Hola! ¿alguien sabe cuál es el homeomorfismo entre \( \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\;(x^2+ y^2) < 1\right\} \)  y  \( \mathbb{R}^2 \) ?

Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola
 
 Bueno en realidad no hay "un" homemomorfismo sino muchos. Una idea para construir uno es dado un punto del círculo unidad, llevarlo en otro sobre la misma recta, pero con radio suficientemente aumentado para "lenar" todo \( R^2 \). De manera explícita trata de hacer lo siguiente:

 - Define un homemorfismo \( h:[0,1)\longrightarrow{}[0,+\infty) \), con \( h(0)=0 \).

 - Comprueba que la siguiente aplicación es un homemorfismo:

\( f:\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\;(x^2+ y^2) < 1\right\}\longrightarrow{ } \mathbb{R}^2 \)

\( f(x,y)=\begin{Bmatrix} (0,0) & \mbox{ si }& (x,y)=(0,0)\\ \displaystyle\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}h(\sqrt{x^2+y^2}) & \mbox{si}& (x,y)\neq (0,0)\end{Bmatrix} \)

 Su inversa es:

\( f^{-1}(x,y)=\begin{Bmatrix} (0,0) & \mbox{ si }& (x,y)=(0,0)\\ \displaystyle\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}h^{-1}(\sqrt{x^2+y^2}) & \mbox{si}& (x,y)\neq (0,0)\end{Bmatrix} \)

Saludos.

[five]

Gracias, yo intentaba buscar algo más sencillo, pero no se me ocurria nada. Lo intentaré con esto.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 mmmm... más allá de la expresión final me interesa que veas que la idea no es complicada. Simplemente tenemos que modificar la distancia de un punto al orgien llevándola de valores entre \( [0,1) \) a valores entre \( [0,+\infty). \)

Saludos.

[Ariel Fernández]

Hola Luis. No me aparecen las funciones para ver cuál es la aplicación que se toma como homeomorfismo. Al parecer hay un error de tipeo de LaTex. Puede ser? Saludos

 - Define un homemorfismo \( h:[0,1)\longrightarrow{}[0,+\infty) \), con \( h(0)=0 \).

 - Comprueba que la siguiente aplicación es un homemorfismo:

\( f:\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\;(x^2+ y^2) < 1\right\}\longrightarrow{ } \mathbb{R}^2 \)

\( f(x,y)=\left\{\begin{matrix} (0,0) & \mbox{ si }& (x,y)=(0,0)\\ \displaystyle\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}h(\sqrt{x^2+y^2}) & \mbox{si}& (x,y)\neq (0,0)\end{matrix}\right. \)

 Su inversa es:

\( f^{-1}(x,y)=\left\{\begin{matrix} (0,0) & \mbox{ si }& (x,y)=(0,0)\\ \displaystyle\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}h^{-1}(\sqrt{x^2+y^2}) & \mbox{si}& (x,y)\neq (0,0)\end{matrix}\right. \)

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Hola Luis. No me aparecen las funciones para ver cuál es la aplicación que se toma como homeomorfismo. Al parecer hay un error de tipeo de LaTex. Puede ser?

Solucionado.