Hola
Cierto, lo de mostrar que es \( \gamma \) base de \( V \) está muy bien.
El problema es que efectivamente los representantes de las clases no necesariamente son vectores propios y para mostrar que \( T \) es diagonalizable debo encontrar una base formada por vectores propios de \( V \), entonces si la base \( \gamma \) no es una base formada por vectores propios, ¿Cómo puedo construir una base de \( V \) formada por vectores propios?, eso necesitaría para mostrar que \( T \) es diagonalizable de acuerdo a la definición general de diagonalizabilidad.
Si \( [v] \) es autovector de \( \bar T \) asociado a \( \lambda \) puedes escoger un representante que también sea autovector de \( T \).
Fíjate que tienes que \( [T(v)]=[\lambda v] \) o lo que es lo mismo:
\( T(v)=\lambda v+w \) con \( w\in W \) (*)
Entonces \( w \) puede escribirse en función de la base de autovectores de \( T|_W \);
\( w=x_1w_{i_1}+\ldots+x_nw_{i_n} \) con \( T(w_{k})=\lambda_k w_k \) (**)
Vamos a modificar el representante \( v \) como \( v'=v+a_1w_{i_1}+\ldots+a_nw_{i_n} \).
Queremos que \( T(v')=\lambda v' \), es decir que:
\( T(v)+a_1T(w_{i_1})+\ldots+a_nT(w_{i_n})=\lambda v+\lambda a_1w_{i_1}+\ldots+\lambda a_nw_{i_n} \)
Usando (*) y (**) equivale a:
\( \lambda v+x_1w_{i_1}+\ldots+x_nw_{i_n}+a_1\lambda_1w_{i_1}+\ldots+a_n\lambda_nw_{i_n}=\lambda v+\lambda a_1w_{i_1}+\ldots+\lambda a_nw_{i_n} \)
es decir:
\( \lambda v+(x_1+a_1\lambda_1)w_{i_1}+\ldots+(x_n+a_n\lambda_n)=\lambda v+\lambda a_1w_{i_1}+\ldots+\lambda a_nw_{i_n} \)
Entonces basta escoger los \( a_i \) de manera que:
\( x_i+a_i\lambda_i=\lambda a_i \)
es decir:
\( a_i=\dfrac{x_i}{\lambda-\lambda_i} \)
Puede hacerse porque por hipótesis los autovalores de \( \bar T \) y de \( T|_W \) son distintos.
Esa es la forma de escoger representantes de las clases de autovectores de \( \bar T \) que también lo sean de \( T \).
Para terminar la prueba hay una sutileza consecuencia de trabajar con espacios de dimensión infinita; para que lo anterior te permita construir tu base de autovectores aplicándolo a las (posiblemente) infinitas clases de autovectores de \( \bar T \) necesitas aplicar el Lema de Zorn. Inténtalo.
Saludos.
